2025-2026学年吉林省长春153中九年级（上）第一次月考数学试卷

这是一份2025-2026学年吉林省长春153中九年级（上）第一次月考数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.二次根式 x−3有意义的条件是( )
A. x≤3B. x3
2.若关于x的方程(4−a)x2−x=0是一元二次方程，则a的取值范围是( )
A. a≠0B. a≠4C. a4
3.下列运算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2 5− 5=2C. 2× 3= 6D. 6÷ 3=2
4.若点A(1−m,2)与点B(−1,n)关于y轴对称，则m+n=( )
A. 2B. 0C. −2D. −4
5.如图，我校在操场西边开发出一块边长分别为30米、25米的长方形校园菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一.为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米.设小道的宽为x米，可列方程为( )
A. (30−2x)(25−x)=650B. (30−x)(25−x)=650
C. 30×25−30x−25x+2x2=650D. 30x+2×25x−2x2=650
6.如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，不能判定△ABC∽△ADE的是( )
A. ∠C=∠E
B. ∠B=∠ADE
C. ABAD=ACAE
D. ABAD=BCDE
7.如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，OC′：CC′=2：1，△A′B′C′的面积为12，则△ABC面积为( )
A. 54
B. 32
C. 27
D. 916
8.如图，在△ABC中，∠A=71∘，AB=6，AC=4.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.若yx=27，则x−yx= .
10.x=1是关于的一元二次方程x2+ax+2b=0的解，则2a+4b=______.
11.若x1，x2是一元二次方程x2+5x−1=0的两个实数根，则x1+x2的值为 .
12.如图，l1//l2//l3，DE=3，EF=4，AB=2，则BC的长为 .
13.《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问邑方几何？”意思是：在一座正方形城池的北边、西边正中A，C处各开一道门，从点A往正北方向走30步刚好有一棵树位于点B处.从点C往正西方向走750步到达点D处时，正好看到这棵树(如图所示)，则正方形城池的边长为 .
14.如图，在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的一边PQ在边BC上，另两个顶点M、N分别在边AC、AB上，AD与MN相交于点E.给出下面四个结论：①△AEM∽△MQC；②当点P是BD的中点时，AE=NP；③当矩形PQMN是正方形时，AD=BC×MNBC+MN；④当BC=120，AD=80，PN：PQ=1：2时，PN=2407.上述结论中，正确结论的序号有 .
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
计算： 18+2 2− 12× 32.
16.(本小题8分)
解方程：
(1)3x2−5x−2=0.
(2)x2−8x+9=0.
17.(本小题6分)
已知：关于x的方程x2−(m+2)x+2m=0.
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2)若方程的一个根为5时，求m的值．
18.(本小题7分)
芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个.若每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率.
19.(本小题7分)
如图，在正三角形ABC中，D是边BC上任意一点，且∠ADE=60∘.
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)若AB=3，BD=1，求AE的长．
20.(本小题7分)
图①、图②、图③均是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上，在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法.
(1)如图①，BECE=______；
(2)如图②，在BC上找一点F，使BF=4；
(3)如图③，在AC上找一点M，使△ABM的面积为85.
21.(本小题7分)
校园周边有一河流，小明想通过自己所学的数学知识计算河流的宽度.如图，河流两侧河岸平行，他在河的对岸选定一个目标作为点A，再在学校一侧的河岸边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，连接DE，使得DE//BC.经测量，BC=8米，DE=14米，且点E到河岸BC的距离为7.5米.过点A作AF⊥BC于点F(AF即为河流的宽度)，请你根据提供的数据计算河流的宽度.
22.(本小题9分)
阅读下列材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=(a±b)2.配方法可以解决代数式值的最小(或最大)问题.
例如：当x取何值时，代数式x2+2x−4有最小(或最大)值？
x2+2x−4=(x2+2x+1)−5
=(x+1)2−5
∵(x+1)2≥0，∴(x+1)2−5≥−5
∴当x=−1时，代数式x2+2x−4有最小值−5.
【直接应用】
(1)仿照上述例子解决问题：当x取何值时，代数式x2−4x+5有最小(或最大)值；
【拓展应用】
(2)如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙(墙长24米)，另三边用总长为40米的竹篱笆围成.
①请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积；
②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？
23.(本小题10分)
【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程；
【结论应用】在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为边BC的中点，AE、BD交于点F.
