北京市北京中学2025-2026学年高二英才上学期期中质量调研数学试卷（含答案）

这是一份北京市北京中学2025-2026学年高二英才上学期期中质量调研数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线l经过两点P1,2,Q4,3，那么直线l的斜率为( )
A. −3B. −13C. 13D. 3
2.已知圆C1:x+12+y−12=1与圆C2:x−22+y+32=a+13外切，则a=( )
A. −9B. −4C. 1D. 3
3.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，若BD1=xAB+yAD+zAA1，则x,y,z=( )
A. −1,1,1B. 1,−1,1C. 1,1,−1D. −1,−1,−1
4.若直线x+y−m=0被圆C：x−12+y+12=4截得的弦长为2 2，则m=( )
A. ±2B. 2C. 2D. 2 2
5.若椭圆x29+y24=1的弦AB被点P(1,1)平分，则AB所在直线的方程为( )
A. 4x+9y−13=0B. 9x+4y−13=0
C. x+2y−3=0D. x+3y−4=0
6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，a2，a3+1，a4成等差数列，Sn>2025，则n的最小值是( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
7.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且AF⋅BF=0,∠ABF=π6，则椭圆的离心率为( )
A. 33B. 22C. 3−1D. 2−1
8.设{an}是所有项都不为0的无穷等差数列，则“{1an}为递减数列”是“{an}为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9.中国古代科学家发明了一种三级漏壶记录时间，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上底宽依次递减1寸(约3.3厘米)，下底宽和深度也依次递减1寸.设三个漏壶的侧面与底面所成的锐二面角依次为θ1，θ2，θ3，则( )
A. θ1+θ3=2θ2B. sinθ1+sinθ3=2sinθ2
C. csθ1+csθ3=2csθ2D. tanθ1+tanθ3=2tanθ2
10.曼哈顿距离(ManhattanDistance)是由十九世纪赫尔曼−闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间(或平面)直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在平面直角坐标系内有两个点Ax1,y1,Bx2,y2，它们之间的曼哈顿距离dA,B=x1−x2+y1−y2.已知点B1,0，点M是直线kx−y+k+3=0上的动点，点N是直线x+ky−4k+1=0上的动点，其中k≥0.则dB,M+dB,N的最小值为( )
A. 4B. 245C. 5D. 163
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.若向量a=(4,−1,2)，b=(x,8,−6)且，则x= ．
12.记等差数列an的前n项和为Sn,a3+a7=6,a12=17，则S16= ．
13.写出一个关于直线x−y+1=0对称的圆的方程 ．
14.如图所示的多面体ABCDEF，其各个面都是边长为2的等边三角形，点P，Q分别为棱AB，AD的中点，则CP⋅FQ= ．
15.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔·蒙日(1746−1818)最先发现.若椭圆C:x24+y2=1的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与椭圆C的蒙日圆相交于M，N，则 2|PM|⋅|PN||PF1|⋅|PF2|= ．
16.已知等差数列an与等比数列bn都是无穷递增数列，给出下列四个结论：
①不存在数列an与bn，使得an+bn是递减数列；
②存在数列an与bn，使得an−bn是递增数列；
③不存在数列an与bn，使得an+bn同时有无穷个正项和无穷个负项；
④存在数列an与bn，使得anbn恰好出现三个为1的项．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知Sn是等差数列an的前n项和，S3=a5=9，数列bn是公比大于1的等比数列，且b32=b6，b4−b2=12．
(1)求数列an和bn的通项公式；
(2)设cn=an+bn，求cn的前n项和Tn．
18.(本小题13分)
已知圆C经过点A(−2,0)，B(0,2)，且圆心在直线y=x上.
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线 3x+y−b=0交于两点E,F，
(ⅰ)求b的取值范围；
(ⅱ)若在圆C上存在点D，使四边形OEDF为平行四边形，其中O为坐标原点，求b的值．
19.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，Q为棱PD的中点．

(1)求证：PB/​/平面ACQ；
(2)若BA⊥PD，再从条件①､条件②､条件③中选择若干个作为已知，使四棱锥P−ABCD唯一确定，并求：
(i)直线PC与平面ACQ所成角的正弦值；
(ii)点P到平面ACQ的距离．
条件①：二面角P−CD−A的大小为45∘；
条件②：PD= 2
条件③：AQ⊥PC．
20.(本小题15分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A−2,−1，长轴长为4 2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l:y=kx+m与椭圆交于点M,N，直线AM,AN分别交直线x=−4于点P,Q，O为坐标原点.若OP=OQ，求证：直线l经过定点．
21.(本小题15分)
在n×n(n≥2)个实数组成的n行n列的数表中，aij表示第i行第j列的数，记ri=ai1+ai2+⋯+ain(1≤i≤n)，cj=a1j+a2j+⋯+anj(1≤j≤n).若aij∈−1,0,1(1≤i,j≤n),，且r1,r2,⋯,rn,c1,c2,⋯,cn两两不等，则称此表为“n阶H表”，记Hn=r1,r2,⋯,rn,c1,c2,⋯,cn.
(1)请写出一个“2阶H表”；
(2)对任意一个“n阶H表”，若整数λ∈−n,n,且λ∉Hn，求证：λ为偶数；
(3)求证：不存在“5阶H表”
参考答案
1.C
2.D
3.A
4.A
5.A
6.B
7.C
8.A
9.D
10.A
11.5
12.160
13.x2+(y−1)2=1(答案不唯一，形如(x−a)2+(y−a−1)2=r2，r>0)
14.1
15. 2
16.①②③
17.(1)在等差数列an中，S3=3(a1+a3)2=3a2=9，解得a2=3，而a5=9，
因此数列an的公差d=a5−a25−2=2，an=a2+2(n−2)=2n−1；
设等比数列bn的公比为q(q>1)，由b32=b6，得b32=b3q3，解得b3=q3，
又b4−b2=12，则q4−q2=12，解得q2=4，而q>1，因此q=2，bn=b3qn−3=2n，
所以数列an和bn的通项公式分别为an=2n−1，bn=2n．
(2)由(1)得cn=2n−1+2n，
所以Tn=i=1n(2i−1)+i=1n2i=n(1+2n−1)2+2(1−2n)1−2=n2−2+2n+1．

18.(1)根据圆心C在直线y=x上，设圆心C(a,a).
因为圆C经过A(−2,0),B(0,2)，所以|CA|=|CB|，
所以 (a+2)2+a2= a2+(a−2)2，解得a=0.
所以圆心C(0,0)，所以圆C的方程为x2+y2=4．
(2)(ⅰ)由题意，|−b| 3+1