2025-2026学年江苏省沭阳中学、如东中学等校高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年江苏省沭阳中学、如东中学等校高二上学期期中考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.双曲线x23-y2=1的焦点坐标是( )
A. (- 2,0)，( 2,0)B. (-2,0)，(2,0)
C. (0,- 2)，(0, 2)D. (0,-2)，(0,2)
2.直线 3x-y-1=0的倾斜角为( )
A. π4B. π3C. π6D. π2
3.直线l1:x-2y+1=0与直线l2:2x-4y+3=0的距离为( )
A. 1B. 2 55C. 55D. 510
4.一条渐近线方程为2x+3y=0，且经过点(3 3,2 2)的双曲线的标准方程是( )
A. x29-y24=1B. y24-x29=1C. x24-y29=1D. y29-x24=1
5.设P为椭圆C:x29+y23=1上一点，F1，F2分别是C的左，右焦点，若|PF1|-|PF2|=1，则|PF1|=( )
A. 32B. 72C. 52D. 92
6.若椭圆x29+y24=1的弦AB被点P(1,1)平分，则AB所在直线的方程为( )
A. 4x+9y-13=0B. 9x+4y-13=0
C. x+2y-3=0D. x+3y-4=0
7.已知圆的方程为x2+y2-2x=0，M(x,y)为圆上任意一点，则y-2x-1的取值范围是( )
A. [- 3, 3]B. (-∞,- 3]∪[ 3,+∞)
C. [-1,1]D. [1,+∞)∪(-∞,-1]
8.已知A(-2,0)，B(2,0)，若圆(x-a-1)2+(y-3a+2)2=4上存在点P满足PA⋅PB=5，则a的取值范围是( )
A. [-1,2]B. [-2,1]C. [-2,3]D. [-3,2]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线C:y2=4x，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则( )
A. C的准线方程为x=-2
B. 线段MN的长度的最小值为4
C. 存在唯一直线l，使得F为线段MN的中点
D. 以线段MN为直径的圆与C的准线相切
10.已知直线l：x+my-m-1=0和圆C：x2+(y-1)2=5，则下列选项正确的是( )
A. 直线l恒过定点(1,1)
B. 存在实数m，使得直线l和圆C相切
C. 圆C的圆心到直线l的距离的最大值是1
D. 圆C的圆心到直线l的距离的最小值是 22
11.数学中有许多美丽的曲线，如图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线C1：x23+y24=1，上顶点为E，右顶点为G，曲线C2上的点满足到F(0,-1)和直线y=1的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过F作斜率小于0的直线l与两曲线从左到右依次交于A，B，C，D且yA≥1，则( )
A. 曲线C2由两条抛物线的一部分组成
B. 线段AF的长度与A点到直线y=5的距离相等
C. 若线段AB的长度为56，则直线l的斜率为-34
D. 若S▵AFE=3S▵DFG，则直线l的斜率为-2 33
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点M(1,-2)，N(0,-2)，P是直线l:x+2y-2=0上一点，则|PM|+|PN|的最小值为 ．
13.已知圆C1:x2+y2=1和圆C2:x2+y2-4x-4y+4=0，则C1 , C2的公切线共有 条.
14.设双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13，|AB|=10，则C的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线l1：2x+3y-2=0，l2：mx+(2m-1)y+1=0，其中m为实数．
(1)当l1//l2时，求直线l1，l2之间的距离；
(2)当m=1时，求过直线l1，l2的交点，且垂直于直线x-2y+4=0的直线方程．
16.(本小题15分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点A(4,t)(其中t>0)在抛物线C上，|AF|=5．
(1)求p和t的值；
(2)O为坐标原点，过点A的直线l与抛物线C交于另一点B，OA⊥OB，求直线l的方程．
17.(本小题15分)
已知圆心为C的圆经过点A(1,0)和B(-1,-2)，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，
(1)求圆心为C的圆的标准方程；
(2)若线段PQ的端点Q的坐标是(4,3)，端点P在圆C上运动，求PQ的中点M的轨迹方程．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右焦点与圆E：x2-2x+y2-15=0的圆心重合，短轴长与圆E的半径相等．
