2025-2026学年贵州省黔东南州九年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年贵州省黔东南州九年级（上）期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.一元二次方程x2+5x−3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A. 1，5，−3B. 1，−5，−3C. 1，−5，3D. 1，5，3
2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.一元二次方程x(x−3)=0的解是( )
A. x=0B. x=3
C. x1=0，x2=3D. x1=0，x2=−3
4.二次函数y=(x−2)2+3的图象的顶点坐标是( )
A. (2,3)B. (−2,3)C. (−2,−3)D. (2,−3)
5.用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是( )
A. (x+4)2=−7B. (x+4)2=−9C. (x+4)2=7D. (x+4)2=25
6.如图，在△ACB中，∠C=90∘，∠BAC=80∘，将△ACB绕点A顺时针旋转到△AC′B′位置，使AC′刚好落在AB上，B、C旋转后的对应点分别是B′和C′，连接BB′，则∠BB′C′度数是( )
A. 40∘B. 45∘C. 50∘D. 55∘
7.已知关于x的一元二次方程x2+x+m2−4=0的一个根是0，则m的值是( )
A. 0B. 1C. 2D. 2或−2
8.下列一元二次方程有实数根的是( )
A. x2−2x−2=0B. x2+2x+2=0C. x2−2x+2=0D. x2+2=0
9.组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为( )
A. x(x+1)=28B. 12x(x−1)=28C. x(x+1)=28D. x(x−1)=28
10.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2向右平移3个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是( )
A. y=(x+3)2−1B. y=(x−1)2+1C. y=(x−3)2−1D. y=(x+3)2+1
11.如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45∘，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转到△ABG的位置，点D的对应点是点B.若DF=3，则BE的长为( )
A. 12B. 34C. 1D. 2
12.当ab>0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.在平面直角坐标系中，点(−2,3)关于原点对称的点的坐标是 。
14.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意列出方程是 .
15.抛物线y=2x2−4x+4的最小值是 .
16.已知关于x的方程x2−kx−6=0的一个根为x=3，则实数k的值为______.
三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
解方程：
(1)x2−2x+1=0；
(2)x(x−1)=3(x−1).
18.(本小题12分)
如图，在10×10的网格中，每个格子都是边长为1的小正方形，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)、B(4,2)、C(3,4).
(1)请画出将△ABC绕点A顺时针旋转90∘后得到的△AB1C1；
(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；
(3)求△A2B2C2的面积.
19.(本小题10分)
根据要求，解答下列问题：
①方程x2−2x+1=0的解为____；
②方程x2−3x+2=0的解为____；
③方程x2−4x+3=0的解为____；
…
(2)根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2−9x+8=0的解为____；
②关于x的方程____的解为x1=1，x2=n.
(3)请用配方法解方程x2−9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．
20.(本小题10分)
如图所示，有一个抛物线的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度AB为4m，跨度OC为10m.
(1)请建立适当直角坐标系，并求这条抛物线所对应的函数关系式；
(2)如图，在AB右边1m的D处所对应桥洞离水面的高是多少？
21.(本小题10分)
如图，将三角尺ABC(其中∠ABC=60∘，∠C=90∘)绕点B按顺时针转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A、B、C1在同一条直线上，那么这个旋转的角度等于多少度？
22.(本小题10分)
为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
(1)求每年市政府投资的增长率；
(2)若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？
23.(本小题12分)
如图，四边形ABCD是正方形，点F是BA延长线上一点，连接DF，△ADF绕点A按顺时针旋转一定角度后得到△ABE，若AF=3，AB=7.
(1)直接写出旋转角的度数；
(2)求DE的长度；
(3)求证：直线BE⊥DF.
24.(本小题12分)
某经销商销售一种成本价为10元/kg的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元/kg.在销售过程中发现销量y(kg)与售价x(元/kg)之间满足一次函数关系，对应关系如下表所示：
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)若该经销商想使这种商品获得平均每天168元的利润，求售价应定为多少元/kg？
(3)设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式；并求出该商品销售单价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？
25.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx−5与x轴交于A(−1,0)、B(5,0)两点，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式.
(2)请求出该二次函数的对称轴、顶点坐标.
(3)在直线BC下方抛物线上是否存在点P，使得△PBC的面积最大，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：方程x2+5x−3=0的二次项系数是1、一次项系数是5、常数项是−3，
故选：A.
根据一元二次方程一般式解答即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2.【答案】B
【解析】解：A是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，
B是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，
C不是轴对称图形，但它是中心对称图形，不符合题意，
D是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，
故选：B.
把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可．
本题考查中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：由条件可知x=0或x−3=0，
解得x1=0，x2=3.
故选：C.
利用因式分解法解方程即可．
本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵抛物线解析式为y=(x−2)2+3，
∴二次函数图象的顶点坐标是(2,3).
故选：A.
根据顶点式可直接写出顶点坐标．
本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的顶点坐标。
5.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．
【解答】
解：方程x2+8x+9=0，
整理得：x2+8x=−9，
配方得：x2+8x+16=7，
即(x+4)2=7.
故选C.
6.【答案】A
【解析】解：∵∠C=90∘，∠BAC=80∘，
∴∠ABC=10∘，
∵将△ACB绕点A顺时针旋转到△AC′B′位置，使AC′刚好落在AB上，
∴∠AC′B′=∠C=90∘，AB=AB′∠C′AB′=∠CAB=80∘，∠AB′C′=∠ABC=10∘，
∴∠ABB′=∠AB′B=12×(180∘−80∘)=50∘，
∴∠BB′C′=∠AB′B−∠AB′C′=40∘，
故选：A.