(1)如图②，若▱ABCD为矩形，且AB=2，BC=4，则OF的长为______；
(2)如图③，连结ED交AC于点G，若四边形OFEG的面积为12，则▱ABCD的面积为______.
24.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，点C(−4,0)，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，线段OA、OB的长度都是方程x2−3x+2=0的解，且OB>OA.若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AP.
(1)OA=______；OB=______.
(2)如图1，判断三角形ABC的形状，并说明理由.
(3)在点P运动过程中，利用图1及备用图1探究，当△AOP周长最短时，求点P的坐标.
(4)在点P的运动过程中，利用备用图2探究，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据二次根式有意义，得：x−3≥0，
解得：x≥3.
故选C.
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
2.【答案】B
【解析】解：∵关于x的方程(4−a)x2−x=0是一元二次方程，
∴4−a≠0，解得：a≠4，
故选：B.
根据一元二次方程的定义即可求解．
本题考查了一元二次方程的概念，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，熟记一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0).
3.【答案】C
【解析】解：A、 2与 3不能合并，不符合题意；
B、2 5− 5= 5，不符合题意；
C、 2× 3= 6，符合题意；
D 6÷ 3= 2，符合题意．
故选：C.
根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵点A(1−m,2)与点B(−1,n)关于y轴对称，
∴1−m=1，n=2，
解得：m=0，n=2，
∴m+n=2，
故选：A.
根据关于y轴的对称点的坐标特点可得m、n的值，进而可得m+n的值．
此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标特点，关键是掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
5.【答案】A
【解析】解：∵小道的宽为x米，
∴种植菜园的部分可合成长为(30−2x)米，宽为(25−x)米的长方形．
依题意得：(30−2x)(25−x)=650.
故选：A.
由小道的宽为x米，可得出种植菜园的部分可合成长为(30−2x)米，宽为(25−x)米的长方形，再根据种植面积为650平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴∠DAE=∠BAC，
A、添加∠C=∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，
故本选项不符合题意；
B、添加∠B=∠ADE，可用两角法判定△ABC∽△ADE，
故本选项不符合题意；
C、添加ABAD=ACAE，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，
故本选项不符合题意；
D、添加ABAD=BCDE，不能判定△ABC∽△ADE，
故本选项符合题意；
故选：D.
先根据∠1=∠2求出∠BAC=∠DAE，再根据相似三角形的判定方法解答．
本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵OC′CC′=21，
∴OC′OC=23，
∴S△A′B′C′S△ABC=49.
∵S△A′B′C′=12，
∴S△ABC=27.
故选：C.
根据OC′CC′=21可得OC′OC=23，即可得出S△A′B′C′S△ABC=49，再结合S△A′B′C′=12可得答案．
本题主要考查了位似图形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：A、根据图意知，利用“平行线法”可以推知两三角形相似，不符合题意；
B、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意；
C、两三角形的对应边不一定成比例，故两三角形不相似，符合题意；
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意；
故选：C.
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
9.【答案】57
【解析】解：yx=27，可设y=2k，x=7k，k是非零数，
则x−yx=7k−2k7k=57.
故答案为：57.
根据比例的基本性质变形，代入求值即可．
本题主要考查了比例的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．
10.【答案】−2
【解析】解：把x=1代入方程x2+ax+2b=0得1+a+2b=0，
所以a+2b=−1，
所以2a+4b=2(a+2b)=2×(−1)=−2.
故答案为：−2.
先把x=1代入方程x2+ax+2b=0得a+2b=−1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11.【答案】−5
【解析】解：由题意可知：x1+x2=−5.
故答案为：−5.
利用根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca.
12.【答案】83
【解析】解：∵l1//l2//l3，
∴DEEF=ABBC，
∵DE=3，EF=4，AB=2，
∴34=2BC，
解得：BC=83，
故答案为：83.
