安徽省滁州市来安县2025年九年级中考一模数学试卷 （解析版）-A4

这是一份安徽省滁州市来安县2025年九年级中考一模数学试卷 （解析版）-A4，共25页。
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 的倒数是（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义即可求解，掌握倒数的定义是解题的关键．
【详解】解：的倒数是，
故选：D．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项的法则，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、和不能合并，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算正确，符合题意；
D、，原选项计算错误，不符合题意；
故选C．
3. 2024年，安徽汽车产量首次突破300万辆，300万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：300万
，
故选：．
4. 由两个长方体组成的几何体如图水平放置，其三视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图，根据三视图的定义即可得出答案，掌握三视图的定义是解题的关键．
【详解】解：由题图可得：几何体从前面看为，从左面看为，从上面看为，
故选：C．
5. 若双曲线与直线一定有交点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，涉及直接开平法解一元二次方程，熟练掌握一次函数与反比例函数交点问题是解题的关键．联立与得，利用双曲线与直线一定有交点，则方程有解，即可求解．
【详解】解：由题意得，
化简为：，
∵双曲线与直线一定有交点，
∴方程有解，
又∵双曲线中，
∴，
解得：，
故选：A．
6. 如图，点C在半圆O的直径的延长线上，与半圆O相切于点D，，，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，弧长公式等知识，由切线的性质得到，从而得到，根据解直角三角形得到，再利用弧长公式即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：连接，如图：
∵与半圆相切，
∴，
∵，，
∴，，
∴的长度，
故选：A．
7. 如图，有四张写有数字1，2，4，6的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，洗匀后摸卡片，下列判断错误的是（ ）
A. 从中任意摸出1张，卡片上的数字是偶数的概率为
B. 从中任意摸出2张，卡片上的数字都是偶数的概率为
C. 从中任意摸出2张，用卡片上的数字组成两位数是奇数的概率为
D. 从中先任意摸出1张后放回，洗匀后再摸出1张，用两次摸出的卡片上的数字组成两位数是奇数的概率为
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查列表法求概率，根据概率公式，以及列表法，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、从中任意摸出1张，卡片上的数字是偶数的概率为，原说法正确，不符合题意；
B、列表如下：
共12种等可能得结果，其中卡片上的数字都是偶数的结果有6种；
∴；原说法正确，不符合题意；
C、列表如下：
共12种等可能得结果，其中用卡片上的数字组成两位数是奇数的结果有3种；
∴；原说法正确，不符合题意；
D、列表如下：
共16种等可能得结果，其中用卡片上的数字组成两位数是奇数的结果有4种；
∴；原说法错误，符合题意；
故选D．
8. 如图，E为菱形对角线上一点，．已知，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，连接交于点，勾股定理求出的长，锐角三角函数求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：连接交于点，则，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选B．
9. 若，，则的值满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式等，根据题意，将，联立，解得与的关系，然后代入，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴
，
∵，
∴，
故选：D．
10. 点D，E分别在的边上，，相交于点O，连接．则下列结论错误的是（）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，
【答案】D
【解析】
【分析】若，则，得到，根据，得到，再得到，即可判断A；若，则，证明，得到，再得到，得出，即可判断B；若，则，得到，得出，进一步得到，即可判断C；若，则，得到，进一步得出，即可判断D．
【详解】解：A、若，则，
，
∵，
∴，
∴，
∴，故选项不符合题意；
B、若，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故选项不符合题意；
C、若，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
，，
，
∵，
，
，故选项不符合题意；
D、若，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
，故选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查负整数指数幂，利用负整数指数幂的法则进行计算即可．
【详解】解：；
故答案为：．
12. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的加减运算，化成同分母，分母不变，分子相减，再进行约分化简即可．
【详解】解：原式；
故答案为：．
