人教版（2024）八年级上册公式法表格教学设计及反思

这是一份人教版（2024）八年级上册公式法表格教学设计及反思，共7页。
课程基本信息
学科
初中数学
年级
八年级
学期
秋季
课题
14.3.2公式法第一课时
教科书
书 名：教材义务教育教科书 数学 八年级 上册
出版社：人民教育出版社 出版日期：2013年5月
教学目标
1. 探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想；
2. 会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.
教学内容
教学重点：
运用平方差公式进行分解因式.
教学难点：
会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解；
2. 用平方差公式对多项式进行因式分解的应用.
教学过程
师：各位同学们好，我是来自杭州市胜蓝中学的汤来顺老师。上节课我们学习了因式分解中的提取公因式法，本节课我们将在上节课的基础上继续探究因式分解的方法。
师：首先请同学们跟我回顾一下什么是因式分解呢？
生：一般地，把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解。也叫做把这个多项式分解因式。
师：我们知道，因式分解和整式乘法之间有着关系。
生：是互为逆运算的关系。
师：我们已经学习过什么因式分解的方法呢？
生:上节课我们已经学习了提公因式法，提公因式法要求我们先找到公因式，然后提出公因式。
师：如图在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形。将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？按下暂停键后请思考。
生：我们可以得到a平方，减b平方等于括号a+b乘以括号a-b。
师：那么想一想，多项式a平方减b平方有什么特点？你能将它分解因式吗？
生：a,b两数的平方差的形式。
师：我们来回顾一下平方差的公式。括号a+b乘以括号a-b=a^2减b的平方从左边到右边，我们叫做整式乘法。那么，从右边到左边，我们称为因式分解。即两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的乘积。
师：在比较过后，我们进一步来明确平方差公式因式分解的结构特征。利用平方差公式法因式分解时，多项式需具备什么特点？
生：我们先看等式的左边。等式的左边是一个二项式，每一项都为平方项，并且两个平方项的符号相反。可以写成平方差的形式。我们再来看等式的右边。等式的右边是分解因式的结果，分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的积。
师：我们来，辨一辨。下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么。按下暂停键后请思考并作答。
生：老师。第一个是错的，因为不是差的形式，第二个是对的，第三个是错误的。提取负号后，括号内是平方和的形式。
师：你分析的很到位。注意，符合平方差的形式的多项式，才能用平方差公式进行因式分解，即能写成括号的平方，减去括号的平方的形式。即两数是平方，减号在中央，所以第三个提取负号得负括号x^2+y^2。是错误的，
生：第四个是正确的，化简为y的平方，减x的平方，第五个是正确的。化简为x与5 y的平方差。第六个是正确的，它可以转化为四分之1x与1的平方差。
师：你说的很好。
师：下面我们来看道例题吧。分解因式。首先我们一起来分析一下吧。第一小题，原式可化简为括号2x括号的平方，减去三的平方。把2x看成a。把三看成b，则套用公式括号a+b乘以括号a-b，得括号2x+3乘以括号2x-3。第二个式子括号x+p^2减去括号x+q^2。我们可以把x+p整个式子看成ax+q，整个式子看成b。则原式可化简为两倍的x+p+q乘以括号p-q。这里要注意整体思想的运用，且注意公式中的A，B，可以表示单项式或者多项式。
师：小试牛刀之后，下面我们再继续看道例题吧。例2，分解因式。按下暂停键后，请思考并作答。好的，下面我们来看一下下面这位同学的解答。生：第一题解，原式等于括号x的平方的平方减去括号y的平方的平方。等于括号x^2+y^2乘以括号x平方减y的平方。
师：请观察一下它的答案正确吗？生：不对，没有化解完。
师：是的，分解因式后一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有则需继续分解。所以原式等于括号x^2+y^2乘以括号x+y×x-y。
生：第二题，先提取 公因式a、b,则原式等于a、b×a的平方减1。
师：大家注意第二个式子分解因式时，一般先用提公因式法进行因式分解，然后再用公式法，等于ab×a+1乘a-1。最后进行检查
师：由此，我们总结一下因式分解的步骤。
生：首先，我们需要先观察多项式中是否有公因式，如果有公因式的话，则先提取公因式。再进行下一步的分解。在提取公因式后，我们继续观察剩余因式。如果剩余因式中有两项，异号。而且它能够写成平方之差的形式，那么我们就可以利用平方差公式继续分解因式。
师：你说的非常好，注意，这里我们需要检查一下，每个因式是否分解完全，也就是将每个因式分解到。不能再继续分解为止。
师：下面我们做个练习，尝试巩固一下前面所学的知识吧。
师：下面请同学们展示一下自己的写法。
生一：老师，我是这样做的。我交换了被减数和减数的位置。这两项正好可以转化成平方差的形式。所以就变成了y+14xy−14x。
生二：老师，我经过观察。我选择提取了公因式负十六分之一。所以我的解法是。原式等于负十六分之一乘以括号x平方减16y的平方。括号内的两项转化成平方差的形式。再套用公式。因式分解为负十六分之一乘以x+2 y×x- 2y。两位同学的解法。
师：各有不同，但他们的解法。都是正确的。同学们，你会选择哪一种方法呢？
生：我们先观察算式。被减数是一个。多项式的平方。底数为x- 1第二项可以转化成三的平方。所以原式可以转化成x- 1的差的平方，减三的平方。那么我们就可以用。平方差公式进行因式分解，转化成x-1+3×x-1-3。最后整理得到x+2的乘以。x- 4我们观察第二个算式。它也有两项。第一项视频方向。第二项我们整理可得。两倍的。括号x-y^2。在这里，我们是将两个多项式分别看成一个整体，所以底数加一加乘以底数相减。合并之后，得3x乘以括号4 y-x。
师：学以致用，请同学们思考下面的问题。题一。有两个圆的半径分别为51厘米，49厘米。求两个圆的面积之差。
生：老师，圆的面积公式是拍二的平方半径，已经知道分别为51厘米和49厘米。所以我们可以得到这样的算式拍乘，以51的平方减拍乘49的平方。但是51的平方与49的平方的计算并不容易。我们提取公因式派。就得到了51与49的平方差。如果我们用今天的。平方差公式来因式分解。就能够取整数100和2。从而口答出结果是200π。答：两个圆的面积差为200π平方厘米。
师：你的回答非常棒，同学们，你学会了吗？
师：题二:当n是整数时，两个连续奇数的平方差。括号2 n+1^2减括号2 n- 1^2能否被八整除？请说明理由。生：老师，我来展示一下我的解答过程。
解：能。理由是这样的。这两个数的平方差。我们可以转化成和与差的积的形式。我们去掉小括号。然后分别进行合并同类项给4n×2等于8n。因为n为整数。所以能被八整除。连续两个奇数的平方差，是能够被八整除的。
最后，我们一起来回顾一下本节课的重要内容。
本节课就上到这里，谢谢大家，
再见。