安徽省 安庆市第四中学2023—-2024学年上学期八年级数学期末考试试卷（解析版）-A4

这是一份安徽省 安庆市第四中学2023—-2024学年上学期八年级数学期末考试试卷（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了 点关于x轴对称的点的坐标是．等内容，欢迎下载使用。
一．选择题，请将唯一正确答案代号写在括号内（每小题4分，共40分）
1. 点关于x轴对称的点的坐标是( )．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可解答．
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是．
故选：C．
2. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，作一个角等于已知角的尺规作图，根据作图方法可得，则可依据证明，由全等三角形对应角相等可得，据此可得答案．
【详解】解：解：由作图知，
∴，
∴，
∴说明的依据是，
故选：A．
3. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形是关于对称轴两边的图形折叠后重合．
【详解】解：．该图像使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项符合题意；
．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意；
．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意；
．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意．
故选：A．
4. 下列图象中，y不是x的函数图象的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了函数的概念，根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，即可解答．
【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故C符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D不符合题意．
故选：C．
5. 如图，中，，是斜边上的高，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形的高，由直角三角形两锐角互余可得，进而由三角形的高得到，利用30°所对的直角边等于斜边的一半即可得和AB，掌握直接三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是斜边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
6. 对于一次函数，下列叙述正确的是（ ）
A. 函数图象一定经过点
B. 当时，y随x的增大而增大
C. 当时，函数图象一定不经过第二象限
D. 当时，函数图象经过第一、二、三象限
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数图象与系数的关系．
由可得抛物线经过定点，当时，随增大而减小，当时，直线经过第一，三，四象限．
【详解】解：∵，
∴x=-1时，y=-1，
∴直线经过点，选项A正确．
∵时，，直线经过第二，三、四象限，随增大而减小，
∴选项B错误，选项C错误，
当时，，直线经过第一，三，四象限，
∴选项D错误．
故选：A．
7. 已知实数a，b满足，则下列命题是假命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】A．把代入判断即可；B．把代入求出b，再代入计算；C．通分后把代入化简；D．把代入，结合因式分解求解．
【详解】解：A、当时，，
解得：，本选项说法是真命题，不符合题意；
B、当时，，
解得：，
∴，本选项说法是真命题，不符合题意；
C、∵，
∴，本选项说法是真命题，不符合题意；
D、当时，，
解得：或2，本选项说法是假命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，算术平方根的意义，分式的化简求值，方程的解，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8. 如图，在和中，，，，则下列结论不一定成立的是（）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题．
首先证明，推出，，由，推出，推出，即可一一判断．
【详解】解：在和中，
，
故A、C、D正确，
故选：B．
9. 如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，加油站要到三条公路的距离都相等，可知加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个，据此即可求解，掌握叫佛系的性质是解题的关键．
【详解】解：∵加油站要到三条公路的距离都相等，
∴加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个，
∴加油站可供选址的地方有个，
故选：．
10. 如图，已知，分别以、为边向外作等边和等边，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（ ）
A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据等边和的性质，利用可证，由全等三角形的性质可知①正确；由三角形内角和为易求的度数，可知②正确；连接，过分别作于，于，由可得，进而可得平分，所以③正确；在上截取，利用可证，由全等三角形对应边相等可得，故可得④正确，据此即可求解．