13. 如图是某座抛物线型拱桥的示意图，已知水面宽为20米，抛物线最高点C到水面的距离为5米，景观灯D，E在该抛物线上，，若两盏灯之间的距离为米，则直线与的距离为________米．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，待定系数法求出函数解析式，进而求出点坐标，即可得出结果．
【详解】解：以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图：
由题意，得：，
∵，两盏灯之间的距离为米，
∴点的横坐标为：，
设抛物线的解析式为：，把代入解析式，得：
，
解得：，
∴，
∴当时，，
∴，
∴直线与的距离为4；
故答案为：4．
14. 如图，点D是等边的边上（不与A，C点重合）的动点，以为边作等边，与交于点F．已知的边长为a，在点D运动过程中，
（1）始终都相似的三角形有________对；
（2）的最大值为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质即可得出答案；
（2）由题意可得，当时，最短，则取最大值，由等边三角形性质得到，，，求出，得到，即，又由，得到，再利用含角的直角三角形即可求解．
【详解】解：（1）∵和是正三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
综上，相似的三角形有对，
故答案为：；
（2）由题意可得，当时，最短，则取最大值，如图：
∵和为正三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴
∴的最大值为，
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式：．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据一元一次不等式的解法求解即可，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
∴不等式的解集为．
16. 在由小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）．
（1）将向右平移个单位长度得到，画出；
（2）画出关于轴对称的；
（3）若点的坐标为，则经过上述两种图形变换后的对应点的坐标是________．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查作图平移变换、作图轴对称变换，熟练掌握关于坐标轴对称的性质、平移的性质是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质找到对应点作图，即可得出答案．
（2）根据关于坐标轴对称的性质找到对应点作图，即可得出答案；
（3）利用向右平移个单位长度即横坐标加，关于轴对称即横坐标不变，纵坐标变为相反数即可解答．
【小问1详解】
解：如图，即为所求作；
【小问2详解】
解：如图，即为所求作；
【小问3详解】
解：由平移得点的对应点为，
由轴对称得的对应点为，
故答案为：．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“三方数”．例如：，就是一个“三方数”．将“三方数”从小到大排列．
（1）第个“三方数”是________；第个“三方数”是________；
（2）请判断是“三方数”吗？并说明理由．
【答案】（1）；；
（2）是“三方数”，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，代数式的规律探索，解题关键是利用平方差公式和已知条件得到第（是正整数）个“三方数”的代数式．
（1）根据题意依次列出前面几个“三方数”，并得到规律，即可求解；
（2）利用规律列出第（是正整数）个“三方数”，代入并求解，即可判断．
【小问1详解】
解：∵，，
∴第个“三方数”是；
第个“三方数”是；
第个“三方数”是；
第个“三方数”是；
故答案为：；；
【小问2详解】
解：是“三方数”，理由如下：
由（1）可知第（是正整数）个“三方数”是，
当时，
解得：，
故是“三方数”．
18. 小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（为入射角，为折射角），现有一块折射率、横截面为矩形的玻璃块，如图，若光线经边的中点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出，已知，，求截面的面积．（精确到，，，）
【答案】截面的面积为．
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，由题意可知，四边形为矩形，由折射率，得到，进一步得到，设，则，由勾股定理得到，解出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图，由题意可知，四边形为矩形，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，点是的中点，
∴，，
∵，
设，则，
在中，，
∴，
解得：（舍去），
∴，
∴，
∴截面的面积．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 茶叶是我省西南地区特产，某村部分青年返乡创业生产销售，两种茶叶，去年年初制订的计划是完成总销售利润万元．经过努力，其中生产销售种茶叶的利润比原计划增加，生产销售种茶叶的利润比原计划增加，实际生产销售的总利润为万元，他们去年生产销售，两种茶叶实际完成的销售利润各多少万元？
【答案】，实际完成的销售利润分别为万元，万元
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，熟练根据题意正确列出等式是解题的关键．设去年生产销售种茶叶计划完成的销售利润为万元，去年生产销售种茶叶计划完成的销售利润为万元，分别利用“去年年初制订的计划是完成总销售利润万元”和“生产销售种茶叶的利润比原计划增加，生产销售种茶叶的利润比原计划增加，实际生产销售的总利润为万元”进行列式即可．
【详解】解：设去年生产销售种茶叶计划完成的销售利润为万元，去年生产销售种茶叶计划完成的销售利润为万元，
