安徽省安庆市第四中学2023—2024学年上学期九年级数学期中考试试卷（解析版）-A4

这是一份安徽省安庆市第四中学2023—2024学年上学期九年级数学期中考试试卷（解析版）-A4，共16页。试卷主要包含了 下列各式中，不是二次函数的是， 已知，则下列等式不成立的是等内容，欢迎下载使用。
命题教师：何非审题教师：丁群
温馨提示：
﹡你现在拿到的这份试卷满分为150分．你将有120分钟的答题时间．
﹡请独立思考，诚信答题，你一定能考出好成绩!
一．选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列各式中，不是二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二次函数的定义分别分析得出即可．
【详解】解：A、是二次函数，故本选项不符合题意；
B、是二次函数，故本选项不符合题意；
C、是一次函数，故本选项符合题意；
D、是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2. 已知，则下列等式不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据比例性质可得，然后逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
A. ，则即，成立，故该选项不符合题意；
B. ，成立，故该选项不符合题意；
C. ，则，即，不成立，符合题意；
D. ，即，成立，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
3. 如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的性质可直接得出结论．
【详解】解：∵，
和分别是和的高，，，
其相似比为，
与的面积的比为．
故选：A．
4. 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（ ）
A. 5B. 10C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据球弹起后又回到地面时，得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：球弹起后又回到地面时，即，
解得（不合题意，舍去），，
∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是2，
故选：D
【点睛】此题考查了求二次函数自变量的值，读懂题意，得到方程是解题的关键．
5. 下列条件中，不能判定和相似的是（ ）
A. B. ，
C. ，且D. ，且
【答案】D
【解析】
【分析】相似三角形的判定方法：有两对角分别相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似．
【详解】解：A．，符合“三边对应成比例，两个三角形相似”，故可以判定和相似，故本选项不符合题意；
B．，，符合“有两对角分别相等的两个三角形相似”，故可以判定和相似，故本选项不符合题意；
C．，且，符合“两边对应成比例且夹角相等两个三角形相似”，故可以判定和相似，故本选项不符合题意；
D．，且，不符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，故不可以判定和相似，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正确理解判定定理是关键．
6. 已知抛物线．当时，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】可先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于的不等式，可求得答案．
【详解】解：，
对称轴为直线，
，
抛物线开口向下，
在对称轴右侧随的增大而减小，
当时，随增大而减小，
，
解得，
故选A．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，由函数的增减性得到关于的不等式是解题的关键．
7. 下列各组四边形中是相似多边形的是（ ）
A. 一组邻边为厘米和厘米与一组邻边为厘米和厘米的矩形
B. 有一个内角为的两个菱形
C. 边长分别为厘米和厘米的两个菱形
D. 两个高相等的平行四边形
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了相似多边形，熟练掌握两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形是解题的关键．根据相似多边形的定义，即可求解．
【详解】解：A、一组邻边为2厘米和5厘米与一组邻边为3厘米和6厘米的矩形，因两个矩形邻边比例不相等，故不是相似四边形，不符合题意；
B、有一个内角为的两个菱形，则两个菱形四个角对应相等，故是相似四边形，符合题意；
C、边长分别为3厘米和4厘米的两个菱形，但两个菱形四个角不一定对应相等，故不是相似四边形，不符合题意；
D、两个高相等的等腰梯形，但两个等腰梯形的腰不一定对应相等，故不是相似四边形，不符合题意．
故选：B．
8. 已知抛物线上有点，当时，则P点纵坐标b的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是得到抛物线的顶点式及熟练掌握y与x的变化关系．根据抛物线解析式得到顶点坐标，结合函数性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴其顶点坐标为．
∵，且，
∴抛物线开口向下，
∴．
故选C．
9. 如图，为等腰直角三角形，于点，于点，连接，设，若，则可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点作于点，设，则，根据勾股定理定理求得，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理定理可得，，，证明，根据相似三角形的性质可得，求得，，证明，根据相似三角形的性质可得，
求得，，从而得到，，然后根据，证明，最后根据相似三角形的性质可得，即可得出答案．
【详解】解：过点作于点，
∴，
∵，
∴，，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，即，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
即可表示为．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质．通过作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
10. 如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】D
【解析】
【分析】①四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，∠EAB、∠GAD与∠BAG的和均为90°，即可证明∠EAB与∠GAD相等；②由题意易得AD=DC，AG=FG，进而可得，∠DAG=∠CAF，然后问题可证；③由四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，可求证△HAF∽△FAC，则有，然后根据等量关系可求解；④由②及题意知∠ADG=∠ACF=45°，则问题可求证．