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
13.【答案】300步
【解析】解：设正方形城池的边长为x步，则AE=CE=12x，
∵AE//CD，
∴∠BEA=∠EDC，
∴Rt△BEA∽Rt△EDC，
∴ABEC=AECD，即3012x=12x750，
∴x=300，
即正方形城池的边长为300步．
故答案为：300步．
设正方形城池的边长为x步，则AE=CE=12x，证明Rt△BEA∽Rt△EDC，利用相似比得到3012x=12x750，然后利用比例性质求出x即可．
本题考查了相似三角形的应用，数学常识，由三视图判断几何体，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理．
14.【答案】①②④
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴MN//BC，∠NMQ=∠MQP=∠QPN=90∘，
∵AD为高，
∴∠ADQ=90∘，
∴∠AEM=90∘，
∵EM//BC，
∴∠AME=∠C，
而∠AEM=∠MQC=90∘，
∴△AEM∽△MQC，所以①正确；
当点P是BD的中点时，
∴BP=PD，
∵∠DPN=∠PNE=∠EDP=90∘，
∴四边形PDEN为矩形，
∴NE=PD，
∴NE=BP，
∵NE//BC，
∴∠ANE=∠B，
在△ANE和△NBP中，
∠ANE=∠BNE=BP∠AEN=∠NPB，
∴△ANE≌△NBP(ASA)，
∴AE=NP，所以②正确；
当矩形PQMN是正方形时，MN=NP，
而NP=DE，
∴MN=DE，
∴AE=AD−DE=AD−MN，
∵MN//BC，
∴△AMN∽△ACB，
∴MNBC=AEAD，即MNBC=AD−MNAD，
∴MN⋅AD=BC⋅AD−BC⋅MN，
∴AD=BC⋅MNBC−MN，所以③错误；
当PN：PQ=1：2，
设PN=x，PQ=2x，则DE=x，MN=2x，
∵MN//BC，
∴△AMN∽△ACB，
∴MNBC=AEAD，即2x120=80−x80，
解得x=2407，
即PN=2407，所以④正确．
故答案为：①②④．
利用矩形的性质得MN//BC，∠NMQ=∠MQP=∠QPN=90∘，再利用∠AME=∠C，∠AEM=∠MQC可证明△AEM∽△MQC，则可对①进行判断；当点P是BD的中点时，证明NE=BP，接着证明△ANE≌△NBP得到AE=NP，则可对②进行判断；当矩形PQMN是正方形时，MN=NP，则可证明AE=AD−MN，接着证明△AMN∽△ACB，根据相似三角形的性质得到MNBC=AEAD，即MNBC=AD−MNAD，然后利用比例的性质可对③进行判断；当PN：PQ=1：2，设PN=x，PQ=2x，则DE=x，MN=2x，证明△AMN∽△ACB，利用相似比得到2x120=80−x80，然后解方程可对④进行判断．
本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，灵活运用相似三角形的判定方法；在应用相似三角形的性质时，利用相似三角形的对应角相等解决角度的计算，利用相似比解决线段的计算．也考查了矩形和正方形的性质．
15.【答案】2 2.
【解析】解： 18+2 2− 12× 32
=3 2+2 2− 18
=3 2+2 2−3 2
=2 2.
先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
16.【答案】x1=−13,x2=2；
x1=4+ 7,x2=4− 7
【解析】(1)由题意得，(3x+1)(x−2)=0，
3x+1=0或x−2=0，
解得，x1=−13,x2=2；
(2)由题意得，x2−8x=−9，
x2−8x+16=−9+16，
(x−4)2=7，
x−4=± 7，
故x1=4+ 7,x2=4− 7.
(1)方程左边因式分解得(3x+1)(x−2)=0，进而得解；
(2)先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案．
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
17.【答案】(1)证明：∵a=1，b=−(m+2)，c=2m，
∴Δ=b2−4ac=[−(m+2)]2−4×1×2m=m2+4m+4−8m=m2−4m+4=(m−2)2≥0，
∴无论m为何值，方程总有实数根；
(2)解：将x=5代入原方程得：25−5(m+2)+2m=0，
∴m=5，
∴m的值为5.
【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2−4ac，可得出Δ=(m−2)2≥0，进而可证出：无论m为何值，方程总有实数根；
(2)将x=5代入原方程可得出关于m的一元一次方程，解之即可求出m的值．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：(1)牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；(2)代入x=5，求出m的值．
18.【答案】解：设前三季度生产量的平均增长率为x，
由题意得：200(1+x)2=288，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不符合题意，舍去)，
答：前三季度生产量的平均增长率为20%.
【解析】设前三季度生产量的平均增长率为x，根据开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=∠C=60∘，
又∵∠ADE=60∘，
∴∠BAD+∠BDA=∠BDA+∠EDC=120∘，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE；
(2)解：∵△ABC是等边三角形，AB=3，BD=1，
∴BC=3，CD=BC−BD=2，
由(1)知△ABD∽△DCE，
∴ABCD=BDCE，
即32=1CE，
∴CE=23，
∴AE=AC−CE=3−23=73.