根据题意得：，
解得：，
∴（万元），（万元），
答：他们去年生产销售，两种茶叶实际完成的销售利润分别为万元，万元．
20. 如图，是半的直径，弦，点E，F分别在半径和弦上，且，连接．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据平行线的性质得到，由，得到即，证明，即可得出结论；
（2）过点作于点，由垂径定理得到，再根据勾股定理求出，证明，得到，进一步求出，即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：过点作于点，如图：
∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴．
六、（本题满分12分）
21. 某校开展八、九年级家务劳动专项测试，测试成绩满分为分．分及分以上为优秀，从八、九两个年级各随机抽取名学生的测试成绩作为样本，并绘制了两幅统计图，部分信息如下：
八、九年级学生测试成绩平均数、众数、中位数如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上表中，的值；
（2）根据上述样本数据，你认为哪个年级学生家务劳动专项测试成绩较好？请说明理由（写出条理由即可）；
（3）该校八、九年级各有名学生参加了此项测试，根据样本估计八、九年级参加此项测试成绩获得优秀的学生人数一共有多少人？
【答案】（1）；
（2）九年级学生家务劳动专项测试成绩较好，理由见解析
（3）人
【解析】
【分析】本题考查数据的分析与统计图结合，样本估计总体，熟练根据统计图得出相应的数据，并熟练掌握相关定义是解题的关键．
（1）根据众数和中位数的定义，结合统计图即可求解；
（2）利用平均数、众数和中位数进行决策即可；
（3）利用样本估计总体进行解答即可．
【小问1详解】
解：八年级名学生成绩扇形统计图可知出现次数最多的是分，
故；
九年级名学生成绩从小到大排列后中间的两个数是第和的平均数，分别是分和分，
故，
故答案：；；
【小问2详解】
解：九年级学生家务劳动专项测试成绩较好，理由如下：
∵八年级和九年级学生成绩的平均数相同，但九年级学生成绩的众数大于八年级学生成绩的众数，九年级学生成绩的中位数大于八年级学生成绩的中位数，
∴九年级学生家务劳动专项测试成绩较好；
【小问3详解】
解：八年级参加此项测试成绩获得优秀的学生人数约有（人），
九年级参加此项测试成绩获得优秀的学生人数约有（人），
∴估计八、九年级参加此项测试成绩获得优秀的学生人数一共有人（人）．
七、（本题满分12分）
22. 点O在凸四边形内，，，，．
（1）如图1，若交于点E．
①求证：；
②求证：；
（2）如图2，M为的中点，连接并延长交于点N，求的值．
【答案】（1）①证明见解析，②证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，垂直的定义等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）①由，，得到，再得到，证明，即可得出结论；
②设与交于点，由，得到，进一步得到，即可得出结论；
（2）在的延长线上取， 证明四边形为平行四边形，得到，再得到，证明，得到，即可求解．
【小问1详解】
解：①∵，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
②设与交于点，如图：
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
小问2详解】
解：在的延长线上取，如图：
∵M为的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
八、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系中，抛物线（a，b，c为常数，且）与x轴交于A，B两点（其中点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，．
（1）若，求a的值；
（2）若，．
①求抛物线的函数表达式；
②P，D两点均在该抛物线第二象限的部分上，轴，过点P作轴于点E，射线DE交y轴于点F，若，求点P的横坐标．
【答案】（1）；
（2）①，②点P的横坐标为．
【解析】
分析】（1）由，得到，，得到，即，再代入得，求解即可；
（2）①由，，得到，，代入得，设a=−kk>0，则，得到点，当时，，，得到，根据，得到，求出，即可求解；
②求出抛物线对称轴为，令，则，得到，设点，则点，，得出，，，，，再证明，得到，即，求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：①，，
∴，，
将，代入得：，
∵，
∴设a=−kk>0，
∴， ，
∴，
∴点，
当时，，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
整理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
②如图：
∵，
∴抛物线对称轴：，
令，则，
∴，
∴，
设点，则点，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵轴，
∵，轴， 轴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴点P的横坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，求函数解析式，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识，掌握相关知识是解题的关键．
1
2
4
6
1
1，2
1，4
1，6
2
2，1
2，4
2，6
4
4，1
4，2
4，6
6
6，1
6，2
6，4
1
2
4
6
1
12
14
16
2
21
24
26
4
41
42
46
6
61
62
64
1
2
4
6
1
11
12
14
16
2
21
22
24
26
4
41
42
44
46
6
61
62
64
66
年级
平均数
众数
中位数
八
九