2025-2026学年江苏省南京市玄武区九年级（上）期中数学模拟试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年江苏省南京市玄武区九年级（上）期中数学模拟试卷-自定义类型，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知点在外，且的半径为，则的长可能是（ ）
A. B. C. D.
2.用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.若关于的一元二次方程有实数根，则字母的取值范围是（ ）
A. 且B. C. D. 且
4.小莹在计算一组数据的方差时，列出没有化简的算式：关于这组数据，下列说法正确的是（ ）①平均数是；②众数是；③中位数是；④样本容量是．
A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④
5.如图，是半圆的直径，为圆上的两点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6.下列说法中，正确的个数有（）
①二次函数的图象经过两点，m，n是关于x的元二次方程的两个实数根，且，则恒成立．
②在半径为r的中，弦互相垂直于点P，当时，则．
③为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且，点A的坐标为，点B的坐标为，点C是反比例函数的图象上一点，则．
④已知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等，则矩形的对角线长是．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.已知等腰三角形的底和腰是方程 的两个根，则该三角形的周长是 ．
8.有一组从小到大排列的数据：，它们的平均数与中位数相等，则 ．
9.秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范.疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设平均每人每轮传染x人，根据题意列出方程得： .
10.用一个圆心角为150°，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
11.“赵爽弦图”利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，在正方形中，，，假设可在弦图区域内随机取点，则这个点落在阴影部分的概率为 ．
12.已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为 ．
13.已知在扇形中，，，C为弧的中点，D为半径上一动点，点B关于直线的对称点为M，若点M落在扇形内（不含边界），则长的取值范围是 ．
14.如图，边长为的正方形的对角线，相交于点，以为圆心，长为半径的弧交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是 ．
15.如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为 ．
16.如图，四边形是⊙O的内接四边形，，，为上一点，，的最小值为
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.用适当的方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票．（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）．
(1) 小明抽取第一张邮票，抽到“雨水”的概率为 ；
(2) 请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的的概率．
19.(本小题8分)
每年4月23日是世界读书日，为推动全校阅读风气，鼓励学生发现阅读乐趣，某中学积极推进读书活动，倡导每名学生每学期至少读一本书，学期末学校对七、八年级的学生读书情况进行调查．分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期的读书数，制作了频数分布表．
七年级样本学生读书本数扇形统计图
八年级样本学生读书本数频数直方图
(1) 求出扇形统计图中圆心角的度数，并补全频数直方图．
(2) 根据频数分布表分别计算有关统计量：
请填写表格中的m，n的值，并求出的值．
(3) 从中位数、众数、方差中任选两个统计量，对七八年级学生的读书情况进行比较，并做出评价．
20.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程．
(1) 判断方程是否为波浪方程，并说明理由．
(2) 已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值．
21.(本小题8分)
如图，是的对称中心，与相切于点．
(1) 求证：直线是的切线．
选择其中一位同学的想法，完成证明．
(2) 当与相切时，是菱形吗？说明理由．
22.(本小题8分)
某学校计划利用一片空地建一个面积为的矩形车棚，其中一边靠墙，这堵墙的长度为，另外三边用总长为的木板墙．
(1) 为方便出行，学校决定在与墙平行的一边上开一个宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？
(2) 在（1）的条件下，如图，为了方便取车，施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，使得停车区的面积为，那么小路的宽度是多少米？
23.(本小题8分)
已知：点是外的一点．
(1) 如图1，、与相切于点、，求证：平分；
(2) 如图2，、与分别相交于点、和、，且．求证：平分．
24.(本小题8分)
如图，在半径为2的圆形纸片中，剪一个圆心角为的扇形．（结果保留）
(1) 若，求这个扇形的面积；
(2) 思考：如何剪使得扇形的面积最大？
①若，求这个扇形的最大面积；
②若，求这个扇形的最大面积．
(3) 扇形的最大面积随变化而变化，画出这个扇形的最大面积的示意图，并给出对应的范围．
25.(本小题8分)
阅读感悟：
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则．所以．
把代入已知方程，得．
化简，得，
故所求方程为．
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”．
请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式．
解决问题：
(1) 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为： ；
(2) 方程的两个根与方程 的两个根互为倒数．
(3) 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根．
26.(本小题8分)
数学实验室．
(1) 尝试探究∶如图1，在中，，D在上．，垂足分别为E，F，请问在上是否存在点N，使？若存在，请在图1中用尺规作图把点N画出来(不写作法，保留痕迹) ；若不存在，请说明理由．
(2) 实践运用∶如图2，在的内部，请用尺规作图在上确定一点P，使点P到两边的距离之和最大(不写作法，保留痕迹) ．
(3) 思考计算∶在(2) 的条件下，若，的半径为，则点P到两边距离之和最大值与最小值的差为 ．
27.(本小题8分)
在矩形中，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒：
(1) 如图1，几秒后，的面积等于？
(2) 在运动过程中，若以P为圆心、为半径的与相切（如图1），求t值；
(3) 若以Q为圆心，为半径作．
①如图2，以Q为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
②如图3，若与四边形的边有三个公共点，则t的取值范围为______．（直接写出结果，不需说理）
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】或
8.【答案】6
9.【答案】
10.【答案】5
11.【答案】
12.【答案】或
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
/度
16.【答案】
17.【答案】【小题1】
解：，
，
，
，
，；
【小题2】
解：，
，
，
或，
，．