【详解】解：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
在与中，
，
∴，
∴，，故①正确；
∵，，，
∴，
∴ ，故②正确；
连接，过分别作于，于，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点在的角平分线上，
∴平分，故③正确；
如图，在上截取，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上，正确结论有①②③④，
故选：．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定， 三角形的内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5，共20分）
11. 若函数是正比例函数，则常数的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数，解题的关键是掌握正比例函数的概念．根据正比例函数的定义可得，，即可求解．
【详解】解：函数是正比例函数，
，，
解得：，，
，
故答案为：．
12. 如图，一个直角三角形，，一条线段，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，问P点运动到____________位置时，才能使与全等．
【答案】的中点或与点重合的
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定，分两种情况，利用判定与全等，得到点的位置即可。
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴①当时，，
∵，
∴，即：当点运动到的中点时，；
②当，即：点与点重合时，；
综上：当点运动到的中点或与点重合的位置，与全等；
故答案为：的中点或与点重合的
13. 如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，求=___________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了角平线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，进而可得，然后进行计算即可解答，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴
=
=，
故答案为：12．
14. 在平面直角坐标系中，垂直x轴的直线l分别与函数的图像交于P、Q两点，若平移直线l，可以使P、Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知在时，有公共解，因此可以列出不等式，从而得到答案．
【详解】令，则，
令，则，
∵平移直线，可以使P、Q都在轴下方，
∴可知在时，有公共解，
∴，解得：，
故填：．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、函数与不等式的关系，解答的关键是将图象问题转化为不等式．
三．解答题（本大题共2小题，每题8分，共16分）
15. 计算下列各题：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（）根据二次根式的乘法运算法则和完全平方公式运算，再合并即可；
（）利用二次根式的性质及乘法运算法则运算，再合并即可；
本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
16. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示．

（1）画出关于y轴对称的并写出点的坐标；
（2）在第一象限的格点上找一点D，连接，，使是以为腰的等腰三角形，此时点D的坐标为______．
【答案】（1）画图见解析，
（2）画图见解析，，；
【解析】
【分析】本题考查的是坐标与图形，画轴对称图形，勾股定理的应用，等腰三角形的定义，熟练的利用图形性质进行画图是解本题的关键．
（1）根据题意得到点A，B，C的对称点，再根据的位置可得其坐标，从而可求解；
（2）根据勾股定理先求解，再在第一象限确定D，使，从而可得答案．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求，；
【小问2详解】
如图，∵，
在第一象限确定D，且，

∴，；
四．解答题（本大题共2小题，每题8分，共16分）
17. 已知与成正比例，且当时，．求：
（1）与之间的函数表达式；
（2）若点，在该一次函数的图象上，且，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（）利用待定系数法解答即可；
（）根据一次函数的增减性，可得，据此即可求解；
本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：设，将x=2，代入得，
，
解得，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴随的增大而增大，
∵点，在该一次函数的图象上，且，
∴，
∴．
18. 如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在异侧，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握各性质是解题的关键：
（1）根据两直线平行内错角相等推出，由此根据证明，即可证得；
