2025-2026学年山西省朔州市平鲁区部分学校九年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年山西省朔州市平鲁区部分学校九年级（上）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线y=(x+7)2−1的对称轴为直线( )
A. x=−7B. x=7C. x=−1D. x=1
2.2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝.下列航天图案是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，它的对称轴为直线x=1，则一元二次方程−x2+bx+c=0的解为( )
A. x1=−1，x2=1
B. x1=1，x2=3
C. x1=−1，x2=−3
D. x1=−1，x2=3
4.将抛物线y=−x2+1先向右平移2个单位，再向下平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为( )
A. y=−(x+2)2+2B. y=−(x−2)2
C. y=−(x+2)2D. y=−(x−2)2+2
5.关于二次函数y=x2+8x，下列说法正确的是( )
A. 图象的顶点坐标为(−8,0)B. 图象经过原点
C. 函数的最大值为16D. 函数的最小值为0
6.如图，点A，D，B，C都在⊙O上，若∠ADC=48∘，则∠ABC的度数为( )
A. 38∘
B. 40∘
C. 42∘
D. 48∘
7.太谷饼是山西特产美食，某地方美食专卖店购进了一批袋装太谷饼.据市场人员统计，第一周的销售量为100袋，第三周的销售量为121袋.若设每周销售量的平均增长率为x，则可列方程( )
A. 100(1+x)2=121
B. 100(1−x)2=121
C. 121(1+x)2=100
D. 121(1−x)2=100
8.如图，将△ABC绕着旋转中心P旋转得到△A′B′C′，则旋转中心P的坐标为( )
A. (2,4)B. (1,0)C. (0,1)D. (1,−1)
9.将抛物线y=12−(x+7)2向右平移k(k>0)个单位长度，在平移的过程中抛物线与y轴的交点也会随之变化，设平移后的抛物线与y轴的交点为Q，则在抛物线平移的过程中，点Q的纵坐标的最大值为( )
A. 12B. 14C. 16D. 18
10.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，O分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上…若点A(3,0)，B(0,4)，则点A2025的坐标为( )
A. (12153,0)B. (12159,0)C. (12156,3)D. (12152,3)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若一元二次方程(x−1)2−m=0的一个根为x=2，则m= .
12.在平面直角坐标系中，点A(3,−1)关于原点对称的点坐标是 .
13.若抛物线y=x2−4x+4的顶点为A，与y轴交于点B，则点A，B之间的距离是 .
14.图1是某化学实验室的一个装有液体的圆底烧瓶，其底部球形的截面示意图如图2所示，液体水平宽度AB为8cm，竖直高度CD为2cm，则⊙O的半径为 cm.
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转一定角度后得到△EDC，连接AE，BD，交点为F，连接AD，BE，若AD=2 5，BE= 6，则线段AB的长为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)解方程：x(x+7)=3(x+7).
(2)已知关于x的一元二次方程x2+3x−k=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
17.(本小题7分)
图1和图2都是由边长为1的小正方形构成的网格，且均有两个小正方形涂上了颜色.
(1)请你在图1中选择1个小正方形涂上颜色，使图中的涂色部分为中心对称图形.
(2)请你在图2中选择3个小正方形涂上颜色，使图中的涂色部分为中心对称图形.
18.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠BAC.若∠BAC=70∘，求∠C的度数.
19.(本小题7分)
在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+3x+m经过点A(1,0)与点B(2,n).
(1)求m，n的值.
(2)若点C(a,−2)，D(b,−2)为该二次函数图象上的两个不同点(其中a，b为常数，a0)个单位长度可得新抛物线为y=−(x+7−k)2+12，
∴令x=0，则y=−(7−k)2+12.
∴点Q的纵坐标为−(7−k)2+12.
∵−10，
∴当k=7时，点Q的纵坐标−(7−k)2+12的最大值为12.
故选：A.
依据题意，由抛物线为y=12−(x+7)2，即y=−(x+7)2+12，从而向右平移k(k>0)个单位长度可得新抛物线为y=−(x+7−k)2+12，又令x=0，则y=−(7−k)2+12，可得点Q的纵坐标为−(7−k)2+12，最后结合二次函数的性质可以判断得解．
本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵A(3,0)，B(0,4)，∠AOB=90∘，
∴AB= 32+42=5，
∴△ABC的周长为3+4+5=12，
由图可知，A1(12,3)，A3(12×2,3)，
根据旋转的规律可得，A2n−1(12n,3)，
∴当n=1013时，A2025(12×1013,3)；
即A2025(12156,3)；
故选：C.
求出AB和△ABC的周长，观察旋转的规律可得答案．
本题考查坐标与图形变换-旋转，解题的关键是根据题意找到坐标变化的规律．
11.【答案】1
【解析】解：将x=2代入方程得1−m=0，
解得m=1，
故答案为：1.
将x=2代入方程得出关于m的方程，解之即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解的概念．
12.【答案】(−3,1)
【解析】解：根据题意可知，点A(3,−1)关于原点对称的点坐标是(−3,1).
故答案为：(−3,1).
关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，据此求解即可．
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的点的坐标的特点是关键．
13.【答案】2 5
【解析】解：由题知，
因为抛物线解析式为y=x2−4x+4=(x−2)2，
所以抛物线的顶点坐标为(2,0).
将x=0代入y=x2−4x+4得，
y=4，
所以点B坐标为(0,4)，
则A，B之间得距离是 22+42=2 5.
故答案为：2 5.