【解析】(1)根据等边三角形的性质得出∠BAC=∠B=∠C=60∘，进而推出∠BAD=∠CDE，即可判定△ABD∽△DCE；
(2)根据等边三角形的性质及相似三角形的性质求解即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟记相似三角形的判定定理与性质定理及等边三角形的性质是解题的关键．
20.【答案】(1)12；
(2)如图②，点F即为所求；
；
(3)如图③，M点即为所求：
证明：∵BP//CQ，
∴AMMC=APCQ=23，
∴AMAC=25，
∴AM=85，
∴△ABM的面积=12AB⋅AM=85.
【解析】解：(1)∵AB//CD，
∴△AEB∽△DEC，
∴BECE=ABCD，
∵AB=1，CD=2，
∴BECE=12，
故答案为：12；
(2)如图②，点F即为所求；
；
(3)如图③，M点即为所求：
证明：∵BP//CQ，
∴AMMC=APCQ=23，
∴AMAC=25，
∴AM=85，
∴△ABM的面积=12AB⋅AM=85.
(1)证明△AEB∽△DEC，根据相似三角形的性质解答；
(2)根据相似三角形的性质画出图形，作出点F；
(3)依据平行线的性质，作出图形即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质与平行线的性质，掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．
21.【答案】河流的宽度为10米．
【解析】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G，
∵DE//BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴ACAE=BCDE=814=47，
∴ACEC=43，
∵AF⊥BC，EG⊥BC，
∴AF//EG，
∴△ACF∽△ECG，
∴AFEG=ACEC，即AF7.5=43，
解得AF=10，
∴河流的宽度为10米．
过E作EG⊥BC于G，依据△ABC∽△ADE，即可得出ACEC=43，依据△ACF∽△ECG，即可得到AFEG=ACEC，进而得出AF的长．
本题考查了相似三角形的应用，正确地添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．
22.【答案】x=2时，代数式x2−4x+5有最小值1；
①s=−2x2+40x；
②x=10时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是200平方米．
【解析】(1)x2−4x+5
=(x2−4x+4)−4+5
=(x−2)2+1，
∵(x−2)2≥0，
∴(x−2)2+1≥1
∴当x=2时，代数式x2−4x+5有最小值1；
(2)①设矩形鸡场的面积为s，
则s=x(40−2x)=−2x2+40x；
②s=−2x2+40x
=−2x2+40x−200+200
=−2(x−10)2+200，
∵(x−10)2≥0，
∴−2(x−10)2≤0，
∴−2(x−10)2+200≤200，
则当x=10时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是200平方米．
(1)利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答；
(2)①根据矩形面积公式列出关系式；
②利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答．
本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、熟记偶次方的非负性是解题的关键．
23.【答案】 53 6
【解析】【教材呈现】证明：连结ED，如图①，
∵D、E分别是边BC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AC,DE=12AC，
∴△DEG∽△ACG，
∴GECG=GDAG=DEAC=12，
∴GECE=GDAD=13；
(1)解：∵▱ABCD为矩形，
∴∠ABC=90∘,OB=12BD=12AC，
∵点E为边BC的中点，
由【教材呈现】得：OFOB=13，即OF=13OB，
在直角三角形ABC中，AB=2，BC=4，
由勾股定理得：AC= AB2+BC2= 42+22=2 5，
∴OB=12BD=12AC= 5，
∴OF=13OB= 53；
故答案为： 53；
(2)解：如图③，连接OE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O为BD的中点，S▱ABCD=2S△BDC，
∵点E为边BC的中点，
由【教材呈现】得：OFOB=13，EGDE=13，即OF=13OB，EG=13DE，
∴S△OBE=3S△EOF，S△ODE=3S△EOG，
∴S△BDE=S△OBE+S△ODE=3(S△EOF+S△EOG)=3S四边形OFEG，
∵四边形OFEG的面积为12，
∴S△BDE=3S四边形OFEG=32，
∵点E为边BC的中点，
∴S△BDC=2S△BDE=32×2=3，
∴S▱ABCD=2S△BDC=3×2=6，
故答案为：6.
