安徽省安庆市迎江区安庆市石化第一中学九年级上学期1月期末数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省安庆市迎江区安庆市石化第一中学九年级上学期1月期末数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了 已知，则代数式的值为， 如图，在中，，，是边上一点， 二次函数图象的顶点坐标是等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故A符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
2. 已知，则代数式的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，用b表示a，再代入求解，即可．
【详解】∵，
∴，
∴==，
故选D．
【点睛】本题主要考查比例的性质和分式的求值，根据条件，用b表示a是解题的关键．
3. 如图，在中，，，是边上一点（不与端点重合），过点作的垂线，垂足为，交的延长线于点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，余角性质，由得，由勾股定理得，又由，可得，再根据正弦的定义即可求解，由余角性质得到是解关键题的．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
4. 二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.
【详解】∵，
∴二次函数图象顶点坐标为：.
故答案为A.
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
5. 如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆上，∠C＝28°，则∠ADB等于（ ）
A. 28°B. 52°C. 56°D. 62°
【答案】D
【解析】
【分析】连接AB，根据同弧所对的圆周角相等，得∠C=∠B，再根据直径所对的圆周角是直角得∠BAD=90°，即可求解．
【详解】解：连接AB，则∠C=∠B，
∵BD是直径，
∴∠BAD=90°，
∴∠ADB=90°-28°=62°．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角，及在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等定理．
6. 如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据题意可先证明，再根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
添加条件，结合条件，可以根据两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故A不符合题意；
添加条件，结合条件，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故B不符合题意；
添加条件，结合条件，不可以证明，故C符合题意；
添加条件，结合条件，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故D不符合题意；
故选：C．
7. 若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（ ）
A. 图1B. 图2C. 图3D. 图4
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解．
【详解】选项A中，阴影面积，故选项A不符合题意；
选项B中，阴影面积为，故选项B符合题意；
选项C中，阴影面积为，故选项C不符合题意；
选项D中，阴影面积为，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．也考查了反比例函数的对称性，三角形的面积．
8. 如图，与是以为位似中心的位似图形，且相似比为，则与的面积比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据位似图形的面积比等于相似比的平方可求解．
【详解】解：与是以为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴
故选：A．
【点睛】此题主要考查了位似图形，熟练掌握位似图形的面积比等于相似比的平方是解答此题的关键．
9. 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝BD＝5，AB＝6，E为AB的中点，F为CD上一点，连接EF交BD于点G，若S△FDG：S△EDG＝2：3，则EF的长是（ ）
A. B. 2C. 2D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】先解直角三角形求出DE，再利用相似三角形的性质求出DF，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：∵AD＝BD，E为AB的中点，
∴DE⊥AB，AE＝BE＝ AB＝3，
∴DE＝，
∵S△FDG：S△EDG＝2：3，
∴FG：EG＝2：3，
∵AB∥CD，
∴△DFG∽△BEG，
∴，
∴DF＝2，
∵AB∥CD，DE⊥AB，
∴DE⊥CD，
∴EF＝．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形判定和性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10. 如图，如图，直线与抛物线的图象都经过轴上的点，抛物线与轴交于、两点，其对称轴为直线，且．直线与轴交于点（点在点的右侧）．则下列命题中正确的个数是（ ）