18.【答案】【小题1】
​​​​​​​
【小题2】
解：根据题意可画树状图如下：
由图知一共9种结果，其中两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的情况有5种，
小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率为．

19.【答案】【小题1】
解：根据题意七年级样本学生总人数为：人，
∴人，
，
人，
频数直方图如图所示
八年级样本学生读书本数频数直方图
【小题2】
解：，
八年级学生的中位数为，
八年级学生的众数为；
【小题3】
解：答案不唯一
从中位数看，七、八年级相等；
从众数看，八年级读书人数比七年级多；
从平均数看，八年级比七年级平均读书多；
从方差看，八年级的读书本数情况比七年级更集中，
从以上分析可以看出八年级学生对读书比较积极．

20.【答案】【小题1】
解：方程为波浪方程，理由如下：
由题意得，，
∴，
∴方程为波浪方程，
【小题2】
解：∵关于x的方程为波浪方程，
∴，且，
∴，
∵是关于x的方程的一个根，
∴，
联立①②解得；

21.【答案】【小题1】
证明：如图，
连接并延长与交于点，连接，
是的对称中心，
，
，
又，
，
，
与相切于点，
与相切于点，
即直线是的切线．
【小题2】
解：是菱形．
理由：如图，
设与相切于点，连接并延长与交于点，
同理（1），得是的切线，．
由切线长定理得，，
，
．
，
是菱形．

22.【答案】【小题1】
解：设与墙垂直的一面为米，另一面则为米
根据题意得：，
整理得：，
解得或，
当时，(舍去)，
当时，，
答：车棚的长为米，宽为米．
【小题2】
解：设小路的宽为米，
根据题意得：，
整理得，
解得：(舍去)，，
答：小路的宽为米．

23.【答案】【小题1】
解：连接，
∵、与相切于点、，
∴，
∵，
∴平分；
【小题2】
证明：作于，过作于，
，
由垂径定理得：，，
，
，
，
，
于，，
平分．

24.【答案】【小题1】
解：如图，连接，

∵扇形是圆心角为的扇形，
∴，，则为圆的直径，
∴，
由得，
∴扇形的面积为；
【小题2】
解：①如图，连接，，过点作于点，
依题意，，
∴是等边三角形，
∴
∴，
∴
∴
∴扇形的面积为；
②如图，连接，，
依题意，，
∴
∴是等边三角形，
∴，
∴扇形的面积为；
【小题3】
如图，
当和时，扇形的面积相等，扇形的最大面积随变化而变化，
如图所示，扇形的面积最大，根据（1）、（2）的结论可得

25.【答案】【小题1】
​​​​​​​
【小题2】
​​​​​​​
【小题3】
解：，
，
由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数，
，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，
或，
解得：或，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为或．

26.【答案】【小题1】
解：如图1，作与关于对称，延长交于，
由轴对称的性质可知，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
∴，
如图1，过作于，则四边形为矩形，
∴，
∴存在，点即为所作；
【小题2】
解：由（1）可知，等腰三角形底边上的点到顶角两边的距离和，等于底角顶点到另一条腰的距离，且底角顶点离顶点越远，距离和越大，
∴当在的内部，上一点P，使点P到两边的距离之和最大时，点在以为顶角的等腰三角形的底边与相切的切点位置，
如图2，以为顶角，作等腰三角形，过作的垂线，交于点，
如图，过作线段，
∴为为顶角的等腰三角形，
∴，为半径，
∴是的切点，
∴点即为所求；
【小题3】
​​​​​​​

27.【答案】【小题1】
解：由题意知，，，则，
∵
∴，
解得或，
故当运动时间为2秒或4秒时，的面积为；
【小题2】
解：如图1，设切点为，连接．
∵，
∴与相切，
∴分别与，相切，
∴．
∵与相切，
∴，
在中，依据勾股定理可得．
∴．
∵，
∴，．
在中，依据勾股定理可得，，
解得；
【小题3】
解∶①由题意知不与，相切，
当与相切时，设切点为E，连接，
则，，
则四边形是矩形，
∴，
∴，
解得或；
当与相切时，
则，
∴，
解得，（舍去），
综上，当t的值为0或或时，正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切；
②解：（Ⅰ）当时，如图4所示：
与四边形有两个公共点；
（Ⅱ）如图5所示：
当经过点D时，与四边形有两个公共点，则，
得方程，
解得：（舍），，
∴当，与四边形有三个公共点．
故答案为：．
读书数目（本）
1
2
3
4
5
七年级频数（人）
7
a
10
12
6
八年级频数（人）
2
b
21
13
4
统计量
中位数
众数
平均数
方差
七年级
3
2
八年级
m
n