根据旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：把x=0代入方程x2+x+m2−4=0得到m2−4=0，
解得：m=±2，
故选D.
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得m的值．
本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念．
8.【答案】A
【解析】解：A、∵△=(−2)2−4×1×(−2)>0，
∴原方程有两个不相等实数根；
B、∵△=22−4×1×20，y=ax2开口向上，过原点，y=ax+b过一、二、三象限；
此时，没有选项符合，
当a0与a0，抛物线开口向上，
∴当x=1时，y取得最小值，最小值为2.
通过配方法将函数化为顶点式y=a(x−h)2+k，其顶点坐标为(h,k)，k即为最小值．
本题主要运用配方法将二次函数的一般式化为顶点式来求最值，熟练运用配方法是解题的关键．
16.【答案】1
【解析】解：∵x=3是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得32−3k−6=0，解此方程得到k=1.
本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．
本题逆用一元二次方程解的定义易得出k的值．
17.【答案】x1=x2=1；
x1=3，x2=1
【解析】(1)x2−2x+1=0，
(x−1)2=0，
x1=x2=1；
(2)x(x−1)=3(x−1)，
x(x−1)−3(x−1)=0，
(x−3)(x−1)=0，
x1=3，x2=1.
(1)利用配方法解一元二次方程；
(2)利用因式分解法解一元二次方程．
本题考查了解一元二次方程，掌握解法是解题的关键．
18.【答案】如图，△AB1C1即为所求；
如图，△A2B2C2即为所求；
3.5
【解析】(1)如图，△AB1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求；
(3)△A2B2C2的面积=3×3−12×1×3−12×1×2−12×2×3=3.5.
(1)利用旋转变换的性质分别作出C，B的对应点C1，B1即可；
(2)利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；
(3)把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
本题考查作图-旋转变换，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
19.【答案】(1)x1=x2=1；x1=1，x2=2；x1=1，x2=3；
(2)①1、8；②x2−(1+n)x+n=0；
(3)x2−9x=−8，
x2−9x+814=−8+814，
(x−92)2=494
x−92=±72，
所以x1=1，x2=8；
所以猜想正确．；
【解析】解：(1)①(x−1)2=0，解得x1=x2=1，即方程x2−2x+1=0的解为x1=x2=1，；
②(x−1)(x−2)=0，解得x1=1，x2=2，所以方程x2−3x+2=0的解为x1=1，x2=2，；
③(x−1)(x−3)=0，解得x1=1，x2=3，方程x2−4x+3=0的解为x1=1，x2=3；
…
(2)根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2−9x+8=0的解为x1=1，x2=8；
②关于x的方程x2−(1+n)x+n=0的解为x1=1，x2=n.
(3)见答案．
(1)利用因式分解法解各方程即可；
(2)根据以上方程特征及其解的特征，可判定方程x2−9x+8=0的解为1和8；②关于x的方程的解为x1=1，x2=n，则此一元二次方程的二次项系数为1，则一次项系数为1和n的和的相反数，常数项为1和n的积．
(3)利用配方法解方程x2−9x+8=0可判断猜想结论的正确．
本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了因式分解法解一元二次方程．
20.【答案】解：(1)建立如图所示的平面直角坐标系，
设这条抛物线所对应的函数关系式是y=a(x−5)2+4，
∵该函数过点(0,0)，
∴0=a(0−5)2+4，
解得，a=−425，
∴这条抛物线所对应的函数关系式是y=−425(x−5)2+4；
(2)当x=6时，y=−425(6−5)2+4=9625，
即在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是9625m.
【解析】(1)根据题意可以设抛物线的顶点式，然后根据函数图象过点(0,0)，即可求出这条抛物线所对应的函数关系式；
(2)将x=6代入(1)中的函数解析式即可求得在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高度．
本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
21.【答案】120度．
【解析】解：三角板中∠ABC=60∘，旋转角是∠CBC1，
则∠CBC1=180∘−60∘=120∘.
这个旋转角度等于120度．
利用旋转的性质计算．
正确记忆三角板的角的度数，理解旋转角的概念，是解决本题的关键．
22.【答案】解：(1)设每年市政府投资的增长率为x，根据题意得：
3(1+x)2=6.75，
解得：x=0.5，或x=−2.5(不合题意，舍去)，
∴x=0.5=50%，
即每年市政府投资的增长率为50%；
(2)∵12×(1+50%)2=27，
∴2015年建设了27万平方米廉租房．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用；熟练掌握列一元二次方程解应用题的方法，根据题意找出等量关系列出方程是解决问题的关键．
(1)设每年市政府投资的增长率为x，由3(1+x)2=2015年的投资金额，列出方程，解方程即可；
(2)2015年的廉租房面积=12×(1+50%)2，即可得出结果．
23.【答案】(1)解：由题意知，旋转角度为∠BAD=90∘；
(2)解：∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，
∴AE=AF=3，AD=AB=7，
∴DE=AD−AE=7−3=4；
(3)证明：∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，
∵∠ADF+∠F=180∘−90∘=90∘，
∴∠ABE+∠F=90∘，
∴∠BHF=90∘，
∴BE⊥DF.
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
24.【答案】解：(1)设关系式为y=kx+b，把(12,36)(14,32)代入得：
12k+b=3614k+b=32，解得：k=−2，b=60，
∴y与x的之间的函数关系式为y=−2x+60，
自变量的取值范围为：10≤x≤18.
(2)根据题意得：(x−10)(−2x+60)=168，
解得：x=16，x=24(舍去)，
答：要获得平均每天168元的利润，售价应定为16元/kg；
(3)W=(x−10)(−2x+60)=−2x2+80x−600=−2(x−20)2+200，
∵a=−2