北京市朝阳区2025-2026学年高三上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份北京市朝阳区2025-2026学年高三上学期期末数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A=xx>−2,B=xx−1x−3≤0，则A∩B=( )
A. −2, 1B. −2, 3C. 1,3D. 1,3
2.已知复数z满足iz+2=2i，则在复平面内z对应的点所在的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.在等比数列{an}中，若a1+a3=3，a5+a7=27，则a3+a5=( )
A. 6B. 9C. 15D. 81
4.已知m>n>0，则( )
A. m nmn
C. m+n22>m2+n22D. nm+mn>2
5.古希腊数学家阿基米德的一个重要数学发现是“圆柱容球”，即当球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高均相等时，球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23.如图所示，在一个“圆柱容球”的模型中，若球的体积为8 6π，则该模型中圆柱的表面积为( )
A. 18πB. 24πC. 30πD. 36π
6.已知抛物线C:y2=4x，直线l:ax−y−2a+3=0，若直线l与抛物线C有且仅有一个公共点，则a的取值有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
7.心理物理学中，史蒂文斯幂定律的对数形式可描述物理刺激强度I与主观感知强度S的关系：lg2S=lg2k+nlg2I，其中k，n均为大于0的常数.已知当物理刺激强度I从16单位增加到256单位时，lg2S增加8；当物理刺激强度I从256单位增加到1024单位时，lg2S增加( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
8.已知数列an满足an=nn+1n−t，则“t0．
(1)当ω=2时，求fπ3的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数fx唯一确定，求fx的解析式及在区间−π9, 2π9上的最大值与最小值．
条件①：fx在x=π3处取得最大值，且在x=23π处取得最小值；
条件②：fx的图象关于直线x=π6对称，且fx的最小正周期大于π2；
条件③：fx在区间0, π6上单调递增，且fπ3=0．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17.某人形机器人行业协会为了解行业现状，对该行业所有公司生产的人形机器人进行了一次性能评估．现从中随机抽取100家公司，统计其人形机器人“性能评分”(百分制，且均为整数)及对应的“行业评级”(评级越高，代表性能越优)，整理数据如下表：
(1)当m=30时，在这100家公司中，
(i)从性能评分不低于80分的公司中随机抽取1家，求其行业评级为5级的概率；
(ii)从性能评分不低于80分的公司中随机抽取2家，记X为这2家公司中行业评级为5级的公司数，求X的分布列和数学期望EX；
(2)用频率估计概率，记“从该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，这2家公司的行业评级的平均值”为Y，记“上述100家公司的行业评级的平均值”为y.设“Yy”的概率为p2，请根据表中信息比较p1与p2的大小．(结论不要求证明)
18.在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD, BC//AD, ∠ADC=90 ∘, PA=AD=CD=3, BC=6．F, G分别为棱PC, PD上的点，PF=12FC, PG=2GD．
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)求平面AFG与平面ABCD夹角的余弦值；
(3)若点E为线段PB的中点，判断直线EF是否在平面AFG内？并说明理由．
19.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为 22，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为2 6．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设点Mm, 0，Nn, 0m≠n，过点M的直线l与椭圆E交于不同的两点A, B，点A关于x轴的对称点记为P(P与B不重合).若mn=6，试判断三点P, B, N是否共线？并说明理由．
20.已知函数fx=xlnx+aa>0.曲线y=fx在点0, f0切线方程为y=0．
(1)求a的值；
(2)求fx的单调区间；
(3)若0−1，则g′x=1x+1+x+1−xx+12=1x+1+1x+12>0，
所以函数gx在−1,+∞上单调递增，又g0=0，
则−1