2025-2026学年北京市朝阳区和平街第一中学高二上学期期中数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年北京市朝阳区和平街第一中学高二上学期期中数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（ ）
A．1B．3C．5D．9
3．如图，空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ）

A．B．
C．D．
4．直线与圆相切，则的值是（ ）
A．或12B．2或12C．或D．2或
5．如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
6．设，直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．如图，已知四面体的所有棱长都等于，，，分别是棱，，的中点．则与分别等于（ ）
A．和B．和
C．和D．和
8．已知，直线：，当变化时，点到直线的距离的最大值为，则（ ）
A．3或7B．3或8C．2或7D．2或8
9．已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
10．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切.则圆上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．6
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11．若经过两点，的直线的斜率是12，则 ．
12．已知向量，，则 ， ．
13．经过直线与直线的交点，且垂直于直线的直线方程为 ．
14．已知分别为椭圆的左，右焦点，直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为 .
15．已知圆与圆相交，写出满足条件的实数的一个取值为 .
16．如图，在正方体中，为棱的中点，是正方形内部（含边界）的一个动点，且平面.给出下列四个结论：
①动点的轨迹是一段圆弧；
②存在符合条件的点，使得；
③三棱锥的体积的最大值为；
④设直线与平面所成角为，则的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小；
(3)求点到平面的距离．
18．已知直线过点，且__________.
在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答.
①与圆相切；②倾斜角的余弦值为；③直线的一个方向向量为.
(1)求直线的一般式方程；
(2)若直线与曲线相交于两点，求弦长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，为棱的中点，为棱上一点．

(1)求证：无论点在棱的任何位置，都有成立；
(2)若为中点，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)若为中点，在棱上是否存在点，使得∥平面？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
20．已知椭圆：的长轴长为，离心率为，过右焦点且与轴不垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，点M的坐标为，记直线，的斜率分别为，．
(1)求椭圆的方程；
(2)当时，求直线的方程；
(3)求证：为定值．
21．给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．
(1)判断集合是否具有性质？说明理由；
(2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；
(3)若集合具有性质，证明：．
参考答案
11．
12．，
13．
14．/
15．1（答案不唯一）
16．②③④
17．
（1）因为底面为正方形，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为平面，平面，
所以，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，所以，
直线与平面夹角的正弦值为，
则直线与平面所成角的大小为；
（3）由（2）知，平面的法向量为，
点到平面的距离为.
18．
（1）若选①：因为，故点在圆上，
且圆心与连线的斜率为，
因为直线与圆相切，所以直线的斜率为2；
所以直线的一般式方程为；
若选②：设直线的倾斜角为，由得；
故直线的斜率；
所以直线的一般式方程为；
若选③：因为直线的一个方向向量为，所以的斜率；
所以直线的一般式方程为
（2）曲线，即；
故为圆，圆心为，半径为；
则圆心到直线的距离为；
所以弦长.
19．
（1）因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，又平面，
∴，
（2）

取中点，连接，，
∵平面，平面，
∴，
∵为中点，为等边三角形，
∴，，
∵平面平面，平面，
∴平面，
∵，，
∴四边形为平行四边形，，
如图，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
，，，，,
∵平面，
∴可以作为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，则，
令，则，，，
所以，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
（3），，，，
设，则，
∵平面，
∴，解得，
所以在棱上存在点使∥平面，此时.
20．
（1）依题意，所以，
因为，所以，
所以，
所以椭圆的方程为；
（2）椭圆的右焦点．
由已知可知，直线的斜率存在，设直线：，
联立方程组，消得，
易知恒成立，
设，，则，
，
所以，所以；
所以直线的方程为
（3）证明：由上问可知 ，，，
分子化为 ．
所以
综上所述，为定值2．
21．
（1）因为，同理．
又，同理．
所以集合具有性质．
（2）当时，集合中的元素个数为．由题设．
假设集合具有性质，则
①当时，，矛盾．
②当时，，不具有性质，矛盾．
③当时，．
因为和至多一个在中；和至多一个在中；
和至多一个在中，故集合中的元素个数小于，矛盾．
④当时，，不具有性质，矛盾．
⑤当时，，矛盾．
综上，不存在具有性质的集合．
（3）记，则．
若，则，矛盾．若，则，矛盾．故．
假设存在使得，不妨设，即．
当时，有或成立．
所以中分量为的个数至多有．
当时，不妨设．
因为，所以的各分量有个，不妨设．
由时，可知，，中至多有个，
即的前个分量中，至多含有个．
又，则的前个分量中，含有
个，矛盾．
所以． 因为，
所以．
所以．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
B
B
A
A
D
B
A