重庆市两江育才中学2025-2026学年高二上学期期中质量监测数学试卷（Word版附解析）

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（考试用时 120 分钟）
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．）
1. 复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2 已知直线 ， ，若 ，则实数 （ ）
A. 或 1 B. 0 或 1 C. 1 D.
3. 节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民
长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气中随机选择两个节气，
则其中一个节气是立春的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量 ， ，若 ，则实数λ=（ ）
A. B. 3 C. 5 D.
5. 已知直线 与圆 交于 两点，则 （ ）
A. B. 5 C. D.
6. 虚轴长为 2，离心率 的双曲线两焦点为 ， ，过 作直线交双曲线的一支于 、 两点，且
，则 的周长为（ ）
A. 3 B. 16+
C. 12+ D. 24
7. 某校举办了迎新年知识竞赛，随机选取了 100 人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下，则根据此频
率分布直方图，下列结论不正确的是（ ）
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A. 该校约有一半学生成绩高于 70 分 B. 该校不及格人数比例估计为 25%
C. 估计该校学生成绩的中位数为 70 分 D. 估计该校学生的平均成绩超过了 70 分
8. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 和 ，点 在椭圆上且在 轴的上方 若线段 的中点
在以原点 为圆心， 为半径的圆上，则 的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每个给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．）
9. 若双曲线 的方程为 ，则（ ）
A. 的焦距为
B. 的渐近线方程为
C. 的离心率为
D. 的虚轴长为 2
10. 内角 的对边分别为 ，下面四个结论正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则 为锐角三角形
C. 若 的外接圆半径是 ，则
D. 若 ，则
11. 如图，在棱长为 2 正方体 中， 是侧面 内的一点， 是线段 上的一
点，则下列说法正确的是（ ）
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A. 过 的平面截此正方体所得的截面为四边形
B. 当 为棱 的中点时，过点 的平面截该正方体所得的截面的面积为
C. 点 到直线 的距离的最小值为
D. 当 为棱 的中点且 时，则点 的轨迹长度为
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 若椭圆 上一点 P 到该椭圆一个焦点距离为 3，则点 P 到另一个焦点的距离为________.
13. 若双曲线 的右支上一点 到右焦点的距离最短为 ，则双曲线为 的渐近线方程为
_______________．
14. 已知圆 和圆 ，M、N 分别是圆 C、D 上的动点，P
为 x 轴上的动点，则 的最小值是______.
四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. （1）已知两直线 ，求过两直线的交点，且垂直于直线 的
直线方程；
（2）已知直线 过点 ，且交坐标轴正半轴于 两点，当 的面积最小时，求 的周长.
16. 已知圆 经过点 和原点，且圆心在直线 上.
（1）求圆 的方程：
（2）过点 作圆 的切线，求切线方程.
17. 在锐角 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 ．
（1）求 B；
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（2）若 ， 的面积为 ，求 a，c 的值．
18. 如图所示，直角梯形 中， ， 垂直 ， ，四边形
矩形， ，平面 平面 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的正弦值；
（3）在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求出线段
的长，若不存在，请说明理由.
19. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，长轴长为 ，直线
的倾斜角为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若椭圆 上的两动点 ， 均在 轴上方，且 ，求证： 的值为定值；
（3）在（2）的条件下求四边形的 的面积 的取值范围.
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