(1)求C的方程．
(2)已知O为原点，C上的点P满足F1P⋅F2P=329，求直线OP被C截得的弦长．
(3)已知C的上顶点为A，斜率为2的直线与C交于B，D两点，AB的中点为M，AD的中点为N，F2到直线MN的距离为d1，C的右顶点到直线MN的距离为d2，试判断d2-d1是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 5，点( 2,2)在C上，A，B为C的左、右顶点．
(1)求C的方程;
(2)若点M，N在C的右支上(M在第一象限)，直线AM，BN分别交y轴于P，Q两点，且OQ=3OP．
(ⅰ)探究：直线MN是否过定点?若过定点，求出该定点坐标;若不过定点，请说明理由;
(ⅱ)设S1，S2分别为▵AMN和▵BMN的面积，求S1-S2的取值范围．
参考答案
1.B
2.B
3.D
4.A
5.B
6.A
7.B
8.A
9.BCD
10.AC
11.ABD
12.5
13.2
14.32
15.解：(1)因为直线l1：2x+3y-2=0，l2：mx+(2m-1)y+1=0，l1//l2时，
则m2=2m-13≠1-2，解得m=2，
此时直线l2的方程为2x+3y+1=0，
所以两条直线间的距离d=|-2-1| 22+32=3 1313；
(2)当m=1时，则直线l2的方程为：x+y+1=0，
联立2x+3y-2=0x+y+1=0，解得x=-5，y=4，
即两条直线的交点P的坐标为(-5,4)，
又因为所求的直线垂直于x-2y+4=0，设所求的直线方程为2x+y+a=0，
将P点的坐标代入可得2×(-5)+4+a=0，
解得a=6．
所以直线的方程为2x+y+6=0．
16.解：(1)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点A(4,t)(其中t>0)在抛物线C上，|AF|=5，
则4+p2=5，
则p=2，
则抛物线C的方程为：y2=4x，
则t2=4×4，
又t>0，
则t=4；
(2)由(1)可得：A(4,4)，
设B(n2,2n)，其中n≠0，
又OA⊥OB，
则OA⋅OB=0，
则4×n2+4×(2n)=0，
则n=-2，
即B(4,-4)，
即直线l的方程为x=4．
17.解：(1)设圆心的坐标为(t,t+1)，
则有(t-1)2+(t+1)2=(t+1)2+(t+3)2，
整理求得t=-1，
故圆心为(-1,0)，r2=(t-1)2+(t+1)2=4，
则圆的方程为(x+1)2+y2=4．
(2)设线段PQ中点M(x,y)，P(x1,y1)，
由题意知：x1=2x-4，y1=2y-3，
∵点P在圆(x+1)2+y2=4上运动，
∴(2x-4+1)2+(2y-3)2=4，
∴M的轨迹方程为(x-1.5)2+(y-1.5)2=1．
18.解：(1)由圆E:x2-2x+y2-15=0的标准方程为(x-1)2+y2=16，
得圆心坐标E(1,0)，半径为4，
所以F2(1,0)，2b=4，故c=1，b=2，
所以a2=5，所以C:x25+y24=1；
(2)设P(x0,y0)，则x025+y024=1，得x02=5(1-y024)，
因为F1(-1,0)，F2(1,0)，
所以F1P⋅F2P=x02-1+y02=5(1-y024)-1+y02=4-y024=329，
解得y02=169，所以x02=259，
因为C与直线OP均关于原点对称，
所以直线OP被C截得的弦长为2|OP|=2 x02+y02=2 413；
(3)d2-d1为定值，理由如下：
设直线BD的方程为y=2x+2m，
联立y=2x+2mx25+y24=1，整理得6x2+10mx+5m2-5=0，
由Δ=100m2-120(m2-1)>0，得- 60，
由根与系数关系，得1⋅x2=-9t2-44-9t2，
所以x2=9t2+49t2-4，所以y2=-3t(9t2+49t2-4-1)=-24t9t2-4，
∴N(9t2+49t2-4,-24t9t2-4)，
当x1=x2时，y1=-y2，即8t4-t2=-24t9t2-4，
解得t2=43，x1=x2=2，
当x1≠x2时，直线MN的斜率kMN=y2-y1x2-x1=-24t9t2-4-8t4-t29t2+49t2-4-t2+44-t2=-8t4-3t2，
直线MN的方程为y-8t4-t2=-8t4-3t2(x-t2+44-t2)，
化简整理得y=-8t4-3t2(x-2)，
所以直线MN过定点(2,0)；
(ii)由(i)知，直线MN过定点T(2,0)，
则S1-S2=12(|AT|-|BT|)|y1-y2|=12×(3-1)|y1-y2|=|y1-y2|，
由(i)知y1+y2=-16m4m2-1，y1y2=124m2-1，
所以S1-S2=|y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2=4 4m2+3(4m2-1)2，
又点M，N在双曲线C的右支上，C的渐近线方程为x=±12y，
所以-12