2025-2026学年吉林省九年级上册第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年吉林省九年级上册第一次月考数学试卷（含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A.3x+1=0B.y2+2x=1C.x2−1=0D.1x+x2=1

2.抛物线y=3x−72+5的顶点坐标是（ ）
A.7, 5B.7, −5C.−7, 5D.−7, −5

3.已知一元二次方程2x2−x−3=0的一个根是x=m，则4m2−2m的值为（ ）
A.3B.6C.9D.12

4.设点−1,y1，2,y2，3,y3是抛物线y=−2x2+m上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A.y3>y2>y1B.y1>y3>y2C.y3>y1>y2D.y1>y2>y3

5.某班班主任为在开学季让学生带着新的梦想、新的希望开启新的学期，组织学生互送贺卡一张互相鼓励，若全班共送出贺卡1722张，设该班有x人，根据题意可列方程（ ）
A.xx−1=1722B.12xx+1=1722C.xx+1=1722D.12xx−1=1722

6.如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是−3，顶点坐标是−1,4，则下列说法正确的是（ ）
A.2a+b=0B.y最大值=−1C.a+b+c=0D.4a−2b+c0个单位长度，图象恰好经过点5,−2，求n的值．

19.信阳毛尖，中国十大名茶之一，产于河南省信阳市．茶叶颜色深绿，叶片肥厚，品质上乘，纯净清澈，香味持久，回味悠长．某茶农准备出售一批信阳毛尖茶叶．已知茶叶的进价为每斤80元，现在售价为每斤110元，每星期可卖100斤．经市场调研发现，若每斤茶叶每涨价1元，则每星期要少卖出2斤．设每斤茶叶涨价x元．
（1）求每星期获得的利润y与x之间的函数关系式．
（2）每斤茶叶涨价多少元时，每星期获得的利润最高？此时利润为多少？

20.图1是喷水管OA从点A向四周喷出水花的喷泉，喷出的水花是形状相同的抛物线．如图2，以点O为原点，建立平面直角坐标系，水平方向为x轴，OA所在直线为y轴，点C,D为水花的落水点在x轴上，抛物线的解析式为y=−14x−22+32x≥0．
（1）求喷水管OA的高度；
（2）现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离5米，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点2米处达到最高，求喷水管OA要升高多少？

21.如图，在Rt△ABO中，∠AOB=90∘，AO=BO=8cm，矩形CDEF的边CD在边OB上，边CF在边AO上，点C与点O重合，CD=4cm，CF=2cm，矩形CDEF从点O的位置出发，以每秒1cm的速度沿着CB的方向做匀速直线运动，当点C与点B重合时停止运动．设矩形CDEF运动的时间为tst>0，矩形CDEF与△ABO重叠部分的面积为Scm2．
（1）当点E落在边AB上时，求t的值；
（2）求S与t之间的函数关系式；
（3）当S=7时，直接写出t的值．