①；②；③；④．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了抛物线的性质，解决本题的关键是利用图象判断系数的符号以及一次函数的性质．根据抛物线的性质逐项判断即可．由抛物线的开口判断的符号；由对称轴判断及与的关系；还可由图象上点的坐标判断．
【详解】解：抛物线开口向上，
．
抛物线对称轴是直线，
且．
抛物线与轴交于正半轴，
．
∴
①错误；
故②是正确；
直线经过一、二、四象限，
．
当x=0时，则，
，
点的坐标为．
直线当时，，
可得．
③正确；
直线与抛物线的图象有两个交点
，
得，，
由图象知，
，
，
∴④正确．
综上，正确的命题有3个．
故选：D．
二．填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若关于的方程有实数根，则实数m的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据，一元二次方程有实根的方法即可求解，掌握根与系数的关系求参数的方法是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，，
解得，，
故答案为： ．
12. 若点、均在反比例函数（k为常数）的图象上，则m、n的大小关系为m________n．（填“＞”“＝”或“＜”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图象的性质，利用函数的增减性求解．根据反比例函数的值，判断函数的增减性即可求解．
【详解】解：反比例函数，，所以函数的图象在二 、四象限，
根据函数性质，函数在二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，
，
，
故答案为：．
13. 如图，AB是⊙O半径OC垂直平分线，点P是劣弧AB上的点，则∠APB的度数为_____．
【答案】120°
【解析】
【分析】在优弧AB上取一点T，连接TA，TB，OA，OB，AC．证明△AOC是等边三角形，求出∠T即可解决问题．
【详解】解：优弧AB上取一点T，连接TA，TB，OA，OB，AC．
∵AB垂直平分OC，
∴AO＝AC，，
∵OA＝OC，
∴OA＝OC＝AC，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠T＝∠AOB＝60°，
∵∠T+∠APB＝180°，
∴∠APB＝120°，
故答案为120°．
【点睛】本题考查圆周角定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
14. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，F为DA上一点，连接BF，E为BF中点，CD=6，sin∠ADB=，若△AEF的周长为18，则S△BOE=_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求出AD=18，设AF=，则BF=，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求得，求出DF=10，可求出S△BDF，由三角形中位线定理可求出答案．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，∠BAD=90°，OB=OD，
∵sin∠ADB=，
∴，
∴BD，
∴，
∵E为BF中点，
∴AE=BE=EF，
∵△AEF的周长为18，
∴AE+EF+AF=BE+EF+AF=BF+AF=18，
设AF=，则BF=，
在Rt△ABF中，AB2+AF2=BF2，
∴62+2=()2，
解得：，
∴DF=18-8=10．
∵E为BF中点，O为BD的中点，
∴OE∥DF，OE=DF，
∴△BOE∽△BDF，
∴，
∵DF•AB=×6×10=30，
∴S△BOE=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，中位线定理，三角形的面积等知识，熟练掌握几何基本图形的性质是解题的关键．
三．解答题（本大题共2小题，每题8分，共16分）
15. 计算:
【答案】
【解析】
【分析】根据特殊的三角函数值计算即可.
【详解】原式
【点睛】本题考查的是特殊的三角函数值的计算，掌握特殊的三角函数值是关键.
16. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．
（1）在图①中，作关于点O对称的，并写出点的坐标为________；
（2）在图②中，作绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的．
【答案】（1）点的坐标为，见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据中心对称图形的基本作图要领画图即可．
（2）把绕点A旋转90°，得到的顶点在格点上．
本题考查了尺规作图，熟练掌握中心对称图形，旋转作图是解题的关键．
【小问1详解】
解：根据中心对称图形基本作图要领，作图如下：
则即为所求，且点的坐标为，
故答案为：．
【小问2详解】
根据题意，作图如下：
则即为所求．
17. 为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练．在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为3米时，达到最大高度的B处，请你自己建立平面直角坐标系，计算小丁此次投掷的成绩是多少米？

