2025-2026学年山西省晋中市太谷区九年级上学期期末数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年山西省晋中市太谷区九年级上学期期末数学试卷（学生版），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值为（ ）
A.B.C.D.
2.一元二次方程的根的情况是（ ）
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根D.无法确定
3.超级工程一一北京大兴国际机场：凤凰涅槃，位列“新世界七大奇迹”之首，其曲面屋盖由8000余块玻璃构成，每块玻璃的曲率都经过优化接近于0.618，既满足结构受力要求，又形成富有韵律的视觉效果．这里玻璃曲率的优化中，所蕴含的数学知识是（ ）
A.位似变换B.平移变换
C.旋转变换D.黄金分割
4.在2025年秋季《国家学生体质健康标准》测试数据上报中，太谷区为从中了解我区初中生体质健康水平，便在全区的测试数据中随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，下列对我区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（ ）
A.B.C.D.
5.太原市迎泽大街西段路灯“头火棉桃灯”（如图1）于2025年8月底“上岗”．它在保留了传统中华灯造型的基础上，进行了照明技术的创新．所有的光源都采用了技术，不仅节能环保，还能带来更智能的照明体验．如图2是路灯的底座，它的俯视图如图3所示，则该几何体的左视图是（ ）
A.B.
C.D.
6.已知四边形中，与相交于点，下列条件：①；②；③；④，从以上条件中任选三个，能判定四边形是菱形的选法有（ ）种．
A.1B.2C.3D.4
7.关于反比例函数的图象和性质，下列说法错误的是（ ）
A.图象经过点
B.图象关于原点中心对称
C 图象关于直线轴对称
D.的值随值的增大而增大
8.如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ）
A.平分B.
C.D.
9.2025年，由于新能源汽车的快速崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年9月份售价为25万元，11月份售价为24.01万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ）
A.B.
C.D.
10.如图，有一张矩形纸片，点是上一点，将纸片沿折叠，点分别落在点处，当点在上时，则线段的长为（ ）
A.B.C.D.5
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11.若是一元二次方程的一个根，则的值为___________．
12.如图是一组悬挂在天花板上创意吊灯，清洗时每次只能取下一个吊灯，且取下吊灯前必须先取下吊灯，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时第二个被取下的吊灯是的概率是___________．
13.验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图像如图所示，经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度．
14.如图是一个几何体的三视图，其俯视图为菱形，根据图中的数据，可得几何体的体积为___________．
15.如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为___________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.按要求完成下列各题：
（1）解方程：；
（2）计算：．
17.如图，在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为．
（1）以点为位似中心，在点的下方画出，使与位似，且位似比为；
（2）写出点的坐标：___________；
（3）四边形的面积为___________．
18.如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点作轴于点，连接．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式．
（2）求的面积．
（3）根据图象直接写出不等式的解集．
19.《数学之美》是中国邮政于2025年3月14日（国际圆周率日）发行的纪特邮票．该套邮票共4枚，面值分别为80分、1.20元、1.20元、1.50元．邮票图案名称为：圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．数学兴趣小组的同学对该组邮票很感兴趣，便收集了这4张邮票的图案并制成卡片，依次标为A、B、C、D，现将卡片背面朝上洗匀放在桌面上（卡片背面完全相同）．
（1）将这四张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张卡片图案刚好是“欧拉公式”的概率是___________；
（2）小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张卡片的图案恰好是“欧拉公式”和“莫比乌斯带”的概率．
20.利用一元二次方程解决实际问题
截至2025年10月30日，《浪浪山小妖怪》的累计票房已超过17亿元，登顶中国影史国产二维动画电影票房冠军．问童子毛绒品牌公司，借助电影《浪浪山小妖怪》的东风，推出《浪浪山小妖怪》系列毛绒公仔、挂偶等并在各大网站、店铺爆卖．现已知某店铺成本价为50元/个的“小猪妖”毛绒挂偶，当它的售价为80元/个时，每周可售出100个．经过市场调查发现，每个“小猪妖”毛绒挂偶的售价每上涨1元，周销售量将减少5个．
问：该店铺本周计划涨价销售该款“小猪妖”毛绒挂偶，并盈利2000元，求该店铺本周该款“小猪妖”毛绒挂偶售价．
21.项目化学习
任务一：请运用你所学的知识，根据上表中的测量数据，帮助“综合与实践”小组求出塔顶A到地面的距离（结果保留整数，参考数据：；
任务二：该“综合与实践”小组要写出一份完整课题活动报告，除了上表中的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．
22.综合与应用
定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“完美点”．
【尝试初探】
（1）点___________“完美点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“完美点”，则___________；
【深入探究】
（2）①若“完美点”在双曲线的图象上，求该反比例函数的表达式；
②在①的条件下，若点也在双曲线的图象上,请在图2中描出两点,构造出,画出该反比例函数在第一象限的图象,并求出的面积．
23.综合与探究
【自主探究】
在综合与实践课上，老师以“正方形的旋转”为主题，开展数学活动．
如图1，已知正方形和正方形，当点在对角线上时，在老师提出：猜想线段与的数量关系时，大家一致认为，并且有两个小组给出如下的证明思路：
奋进组：要想证明，可以构造并证明等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的斜边与底角的三角函数，然后通过等量代换，便可证明；
创新组：要想证明，可利用平行线分线段成比例定理，对比例式进行变形，然后利用等腰直角三角形的斜边与底角的三角函数．便可证明；
【操作思考】
（1）请你根据“奋进组”和“创新组”提出的思路对下面问题做出选择（ ）
A．“奋进组”的思路正确，“创新组”的思路不正确
B．“创新组”的思路正确，“奋进组”的思路不正确
C．“奋进组”和“创新组”的思路都正确
D．“奋进组”和“创新组”的思路都不正确
【深入探究】
（2）将正方形绕着点顺时针旋转；（）当正方形旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立，若成立请加以证明；若不成立，请写出正确的数量关系，并加以证明．
【拓展延伸】
（3）如图3，将正方形绕着点顺时针旋转；（）的过程中，当三点共线时，直线与射线相交于点，当，线段的长为___________（直接写出答案）
累计抽测学生数
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
体质健康合格的学生数与的比值
项目主题
测量“史公塔”的高度
项目背景
史公塔，也称北坛塔，位于晋中市介休城西北，坐落在北坛公园内．县级文物保护单位．塔建于清乾隆十三年（1748），系八角七层楼阁式砖塔，塔顶饰以黄、绿两色琉璃瓦，塔刹和覆钵为黄色琉璃，配以绿琉璃垂脊，外观雄浑秀丽，金碧辉煌．有木梯、台阶可登顶远眺．某数学“综合与实践”小组以“测量史公塔的高度”为主题开展项目学习．
测量示意图
说明：点为“史公塔”的塔顶，点是两个观测点，为垂直于地面的高台，且三点共线
测量数据
处的仰角
处的仰角
高台的高度
的距离
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