【详解】解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形
∴∠EAG=∠BAD=90°
又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG
∴∠EAB=∠GAD
∴①正确
②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形
∴AD=DC，AG=FG
∴AC=AD，AF=AG
∴，
即
又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC
∴∠DAG=∠CAF
∴
∴②正确
③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线
∴∠AFH=∠ACF=45°
又∵∠FAH=∠CAF
∴△HAF∽△FAC
∴
即
又∵AF=AE
∴
∴③正确
④由②知
又∵四边形ABCD为正方形， AC为对角线
∴∠ADG=∠ACF=45°
∴DG在正方形另外一条对角线上
∴DG⊥AC
∴④正确
故选：D．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找到需要的相似三角形进而证明．
二．填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知线段，线段，线段c是线段a、b的比例中项，那么______．
【答案】
【解析】
【分析】根据比例中项的定义，得到，代入计算，结合线段的非负性，确定答案即可．
【详解】解：∵线段c是线段a、b的比例中项，线段，线段，
∴，
∴或（舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例中项即称线段c是线段a、b的比例中项，根据定义计算是解题的关键．
12. 在学习画线段的黄金分割点时，小明过点作的垂线，取的中点，以点为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，再以点为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于，两点，最后，以为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点，点即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段______．

【答案】
【解析】
【分析】根据作图可知，，，设，则，根据勾股定理得，，求出，得出，即可得出结论．
【详解】解：根据作图可知，，，
设，则，
根据勾股定理得，，
，
，
以为圆心，“”的长度为半径画弧交于点，点即为的其中一个黄金分割点．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，黄金分割，解的关键是求出．
13. 如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在函数图象上，若，，则的值为________．
【答案】2
【解析】
【分析】分别过引轴垂线，垂足分别为，证明，根据相似三角形的性质可得，进而求得，根据反比例函数的几何意义即可求得的值．
【详解】解：如图，分别过A、B引轴的垂线，垂足分别为，
点A在函数的图象上，
，
，
，
轴，轴，
，，
，
，
又，
，
∴，
，
点B在函数的图象上，
，
∵，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，相似三角形的性质与判定，作出辅助线证明是解题的关键．
14. 如图，抛物线与轴交于A−4,0，，与轴交于点．
（1）这条抛物线所对应的函数的表达式为_______________；
（2）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，则点的坐标为_______________．
【答案】 ①. ②. 或
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的有关性质以及正确求得直线的解析式．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设交轴于点，根据题意可得点的坐标为或，求得的解析式，联立即可求解．
【详解】（1）解：将点代入抛物线解析式
可得：，
解得：，
则拋物线解析式为：．
故答案为：．
（2）如图，设交轴于点，
∵直线把四边形的面积分为两部分，
且
，
∴或，
∵，
∴或，
即点的坐标为或，
设直线的解析式为：，
将点代入解析式可得或，
故直线的解析式为或，
联立方程组或
解得：或（不合题意的值已舍去），
则点的坐标为或．
故答案为：或．
三．解答题（本题共9小题，满分90分）
15. 如图，在中，已知，，且，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．证明，得出，即可求出的长．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
．
16. 已知二次函数的图象顶点为，且过点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）试判断点是否在此函数图象上．
【答案】（1）
（2）点不在此函数图象上，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设该拋物线的解析式为，把点A代入，根据待定系数法即可求得；
（2）把代入解析式，算一下y的值是否为，即可得出答案．
【小问1详解】
∵二次函数的图象顶点为，
∴设该拋物线的解析式为，
将点代入中，得，
该抛物线的解析式为，
即；
【小问2详解】
当时，
，
点不在此函数图象上．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识，能熟练地运用待定系数法求二次函数的解析式是解此题的关键．
17. 如图所示，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，过多少秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似？
【答案】经过2.4秒或者经过秒后两个三角形都相似
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
设经过秒后相似，由于没有说明对应角的关系，所以共有两种情况：与．
【详解】解：设经过秒后，，
此时，．
∴，
∵，
，
，
设经过秒后，，
，
，
，
所以，经过2.4秒或者经过秒后两个三角形都相似．
18. 如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）
（1）在图1中，将点A向左移动1个格点单位，向上移动2个格点单位得到点M，在格点上画出，使得且相似比为．
（2）在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析
【解析】
【分析】本题考查作图—位似变换，平行线分线段成比例定理．
（1）将点A向左移动1个格点单位，向上移动2个格点单位得到点M，点、、三点共线，点B向右移动1个格点单位，向上移动1个格点单位得到点N，点、、三点共线，连接，，；
（2）构建，为分成等份，其中点为等份点，过点的格线交于点