【教材呈现】根据三角形中位线定理可得DE//AC,DE=12AC，从而得到△DEG∽△ACG，即可解答；
(1)由【教材呈现】可得 OF=13OB，然后由勾股定理可得AC=2 5，即可求解；
(2)根据平行四边形的性质可得点O为BD的中点，S▱ABCD=2S△BDC，再由【教材呈现】可得OF=13OB，EG=13DE，从而得到S△BDE=S△OBE+S△ODE=3(S△EOF+S△EOG)=3S四边形OFEG，即可求解．
本题属于相似形综合题，主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形和矩形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形和矩形的性质是解题的关键．
24.【答案】1，2；
△ABC为直角三角形，理由如下：
∵OC=4，
∴OB2=OA⋅OC=4，
∴OAOB=OBOC，
又∵∠AOB=∠BOC=90∘，
∴△AOB∽△BOC，
∴∠ABO=∠BCO，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=∠BCO+∠OBC=90∘，
∴∠ABC=90∘，
∴△ABC为直角三角形；
t=16 59；
P点坐标为P1(−4,0)或P2(4,4)或P3(−1,32)或P4(1,52)
【解析】(1)∵x2−3x+2=0，
∴(x−1)(x−2)=0，
∴x1=1，x2=2，
∴OA=1，OB=2.
故答案为：1，2；
(2)△ABC为直角三角形；理由如下：
∵OC=4，
∴OB2=OA⋅OC=4，
∴OAOB=OBOC，
又∵∠AOB=∠BOC=90∘，
∴△AOB∽△BOC，
∴∠ABO=∠BCO，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=∠BCO+∠OBC=90∘，
∴∠ABC=90∘，
∴△ABC为直角三角形；
(3)设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B，点C的坐标代入得：
b=2−4k+b=0，
解得k=12,b=2
∴直线BC的解析式为y=12x+2.
如图，延长AB至点A′，使BA′=AB，连接A′O，交BC于点P，此时△AOP周长最短．
∵A′与A关于BC对称，
∴B是AA′的中点，
∵B(0,2)，A(1,0)，
∴A′(−1,4).
设直线OA′的解析式为y=px，将点A′的坐标代入得：
−p=4，
解得：p=−4，
故OA′的解析式为y=−4x，
联立得：y=−4xy=12x+2，
解得：x=−49y=169，
∴P(−49,169)，
∴CP= (−4+49)2+(0−169)2=16 59，
∴t=16 591=16 59；
(4)分两种情况：
①当BPOB=ABOA时，△ABP∽△AOB，
∴BP2= 51，
解得BP=2 5，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC= OB2+OC2= 22+42=2 5，
如果点P1在线段BC上，那么CP1=BC−BP1=2 5−2 5=0，
此时P1点与C点重合，即P1(−4,0)；
如果点P2在线段CB的延长线上，此时点P与点C关于点B对称，
∴P2(2×0+4,2×2−0)，即P2(4,4)；
②当BPOA=ABOB时，△ABP∽△BOA，
∴BP1= 52，
解得BP= 52，
如果点P3在线段BC上，过点P3作P3H⊥x轴，则CP3=3 52，
可得P3H//OB，
∴△CP3H∽△CBO，
∴CP3CB=P3HOB=CHCO，
∴3 522 5=P3H2=CH4，
∴P3H=32，CH=3，
∴OH=1，
∴P3(−1,32)；
如果点P4在线段CB的延长线上，此时点P4与点P3关于点B对称，
∴P4(2×0+1,2×2−32)，即P4(1,52)；
综上所述，P点坐标为P1(−4,0)或P2(4,4)或P3(−1,32)或P4(1,52).
(1)解方程x2−3x+2=0，得出AO=1，OB=2；
(2)由OB2=OA⋅OC=4，即OAOB=OBOC，又∠AOB=∠BOC=90∘，得到△AOB∽△BOC，则∠ABO=∠BCO，证明∠ABC=90∘，判断出△ABC为直角三角形；
(3)由于OA=1为定值，所以OP+AP最小时，△AOP周长最短．由(1)知∠ABC=90∘，那么延长AB至点A′，使BA′=AB，连接A′O，交BC于点P，此时△AOP周长最短．求出OA′的解析式，与直线BC的解析式联立组成方程组，解方程组求出P点坐标，进而得到点P运动的时间；
(4)由于∠ABP=∠AOB=90∘，所以分两种情况进行讨论：①当BPOB=ABOA时，△ABP∽△AOB；②当BPOA=ABOB时，△ABP∽△BOA，分别求出BP的长，再分点P在线段BC与线段CB的延长线上确定点P的坐标．
本题属于相似形综合题，主要考查了一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，运用待定系数法求一次函数的解析式，轴对称的性质，两函数交点坐标的求法等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合及分类讨论是解题的关键．例2：如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G，求证：GECE=GDAD=13.
证明：连结ED.