浙江省嘉兴市八校联盟2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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考生须知：
1．本卷共4 页满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4．考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知点，，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. 3D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由斜率公式计算．
【详解】根据题意可得直线的斜率.
故选：C．
2. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ）
A. 2B. -2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对分类讨论，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系即可求解.
【详解】当时，得，此时与不垂直；
当时，若，则，解得.
故选：A.
3. 已知分别是椭圆的左、右焦点，点Р在椭圆上，若，则（ ）
A. 6B. 3C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由椭圆定义列式即可求解
【详解】依题意，，则.
故选：B.
4. 已知空间向量与共线，则（ ）
A. -1B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量共线的条件即可得出答案.
【详解】因为空间向量与共线，
所以，解得，所以.
故选：C
5. 在三棱柱中，，，，BC的中点为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量的加减法运算即可求得结果.
【详解】易知.
故选：B
6. 过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据切线的意义知，由勾股定理可求.
【详解】由题意有，即.
故选：B.
7. 已知圆和两点，若圆上有且仅有一点，使得，则实数的值是（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，求出以为直径的圆的方程为，由圆上有且只有一点使得，可得圆与圆相切，由圆与圆的位置关系分析可得答案.
【详解】根据题意，圆，其圆心为，半径，
由两点，可得以为直径圆的方程为，
设该圆为圆，其圆心为，半径，
若点满足，则在圆上，
又由圆上有且只有一点使得，则圆与圆相切，
则有或，
又因为，解得或
故选：C.
8. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，则，根据椭圆定义表示，，再根据勾股定理建立关系，解得离心率.
【详解】由，可得，
设，则，，，
由，则，即，解得，
所以，，
，即，解得，
所以椭圆的离心率.
故选：D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 每题全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分.
9. 已知圆：，则下列说法正确的是（ ）
A. 点在圆内
B. 圆的圆心坐标为，半径为
C. 圆与轴交于点，则
D. 直线：与圆相切，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，直接利用点与圆的位置关系判断即可；对于B，将圆的一般式方程化为标准式方程即可；对于C，将点表示出来，利用三角形面积公式求解即可；对于D，根据直线与圆相切表示出圆心到直线的距离，利用直线与圆的位置关系判断即可.
【详解】对于A，根据点与圆的位置关系，
将点代入圆方程，得，
所以点在圆内，选项A正确；
对于B，因为圆：，
所以圆的标准式为，圆心为，半径为2，选项B正确；
对于C，令，则，得，
所以，
因为圆心到轴的距离为1，所以，选项C正确；
对于D，因为直线：与圆相切，
所以，解得，所以D错误.
故选：ABC
10. 正方体的棱长为，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线与直线所成的角为
B. 直线与平面所成的角为
C. 二面角的平面角为
D. 点到平面的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可判断ABC，根据向量法求距离即可判断D.
【详解】以点坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，
则，
对于A：，，
又，所以，
所以直线与直线所成的角为，故A正确；
对于B：因为，，
设平面的法向量为，则
，
故，令，则，
所以为平面一个法向量，又，
设直线与平面所成角为，
所以，
又，所以，
所以直线与平面所成的角为，故B正确；
对于C：由选项B的解析可得为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，，，
则，
故，令，则，
所以为平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，
则，，
结合图象可得，所以二面角的平面角为，故C错误；
对于D：因为，为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离，故D正确.
故选：ABD.
11. 如图，在棱长为的正方体中，分别是棱，的中点，点在线段上运动，下列结论正确的是（ ）

A. 平面截正方体所得的截面图形是五边形
B. 直线到平面的距离是
C. 存在点，使得
D. 面积的最小值是
【答案】AC
【解析】
【分析】对A：借助平面定义延长、、后即可得；对B：借助等体积法计算即可得；对C：建立适当空间直角坐标系后结合空间向量数量积公式计算即可得；对D：利用所建空间直角坐标系，结合空间中点到直线距离公式计算即可得.
【详解】对于A，如图直线与、的延长线分别交于，
连接分别交于，连接，
则五边形即为所得的截面图形，故A正确；

对于B，由题可知，平面，平面，
∴平面，故点到平面的距离即为直线到平面的距离，

设点到平面的距离为h，由正方体的棱长为2可得，
，，
∴，
又，所以，
∴由可得，
所以直线到平面的距离是，故B错误；

对于C，如图建立空间直角坐标系，则，
设，
∴，又，
∴，，
假设存在点，使得，
∴，整理得，
∴（舍去）或，
故存在点，使得，故C正确；
对于D，由上知，
所以点在的投影为，
∴点到的距离为：
，
∴当时，，
∴面积的最小值是，故D错误.
故选：AC.
非选择题部分
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 直线的倾斜角为______．
【答案】
【解析】
【分析】由直线方程求斜率，根据斜率与倾斜角关系求倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，，
将直线转化为斜截式，可知直线的斜率为，
所以，
所以，
所以直线的倾斜角为．
故答案为：.
13. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上的点P满足轴，，则的周长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据椭圆的定义结合勾股定理求出即可分析计算求出周长.
【详解】设则，由椭圆的定义可知，
故，所以，
因为轴，所以为直角三角形，
由勾股定理得，
即，解得，，