【小问1详解】
如图，将点A向左移动1个格点单位，向上移动2个格点单位得到点M，点、、三点共线，点B向右移动1个格点单位，向上移动1个格点单位得到点N，点、、三点共线，连接连接，，，即为所作，使得且相似比为．
即为所作．
【小问2详解】
如图，取格点，连接、，取点为等份点，过点的格线交于点，
∴，
∵，
∴，
则点即为所作．
19. 对于函数，若存在实数，使成立，则称为的“黎点”．
（1）当，时，求的“黎点”；
（2）若对于任意实数b，函数恒有两个不相同的“黎点”，求a的取值范围．
【答案】（1）和
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根的判别式，解题的关键是理解黎点的定义。
（1）当时，，根据黎点的定义，可得，解方程即可；
（2）根据黎点的定义，由，可得，根据对于任意实数，函数恒有两个不相同的黎点，可得，解不等式即可．
【小问1详解】
当时，，
由题意得，
即，
解得，，
当时， y 的黎点为和；
【小问2详解】
由题意，得，即，
由题意得，
即对于任意实数恒成立，
又因为，
所以要使恒成立，
则则．
20. 如图，中，点D，E分别是上的点，交于点．

（1）求证：；
（2）若，试求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的综合问题，熟练掌握三角形相似的判定方法、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想方法的应用是解题关键．
（1）由已知可得，结合，可以得到；
（2）设，则由（1）和已知条件可以得到关于x的方程，解方程即可得到问题解答．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，，
∴，
而，
∴；
【小问2详解】
解：设，由（1）可知，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即．
21. 杭州亚运会吉祥物组合名为“江南忆”，三个吉祥物以机器人作为整体造型，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，既有深厚的文化底蕴又充满了时代活力．某商家购进了A、B两种类型的吉祥物纪念品，已知每套B型纪念品比每套A型纪念品的多元，套A型纪念品与套B型纪念品共元．
（1）求A、B两种类型纪念品的进价；
（2）该商家准备购进A型纪念品m套，均以每套n元价格全部售完，且m与n之间的关系满足一次函数，物价局规定该纪念品利润率不能高于，问n的值为多少时，A型纪念的销售总利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）A型纪念品的进价是元，B型纪念品的进价是元；
（2）当n为元，A型纪念的销售总利润最大，最大利润是元．
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
（1）设A种类型纪念品的进价为x元，B种类型纪念品的进价为y元，由每套B型纪念品比每套A型纪念品的多元，套A型纪念品与套B型纪念品共元列方程组可解得答案；
（2）设A型纪念品的销售总利润为w元，求出n的取值范围是，而，根据二次函数性质可得答案．
【小问1详解】
解：设A种类型纪念品的进价为x元，B种类型纪念品的进价为y元，由题意得：
解得
答∶A种类型纪念品的进价为元，B种类型纪念品的进价为元．
【小问2详解】
解：设A型纪念品的销售总利润为w元，
物价局规定该纪念品利润率不能高于，
A型纪念品的最高售价为：（元），
的取值范围为：
，，w随n的增大而增大，
当时，
答∶当n为元，A型纪念的销售总利润最大，最大利润是元．
22. 在矩形中，点是对角线、的交点，直角的顶点与重合，、分别与、边相交于、，连接，（为常数）．
（1）发现问题：如图1，若，猜想：________；
（2）类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长．
【答案】（1）1；（2），理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可知，此时四边形ABCD为正方形，然后证明△OEB≌△OFC即可得到OE=OF，从而得出结论即可；
（2）过作于，作于，利用相似三角形的判定与性质证明即可；
（3）根据题意判定，从而得到，令，则，可在Rt△ABC中求出未知数，从而得到BC的长度，最终求得OF和OE的长度，再在Rt△OEF中利用勾股定理求解EF即可．
【详解】解：（1）若，则，即四边形ABCD为正方形，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠EOB=∠FOC，
∴△OEB≌△OFC，
∴OE=OF，
∴
故答案为：1；
（2）．
理由：过作于，作于，
∵，
∴四边形是矩形．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在矩形中，，
∵，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
由（2），，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
令，则，
由题意，，
由勾股定理得，，
解得：，
∴，
∴，
∴，
由（2）知，，
∴在中，，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质等，灵活根据题意构造相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
23. 在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上，如果四个点、0,2、、−1,1中恰有三个点在二次函数（a为常数且）的图象上．

（1）直接写出a的值；
（2）如图1，点P、Q在二次函数图象上，设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，连接交y轴于点，求A点纵坐标的最大值；
（3）如图2，已知菱形的顶点、、在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）当，可知不在二次函数图象上，将代入，求解值即可；
（2）根据题意可得：，求出直线的解析式为，令，则，得出A点纵坐标为，结合，即可求解；
（3）由（1）知，二次函数解析式为，设菱形的边长为，则，由菱形的性质得，，则轴，，根据，即，计算求出满足要求的解即可．
【小问1详解】
解：当时，，
∴不在二次函数图象上，
∴点、、−1,1三个点在二次函数（a为常数且）的图象上
将代入，解得，
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意可得：，
设直线的解析式为，
则，解得：，
故直线的解析式为，
令，则，
即A点纵坐标为，
∵，
∴当时，A点纵坐标的取得最大值，最大值为．
【小问3详解】
解：由（1）知，二次函数解析式为，
设菱形的边长为，则，
由菱形的性质得，，
轴，
，
，
，
解得：（舍去），（舍去），，
∴菱形的边长为．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，一次函数解析式求解，菱形的性质等知识点，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．