【答案】8米
【解析】
【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．如图建立直角坐标系，可得顶点坐标为，A点坐标为，根据顶点坐标设二次函数解析式为，把A点坐标代入即可求出a值，可得二次函数解析式，令，求出x的正值即为铅球投掷的成绩．
【详解】解：如图，建立直角坐标系，

∵铅球出手处距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为3米时，最大高度为米，
∴顶点坐标为，A点坐标为，
∴可设二次函数的解析式为，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
当时，，
解得：（舍去），
∴小丁此次投掷的成绩是8米．
18. 某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线方向继续飞行10米至B处，测得河流右岸D处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上，其中．求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）．

【答案】河流的宽度CD约为53米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点B作于点E，分别解和即可求解，作垂线构造直角三角形是解题的关键．
【详解】解：过点B作于点E，如图：

则四边形是矩形．
∴，
∵，
，
在中，，
∴，
∴，
在中，，．
∴，
∴，
，
∴．
答：河流的宽度CD约为53米．
19. 某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量（件与销售单价（元满足一次函数关系．当销售单价为35元时，每天的销售量为350件；当销售单价为40元时，每天的销售量为300件．
（1）求与之间的函数关系式．
（2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）当销售单价为48元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3960元．
【解析】
【分析】（1）设与之间的函数关系式为，根据题意得到方程组，于是得到结论；
（2）设利润为元，列不等式得到，根据题意得到函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）设与之间的函数关系式为，
根据题意得，，
解得：，
与之间的函数关系式为；
（2）设利润为元，
，
，
根据题意得，，
，对称轴，
当时，，
答：当销售单价为48元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3960元．
【点睛】本题考查二次函数应用、一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
20. 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于，两点，分别连接．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）请直接写出自变量的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或．
【解析】
【分析】（）利用一次函数求出点的坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；
（）联立函数解析式，求出点坐标，再由一次函数解析式得出点坐标，根据计算即可求解；
（）根据函数图象即可求解；
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积，求出交点的坐标是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵一次函数 经过点，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：联立函数解析式得，，
解得或，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：由图象可得，当或时，．
六．（本题满分12分）
21. 已知：如图，在四边形中，，对角线交于点E，点F在边上，联结交线段于点G，．

（1）求证：；
（2）联结，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
（1）先根据得出，再由可知，．根据得出，故可得出结论；
（2）先根据，得出，故．再由得出，进而可得出结论．
【小问1详解】
证明：，
．
又，
．
．
，
．
．
【小问2详解】
证明：，，
．
．
又，
．
．
．
七．（本题满分12分）
22. 如图，在△ABC中，.以AC为直径的O交AB于点D，交BC于点E.
（1）求证：弧DE=弧CE.
（2）若，，求的值.
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连结AE，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC＝90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE＝CE，进而利用等腰三角形的性质得出∠BAE＝∠CAE，进而证明即可；
（2）连结DE，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．
【详解】（1）连结AE，如图，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°，
∴AE⊥BC，
而AB＝AC，
∴BE＝CE，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴弧DE=弧CE.；
（2）连结DE，CD，如图，
∵BE＝CE＝3，
∴BC＝6，
∵∠BED＝∠BAC，
而∠DBE＝∠CBA，
∴△BED∽△BAC，
∴,，即，
∴BA＝9，
∴AC＝BA＝9．
∴AD＝AB−BD＝9−2＝7，
∴DC＝＝4
∴tan∠BAC＝＝.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．
八．（本题满分14分）
23. 如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）抛物线上是否存在一点Q，使与的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在， G点坐标为或或或
（3）存在，△QMB与△PMB的面积相等时，Q点坐标为， 或或
【解析】
【分析】（1）把三点坐标代入函数式，列式求得，，的值，即求出解析式；
（2）求得抛物线顶点和点的坐标，分两种情况根据三角形相似列比例式可得点的坐标；
（3）根据三角形面积相等即同底等高即可，故分别求出与过点P与直线BC平行的直线解析式和过点N与直线BC平行的直线解析式，再分别与抛物线的解析式联立方程，解方程组即可求得点．
【小问1详解】
解：把、、三点代入抛物线解析式得：，
解得：，
所以抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：存在，
由，
则顶点，对称轴为直线，
∴，
∵、，
∴，，
分两种情况讨论：
①当时，
∴，即，
∴，
∴或，
②当时，
∴，即，
∴，
∴或，
综上，点的坐标为或或或；
【小问3详解】
解：存在，
设直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴，
∴设过点与直线平行的直线为：，
将点代入，得，
解得，，
∴过点与直线平行的直线解析式为：，
联立，解得：，，
∵，
∴，
设过点与直线平行的直线为：，
同理将点代入，得出过点N与直线平行的直线为：，
联立，解得：，，
∴的坐标为或，
综上，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数解析式的顶点式，三角形相似的性质以及一次函数图象与二次函数图象的交点问题，本题较难．利用分类讨论的思想是解答本题的关键．