所以的周长.
故答案为：.
14. 已知圆：与圆关于直线：对称，且圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为，则实数的值为__________．
【答案】2或6.
【解析】
【详解】分析：由两圆对称可得到圆的圆心坐标，然后根据圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为两圆的圆心距减去两半径可得实数的值．
详解：设圆圆心为，
∵圆和圆关于直线对称，
∴，解得，
∴圆的圆心为．
∴．
∵圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为为，
∴，
解得或．
点睛：解答本题的关键是得到圆N的圆心坐标，然后根据几何图形间的关系求解．解答直线和圆、圆和圆的位置关系问题时，可充分考虑几何图形的性质，将问题转化为两点间的距离或点到直线的距离求解．
四、解答题:本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知空间三点，，，设，.
（1）求，；
（2）若向量与互相垂直，求实数k的值.
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】（1）求出，利用模长公式和数量积公式得到答案；
（2）根据向量垂直得到方程，求出答案.
【小问1详解】
由题意，，
故，
；
【小问2详解】
因与互相垂直，则，
其中，
即，
解得或
16. 已知的三个顶点是．
（1）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程；
（2）若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）分别讨论当直线与平行，当直线通过的中点两种情况下，根据已知条件分别求出直线的方程.
（2）利用基本不等式的性质求出三角形面积的最小值.
【小问1详解】
因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点，
①当直线与平行，
因为，且过点，
所以方程为，即；
②当直线通过的中点，
所以，
所以的方程为，即．
综上：直线的方程为或．
【小问2详解】
由题意设，其中为正数，可设直线的方程为，
因为直线过点，所以，
由基本不等式可得，
所以，
当且仅当即时，取得最小值24，
所以面积，
所以当时，面积最小，
此时直线的方程为，即．
17. 在平面直角坐标系中，已知直线：，圆：
（1）若直线与圆相切，求实数的值；
（2）若，直线与圆相交于两点，求的面积；
（3）若直线：与圆交于两点，且（为坐标原点），求实数的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由圆的方程确定圆心的坐标和圆的半径，求到直线的距离，根据条件直线与圆相切，列方程求；
（2）求圆心到直线的距离，再由弦长公式求，利用三角形面积公式求结论；
（3）设，，由可得，联立与圆方程可得，，由可得，化简并求解方程可得结论.
【小问1详解】
圆的方程 可化为，
所以圆的圆心的坐标为 ，半径，
因为直线与圆相切，
圆心到直线的距离，
所以，解得，
【小问2详解】
由（1）圆的圆心的坐标为 半径，
若，则直线的方程为，
圆心到直线的距离，
所以，
所以的面积，
【小问3详解】
设，，
因为，
所以，故，
由，消得，
方程的判别式，
由已知是方程的根，
所以，，
因为，由可得，结合，
可得，故，，
所以，
所以.
18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，点E是棱上靠近P端的三等分点.

（1）证明：平面；
（2）证明：平面；
（3）是否存在棱上一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，请指出此时点的位置.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）存在，点是棱的中点
【解析】
【分析】（1）借助线面垂直性质定理与勾股定理可得、，再利用线面垂直判定定理即可得证；
（2）法一：作出相应辅助线后借助线面平行性质定理证明即可得；法二：建立适当空间直角坐标系后，利用空间向量数量积公式计算即可得；
（3）建立适当空间直角坐标系后，求出两平面法向量，再利用空间向量数量积公式计算即可得.
【小问1详解】
因为平面，平面，
所以 ，又因为，
有，所以，
又，、平面，
故平面；
【小问2详解】
方法一：连交于点，连，
由，则与相似，
则，则 ，故，
又平面， 平面，
故平面；

方法二：以点D为坐标原点，分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，

有，
则，，
设平面的一个法向量为，
则有，即，
令，得，，则，
又，可得，
又因为平面，所以平面.
【小问3详解】
假设存在，设，
设，则，，
可得，，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，得，，则，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，得，，则，
设平面与平面的夹角为，
则，
， ，化简整理得，
解得或（负值舍去），
故点是棱的中点.
19. 已知椭圆的离心率为，A、分别为椭圆的左、右顶点.过点作斜率为的动直线交椭圆于、两点；当变化时，面积的最大值为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当时，求的面积；
（3）如图，设关于原点对称点为，直线、交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）是定值，
【解析】
【分析】（1）由题意可得，由面积可得，再结合，即可得出答案.
（2）直线的方程为，联立方程解出，进而可求面积；
（3）设，直线的方程为，联立直线和椭圆方程，利用根与系数的关系、斜率公式即可求得为定值.
【小问1详解】
依题意可知，
当为短轴顶点时，取到最大值，
可得，解得，
所以椭圆的标准方程.
【小问2详解】
因为点在椭圆内部，可知直线与椭圆必相交，设，
若，则直线，
联立方程，消去可得，解得或，
所以的面积.
【小问3详解】
由（2）可设，则，
设直线的方程为，此时，
联立直线与椭圆方程，消去可得，
则，
不妨设，因为三点共线，则，
可得，则，
因为三点共线，则，
可得，则，
可得，
则，可得，
所以，即.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．