22.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c经过点A0,−2，其对称轴为直线x=1．点P是此抛物线上的点，其横坐标为2m，连结AP，取AP的中点B，过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q，连接AQ、PQ．
（1）求此抛物线对应的函数解析式．
（2）当抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大时，求m的取值范围．
（3）当点P的纵坐标为1时，求点Q的坐标．
（4）当△APQ的边与x轴平行时，直接写出此抛物线在点A与点Q之间的部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点纵坐标的差．
参考答案与试题解析
2025-2026学年吉林省九年级第一次月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
分式方程的定义
一元二次方程的定义
【解析】
本题主要考查了一元二次方程的概念，一元一次方程的概念，分式方程的概念等知识点，根据相关知识点一一判断即可；
【解答】
解：3x+1=0，是一元一次方程，故选项A错误，不符合题意；
y2+2x=1，是二元二次方程，故选项B错误，不符合题意；
x2−1=0，是一元二次方程，故选项C正确，符合题意；
1x+x2=1，是分式方程，故选项D错误，不符合题意；
故选：C
2.
【答案】
A
【考点】
二次函数的性质
【解析】
根据顶点式解析式即可解答．
【解答】
解：抛物线y=3x−72+5的顶点坐标是7, 5，
故选：A．
3.
【答案】
B
【考点】
已知式子的值，求代数式的值
【解析】
本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解成为解题的关键．利用方程的根的定义，将根代入方程，再通过变形求出4m2−2m的值．
【解答】
解：∵x=m是一元二次方程2x2−x−3=0的一个根，
∴将x=m代入方程可得： 2m2−m−3=0，
∴2m2−m=3，
观察4m2−2m，可以变形为22m2−m，
∴22m2−m=2×3=6，
即4m2−2m的值为6．
故选：B．
4.
【答案】
D
【考点】
y=ax²+k的图象和性质
【解析】
本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小，由题意可得对称轴为y轴，则−1,y1关于y轴的对称点为1,y1，根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系．
【解答】
解：∵抛物线解析式为y=−2x2+m，
∴对称轴为y轴
∵−1,y1关于对称轴y轴对称点为1,y1，
∴1,y1是抛物线y=−2x2+m上点，
又∵a=−20时，y随x的增大而减小，
∵1y3，
故选：D．
5.
【答案】
A
【考点】
此题暂无考点
【解析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.
设该班有x人，则每人需送出x−1张，根据全班共送出贺卡1722张，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：设该班有x人，则每人需送出x−1张，
依题意得：xx−1=1722，
故选：A．
6.
【答案】
C
【考点】
抛物线与x轴的交点
根据二次函数的图象判断式子符号
【解析】
本题考查了二次函数的图象与性质．由题意可知，对称轴为直线x=−b2a=−1，图象与x轴有另一个交点的横坐标是1，当x=−2时，y=4a−2b+c>0，据此求解即可．
【解答】
解：∵顶点坐标是−1,4，
∴对称轴为直线x=−b2a=−1，
∴2a−b=0，选项A说法错误，不符合题意；
由图象可知，a0，选项D说法错误，不符合题意；
∵抛物线对称轴为直线x=−1，且与轴的一个交点的横坐标是−3，
∴图象与x轴有另一个交点的横坐标是1，
∴y=a+b+c=0，选项C说法正确，符合题意；
故选：C．
二、填空题
7.
【答案】
±3
【考点】
y=ax²的图象与性质
y=a（x-h）²的图象和性质
【解析】
本题考查的知识点是二次函数的图象与性质，核心是理解抛物线的形状由二次项系数的绝对值决定；当两个抛物线形状相同时，它们二次项系数的绝对值相等．
【解答】
∵抛物线y=ax−12与抛物线y=−3x2的形状相同，
∴二次项系数的绝对值相等，
∴a=−3=3,
∴a=±3．
故答案为：±3．
8.
【答案】
4
【考点】
此题暂无考点
【解析】
本题考查了一元二次方程的一般形式，根据题意正确得出一般式，即可得到答案．
【解答】
解：∵一元二次方程9x2=5−4x化成一般形式之后，二次项的系数是9，
∴化成的一般形式为9x2+4x−5=0，
∴一次项系数为4，
故答案为：4．
9.
【答案】
m≥−2
【考点】
根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【解析】
本题考查利用图象法确定一元二次方程根的情况，把方程ax2+bx+c=m的解的情况，看成抛物线y=ax2+bx+c和直线y=m的交点问题，根据方程有实数根，得到两个图象有交点，进行求解即可．
【解答】
解：由图象可知，抛物线的顶点坐标为4,−2，
当x=4时，函数有最小值为：y=−2，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m有实数根，
∴抛物线y=ax2+bx+c和直线y=m有交点，
∴m≥−2；
故答案为：m≥−2．
10.
【答案】
21
【考点】
解一元二次方程-配方法
【解析】
本题主要考查配方法，熟练掌握一元二次方程的配方法是解题的关键；由题意可先对一元二次方程进行配方，然后可得m、n的值，进而问题可求解．
【解答】
解：由方程x2−6x+2=0可配方得：x−32=7，
∴m=3,n=7，
∴mn=21；
故答案为：21．
11.
【答案】
−5
【考点】
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质
已知抛物线上对称的两点求对称轴
【解析】
根据顶点P在线段AB上移动，又知点A、B的坐标分别为−2,3，1,3，分别求出对称轴过点A和B时的情况，即可判断出M点横坐标的最小值．
【解答】
解：根据题意知，
点N的横坐标的最大值为4，此时对称轴过点B1,3，点N的坐标为4,0，此时的M点坐标为−2,0，
当对称轴过点A−2,3时，点M的横坐标最小，此时的N点坐标为1,0，M点的坐标为−5,0，
故答案为：−5．
三、解答题
12.
【答案】
x1=5,x2=−2
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
用提取公因式法来进行因式分解求解方程即可．
【解答】
解：x−52+7x−5=0，
提取公因式x−5，得x−5x−5+7=0，
∴x−5=0或x−5+7=0，
当x−5=0时，解得x=5；
当x−5+7=0时，解得x=−2；
综上，方程的解为：x1=5,x2=−2．
13.
【答案】
−3
【考点】
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质
根据二次函数的定义求参数
【解析】
本题考查二次函数的定义(自变量最高次数为2、二次项系数不为0)和性质(二次项求解满足条系数大于0时图象开口向上)，求满足条件的a值．
【解答】
解：∵函数y=2−axa2−7是关于x的二次函数，
∴根据二次函数的定义，自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0，
a2−7=22−a≠0 ，
解得a=±3a≠2 ，
∵函数图象开口向上，
又∵在函数y=2−axa2−7中，二次项系数为2−a，
∴2−a>0，即a0，
∴函数图象开口向上，当y≤2时，x的取值范围是1−6≤x≤1+6．
（3）由题意，平移后的函数解析式为y=x−1−22−4−n=x−32−4−n，
将点5,−2代入得−2=5−32−4−n，解得n=2．
19.
【答案】
（1）y=−2x2+40x+3000
（2）每斤茶叶涨价10元时，每星期获得的利润最高，此时利润为3200元
【考点】
二次函数的应用——销售问题
【解析】
（1）根据题意列出函数解析式即可；
（2）根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】
（1）解：根据题意，得y=100−2x110−80+x，
化简，得y=−2x2+40x+3000．
（2）解：∵−2