2024-2025学年重庆市两江育才中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年重庆市两江育才中学高二（下）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知火箭发射t秒后，其高度(单位：米)为ℎ(t)=910t2，则火箭发射后第10秒时，火箭爬高的瞬时速度为( )
A. 92m/sB. 9m/sC. 452m/sD. 18m/s
2.在二项式(x−2x)5的展开式中，含x项的系数为( )
A. −10B. 5C. 10D. 40
3.下表是离散型随机变量ξ的概率分布，则P(ξ≥2)=( )
A. 34B. 1112C. 23D. 2324
4.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(e)+lnx，则f′(e)=( )
A. 1eB. −1C. −1eD. −e
5.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(1)=5，则Δx→0limf(1+2Δx)−f(1)Δx=( )
A. 2B. 52C. 5D. 10
6.已知函数f(x)=lnx−14x+34x−1,g(x)=x2−2x+2b，若对任意x1∈(0,2)，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数b的取值范围是( )
A. (2,178]B. [1,+∞)C. (−∞,14]D. [2,+∞)
7.有甲乙丙丁4名人学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶，短道速滑、花样滑冰3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率( )
A. 16B. 14C. 29D. 136
8.已知函数f(x)=2xx−1(x≤0)lnxx(x>0)，若关于x的方程f2(x)+(1−m)f(x)−m=0有且只有两个不同实数根，则m的取值范围是( )
A. (1e,2)B. (−∞,0)∪(1e,2)
C. (−∞,−1)∪(−1,0)∪(1e,2)D. (−∞,0)∪(1e,1)∪(1,2)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.定义在R上的函数y=f(x)，其导函数y=f′(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. f(−2)是f(x)的极小值，f(1)是f(x)的极大值
B. f(−1)是f(x)的极大值，f(1)是f(x)的极小值
C. f(x)在(−∞,−2)上单调递增
D. f(x)在(−1,1)上单调递减
10.已知在(3x−123x)n的二项展开式中，第6项为常数项，则( )
A. n=10B. 展开式中项数共有13项
C. 含x2的项的系数为454D. 展开式中有理项的项数为3
11.骰子通常作为桌上游戏的小道具.最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6.现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n关要抛掷六面骰n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2n+n，则算闯过第n关，n=1，2，3，4.假定每次闯关互不影响，则( )
A. 直接挑战第2关并过关的概率为712
B. 连续挑战前两关并过关的概率为524
C. 若直接挑战第3关，设A=“三个点数之和等于15”，B=“至少出现一个5点”，则P(A|B)=113
D. 若直接挑战第4关，则过关的概率是351296
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲、乙、丙3个公司承包6项不同的工程，甲承包1项，乙承包2项，丙承包3项，则共有______种承包方式(用数字作答)．
13.已知函数f(x)=x−2x−3lnx,x∈[2,6],f(x)≤−3m+173恒成立，求实数m的取值范围______．
14.已知函数f(x)的定义域为(0,π)，其导函数是f′(x).若f′(x)sinx−f(x)csx>0恒成立，则关于x的不等式f(x)< 2f(π4)sinx的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知(x−2)(x+1)n=a0+a1x+a2x2+⋯+an+1xn+1(n∈N∗)，满足a0+a1+a2+⋯+an+1=−32．
(1)求n的值；
(2)求a0a3的值．
16.(本小题15分)
设点P是曲线f(x)=x3− 3x+2上的一点，k是曲线在点P处的切线的斜率．
(1)求k的取值范围；
(2)求当k取最小值时，求过点P且和曲线g(x)=x2−2x+3相切的直线方程．
17.(本小题15分)
中国乒乓球在世界乒坛长期占据统制性地位，被誉为“国球”，无论是竞技成绩、人才的培养还是技术的革新，均处于全球领先水平，在最近7届奥运会中，有6枚奥运男单金牌，女单从未让金牌落榜.某学校将举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，每场单打比赛获胜得2分，双打比赛获胜得4分，两支决赛的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每位出场队员在决赛中只能参加一场比赛，进入决赛的甲乙两支球队中，甲队有五名运动员．
(1)甲队中队员A因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？
(2)在(1)的条件下，单局比赛中A参加比赛且获胜的概率为34，A不参加比赛甲队单局单打获胜的概率为12，甲队双打比赛获胜的概率为23，求甲队得4分的概率．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=alnx+12x2−(a+1)x+a(a∈R且a≠0)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
19.(本小题17分)
设函数f(x)=aex−2x−1，a∈R．
(1)若a>0，求f(x)极小值．
(2)若x1，x2是函数f(x)的两个零点，且x2−x1≥1，求x1+x2的最小值．
参考答案
1.D
2.D
3.B
4.C
5.D
6.C
7.A
8.C
9.BCD
10.ACD
11.ACD
12.60
13.(−∞,ln6]
14.(0,π4)
15.(1)(x−2)(x+1)n=a0+a1x+a2x2+⋯+an+1xn+1(n∈N∗)，
取x=1，可得(1−2)(1+1)n=a0+a1+a2+⋯+an+1，
故−2n=−32，所以n=5；
(2)取x=0，可得(0−2)(0+1)5=a0=−2，
(x−2)(x+1)5=x(x+1)5−2(x+1)5，
由于(x+1)5的通项为Tr+1=C5rx5−r，
所以a3=C53−2C52=−10，
故a0a3=20．
16.(1)因为f′(x)=3x2− 3≥− 3，
所以k的取值范围是[− 3,+∞)；
(2)当k取最小值− 3时，3x2− 3=− 3，解方程可得x=0．
将x=0代入f(x)可得f(0)=03− 3×0+2=2，
所以P(0,2).设切点为(x0,x02−2x0+3)，
又g′(x)=2x−2，
所以切线方程为y−(x02−2x0+3)=(2x0−2)(x−x0)，又其过点P(0,2)，
所以2−(x02−2x0+3)=(2x0−2)(0−x0)，
即2−x02+2x0−3=−2x02+2x0，即x02−1=0，
解得x0=1或x0=−1．
当x0=1时，k=2×1−2=0，切线方程为y−2=0；
当x0=−1时，k=2×(−1)−2=−4，切线方程为y−2=−4(x−0)，即4x+y−2=0，
所求切线方程为y=2或4x+y−2=0．
17.(1)除队员A外的4名队员中任选2人参加双打比赛，有C42种方法，
再从余下3人中任选2人参数单打比赛，有A32种方法，
所以不同的出场阵容的种数是C42A32=36；
(2)甲队得4分的事件是两场单打获胜、双打输的事件B与两场单打输、双打获胜的事件D的和，
队员A参加单打比赛的概率为23，不参加单打比赛的概率13，
事件B是A参加单打比赛的事件与不参加比赛的事件和，P(B)=23×34×12×13+13×12×12×13=19，
事件D是A参加单打比赛的事件与不参加比赛的事件和，P(D)=23×14×12×23+13×12×12×23=19，
所以甲队得4分的概率为P(B)+P(D)=29．
18.解：(1)因为f′(x)=1x(x−a)(x−1),x∈(0,+∞)，
当a0，x∈(0,1)时f′(x)0，所以f(x)在(1,+∞)单调递增；
当00，所以f(x)在(0,1)和(a,+∞)上单调递增，x∈(1,a)时，f′(x)