根据题意，求出点A和点B的坐标，再据此求出点A和点B之间的距离即可．
本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，准确求出点A和点B的坐标是解题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：如图，连接AO，
∵OC⊥AB，
∴AC=12AB=4(cm)，
设⊙O的半径为x cm，则OA=OD=xcm，
∴OC=OD−CD=(x−2)cm，
在Rt△AOC中，AC2+OC2=OA2，
即42+(x−2)2=x2，
解得：x=5，
∴⊙O的半径为5cm.
故答案为：5.
由垂径定理得到AC=12AB=4cm，设⊙O的半径为x cm，则OA=OD=xcm，OC=OD−CD=x−2(cm)，在△AOC中，根据勾股定理计算即可解答．
本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理以及勾股定理的运用．
15.【答案】 13
【解析】解：设AE与BC相交于点H，旋转角为α，如图所示：
由旋转的性质得：∠ACE=∠BCD=α，CB=CB，CE=CA，AB=DE，
∴∠CAE=∠CEA=12(180∘−∠ACE)=90∘−α2，∠CBD=∠CDB=1/2(180∘−∠BCD)=90∘−α2，
∴∠CAE=∠CBD，
在△BFH中，∠CBD+∠FHB+∠BFH=180∘，
在△ACH中，∠CAE+∠CHA+∠ACB=180∘，
又∵∠FHB=∠CHA，
∴∠BFH=∠ACB=90∘，
即AE⊥BD，
∴△FAB，△FBE，△FAD，△FDE都是直角三角形，
由勾股定理得：AB2=FA2+FB2，BE2=FB2+FE2，DE2=FE2+FD2，AD2=FA2+FD2，
∴AB2+DE2=FA2+FB2+FE2+FD2，BE2+AD2=FB2+FE2+FA2+FD2，
∴AB2+DE2=BE2+AD2，
∵AB=DE，AD=2 5，BE= 6，
∴2AB2=(2 5)2+( 6)2=26，
∴AB= 13，
故答案为： 13.
设AE与BC相交于点H，旋转角为α，由旋转的性质得∠ACE=∠BCD=α，CB=CB，CE=CA，AB=DE，由此根据等腰三角形性质及三角形内角和定理得∠CAE=∠CEA=90∘−α2，∠CBD=∠CDB=90∘−α2，则∠CAE=∠CBD，在△BFH和△ACH中由三角形内角和定理及∠FHB=∠CHA得∠BFH=∠ACB=90∘，则AE⊥BD，进而得由勾股定理得AB2=FA2+FB2，BE2=FB2+FE2，DE2=FE2+FD2，AD2=FA2+FD2，则AB2+DE2=BE2+AD2，然后根据AB=DE，AD=2 5，BE= 6即可得出AB的长．
此题主要考查了图形的旋转变换及其性质，勾股定理，理解图形的旋转变换及其性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理，灵活应用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
16.【答案】x1=−7，x2=3；
k>−94
【解析】(1)x(x+7)=3(x+7)，
x(x+7)−3(x+7)=0，
(x+7)(x−3)=0，
则x+7=0或x−3=0，
所以x1=−7，x2=3；
(2)因为关于x的一元二次方程x2+3x−k=0有两个不相等的实数根，
所以Δ=32−4×1×(−k)>0，
解得k>−94，
所以k的取值范围为k>−94.
(1)利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可；
(2)利用一元二次方程根的判别式进行计算即可．
本题主要考查了根的判别式及解一元二次方程-因式分解法，熟知根的判别式及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
17.【答案】图形如图1所示．
图形如图2所示(答案不唯一)
【解析】(1)图形如图1所示．
(2)图形如图2所示(答案不唯一).
(1)根据题目要求以及中心对称图形的定义画出图形即可；
(2)根据题目要求以及中心对称图形的定义画出图形即可；
本题考查作图-应用与设计作图，中心对称图形，解题的关键是理解中心对称图形的定义．
18.【答案】解：∵∠BAC=70∘，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC=35∘.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90∘.
∴∠B=90∘−∠BAD=55∘.
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠C=180∘.
∴∠C=180∘−∠B=125∘.
【解析】根据角平分线的定义可求得∠BAD的度数，根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角，可求得∠B的度数，根据圆内接四边形的对角互补，即可求得答案．
本题主要考查圆周角定理及其推论，牢记圆周角定理及其推论是解题的关键．
19.【答案】m=−2，n=0；
3
【解析】(1)将点A坐标代入y=−x2+3x+m得，
−1+3+m=0，
解得m=−2，
所以二次函数解析式为y=−x2+3x−2.
将点B坐标代入y=−x2+3x−2得，
−4+6−2=n，
解得n=0，
所以m=−2，n=0；
(2)将y=−2代入y=−x2+3x−2得，
−x2+3x−2=−2，
解得x=0或3，
所以a=0，b=3，
则点C坐标为(0,−2)，点D坐标为(3,−2).
又因为点B坐标为(2,0)，
所以△BCD的面积为：12×(3−0)×2=3.
(1)先将点A坐标代入函数解析式求出m的值，再将点B坐标代入计算即可；
(2)先求出a，b的值，据此得出CD的长，再结合点B的坐标进行计算即可．
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
20.【答案】y=−8x2+160x；侧面积y有最大值是800cm2.
【解析】解：由题意得：y=4x(40−2x)
=−8x2+160x
=−8(x2−20x+100−100)
=−8(x−10)2+800；
∵−80，
解得m