（2）根据全等三角形的性质得到，再根据等边对等角及三角形的内角和求出的度数．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴
五．解答题（本大题共2小题，每题10分，共20分）
19. 已知：如图，点分别在等边三角形的边上，，与交于点．求证：中必有一个角为．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键．
证明，则，，进而结论得证．
【详解】证明：∵等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴中必有一个角为．
20. 如图，在中，、是上两点，且，，、分别平分、，、交于点，求证：点到的三个顶点的距离相等．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，连接，设AD与相交于点，与相交于点，由等腰三角形的性质可得是AD的垂直平分线，是的垂直平分线，进而可得，据此即可求证，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】证明：如图，连接，设AD与相交于点，与相交于点，
∵，
∴为等腰三角形，
∵平分，
∴，，
∴是AD的垂直平分线，
∴，
同理可得，
∴，
即点到的三个顶点的距离相等．
六．（本大题满分12分）
21. 如图，已知直线分别与轴交于点A、B，与直线相交于点，点为直线上一点．
（1）______，______；
（2）若的面积为1，求点的坐标．
【答案】（1），23
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了两直线交点，一次函数解析式，坐标与图形等知识．熟练掌握两直线交点，一次函数解析式，坐标与图形是解题的关键．
（1）将代入，可求，即，将代入，可求，然后作答即可；
（2）由直线与轴交于点A，可求，由题意知，，当点在的下方时，如图，由，可知为的中点，可求；当点在的上方时，如图P1，由，可知为的中点，进而可求．
【小问1详解】
解：将代入得，，
∴，
将代入得，，
解得，，
故答案为：，23；
【小问2详解】
解：∵直线与轴交于点A，
∴，
由题意知，，
当点在的下方时，如图，
∵，
∴为的中点，
∴；
当点在的上方时，如图P1，
∴，
∴为的中点，
∴；
综上所述，点的坐标为或．
七．（本大题满分12分）
22. 【发现并提出问题】
手机已经成为现代人生活的一个重要组成部分，通讯公司提供两种手机话费收费套餐供客户选择．
套餐：按月收取租费15元，此外每分钟的费用是元；
套餐：无月租费，直接按通话时间计费，每分钟的费用是元．
小刚仔细阅读了宣传单上的方案说明，发现话费与通话时间有关联，进而想到两种套餐话费收费与时间分别有怎样的关系呢？怎样选择套餐更省钱呢？
【分析并建立模型】
小刚设采用套餐的费用为（元），采用套餐的费用为（元），通话时间为（分钟），并分析得出（元）与（分钟），（元）与（分钟）之间都是一次函数关系．
解决问题】
（1）请直接写出（元）与（分），（元）与（分）之间的关系式．
（2）当通话时间为多少分钟时，两种套餐费用相同？
（3）小刚的父母都选用了套餐，小刚收集了两人近三个月的话费支出，整理汇总下表，
根据三个月话费统计的情况，两人选择的套餐省钱吗？说明理由．
【答案】（1），．
（2）当通话时间为分钟时，两种套餐费用相同．
（3）根据三个月话费统计的情况，小刚父亲选套餐不省钱，小刚母亲选套餐省钱．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，找出y与x之间的关系式．
（1）根据套餐每月的话费为月租加上通话费，套餐每月的话费为通话费，列出关系式即可．
（2）根据两种套餐费用相同，列出关于的方程，求解即可．
（3）根据关系式，列出当套餐每月的话费低于套餐每月的话费时的不等式，解出通话时间小于分钟时，套餐更省钱，再结合小刚的父母的消费情况，列式计算其通话时间进行比较，即可解题．
【小问1详解】
解：由题知，，．
【小问2详解】
解：因为两种套餐费用相同，有，解得，
所以当通话时间为分钟时，两种套餐费用相同．
【小问3详解】
解：当套餐每月的话费低于套餐每月的话费时，
有，解得，即如果通话时间小于分钟时，选套餐更省钱．
小刚父亲：当时，有，解得，
小刚父亲每月最低通话时间为分钟，即通话时间大于分钟，
选套餐不省钱．
小刚母亲：当时，有，解得，
小刚母亲每月最高通话时间为分钟，即通话时间小于分钟，
选套餐省钱．
综上所述，根据三个月话费统计情况，小刚父亲选套餐不省钱，小刚母亲选套餐省钱．
八．（本大题满分14分）
23. 如图，等腰中，，，点分别在坐标轴上．
（1）如图，若点的横坐标为，求点的坐标；
（2）如图，若轴恰好平分，交轴于点，过点作轴于点，求的值；
（3）如图，若点的坐标为，点在轴的正半轴上运动时，分别以、为边在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交轴于点，当点在轴的正半轴上移动时，求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（）作轴，证，得到，进而根据点的横坐标为即可求解；
（）延长CD交AB延长线于点，证明和，可得，进而即可求解；
（）作轴，证和，可得和，据此即可求证．
【小问1详解】
解：如图，过点作轴于点，则，
∵，，
∴,
∴，
在和 中，
，
∴，
∴，
∵点的横坐标为，
∴，
∴,
∴点；
【小问2详解】
解：如图，延长CD交AB延长线于点，
∵，
∴，
∵轴平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
证明：如图，作轴于，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵
∴．
9月话费（元）
10月话费（元）
11月话费（元）
小刚父亲
72
75
78
小刚母亲
38
42
28