安徽省安庆市石化第一中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题-A4

这是一份安徽省安庆市石化第一中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题-A4，共23页。试卷主要包含了下面四条线段中成比例线段的是，若无论x取何值，代数式等内容，欢迎下载使用。
1．已知反比例函数y＝的图象在第一、三象限内，则k（ ）
A．k＞2B．k≥2C．k＜2D．k≤2
2．在△ABC中，∠C＝90，tanA＝2，则csA的值为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（ ）
A．AB∥CDB．∠A＝∠DC．D．
4．在函数①y＝4x2，②，③中，图象开口大小顺序用序号表示应为（ ）
A．①＞②＞③B．①＞③＞②C．②＞③＞①D．②＞①＞③
5．下面四条线段中成比例线段的是（ ）
A．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4B．a＝3，b＝6，c＝9，c＝12
C．a＝1，b＝，c＝，d＝D．a＝1，b＝2，c＝4，d＝6
6．一个羽毛球发出去x秒时的高度为y米，且y与x之间的函数关系式为y＝ax2+bx+c（a＜0）．如果这个羽毛球在第2秒与第4秒时的高度相等，那么在下列时间中，羽毛球所在高度最高的是（ ）
A．第2.5秒B．第2.9秒C．第3.3秒D．第3.5秒
7．将一副三角板按图叠放，则△AOB与△COD的面积之比为（ ）
A．1：B．1：3C．1：D．1：2
8．若无论x取何值，代数式（x+1﹣3m）（x﹣m）的值恒为非负数，则m的值为（ ）
A．0B．C．D．1
9．如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形顶点的位置上，联结AB．CD相交于点P，根据图中提示添加的辅助线，可以得到cs∠BPC的值等于（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在Rt△ABC中，ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，sin∠CEF＝，则△AEF的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
二．填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
11．抛物线y＝（x﹣4）（x+3）的对称轴为直线 ．
12．在△ABC中，AB＝4，AC＝，∠B＝60°，则BC＝ ．
13．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝4，则△CEF的周长为 ．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，M，N分别是BC，CD上的动点，连接AM，BN交于点E，且∠BND＝∠AMC．
（1）＝ ．
（2）连接CE，则CE的最小值为 ．
解答题:共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15．（本小题8分）计算：sin45°•cs45°﹣tan60°÷cs30°．
16．（本小题8分）某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的高度AB，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高1.5m的测角仪CD测得塔顶A的仰角为37°，然后沿CB方向前行7m到达点F处，在F处测得塔顶A的仰角为45°．请根据他们的测量数据求塔高AB的长度大约是多少．（参考数据：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈．）
（本小题8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，
且∠APB＝∠BPC＝135°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA＝2PC．
18．（本小题8分）某市人民广场上要建一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）．若已知OP＝3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外．
19．（本小题10分）知识改变世界，科技改变生活，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．周末，小强一家到B，C两处景区游玩，他们从家A处出发，向正西行驶160km到达B处，测得C处在B处的北偏西15°方向上，出发时测得C处在A处的北偏西60°方向上．
（1）填空：∠C＝ 度；
（2）求B处到C处的距离即BC的长度（结果保留根号）．
20．（本小题10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，2）在双曲线上，点B在双曲线上，且满足OA⊥OB，连接AB．
（1）求双曲线的表达式；
（2）若，求k2的值．
21．（本小题12分）如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）结合函数图象，当0≤x≤4时，写出y的取值范围；
（2）若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．
22．（本小题12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点（﹣3，0）和点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移抛物线y＝ax2+bx+3，平移后的图象记为图象G，其顶点（h，k）（0＜h＜1）在抛物线上，直线分别与抛物线和图象G交于点P和点Q，求线段PQ长的最大值．
23．（本小题14分）如图1，△ABC中，∠A＝45°，BD⊥AC于D，E点在AB边上，CE＝CB，CE交BD于F，过点E作EG⊥AC于点G．
（1）求证：GE＝CD；
（2）如图2，当DF＝FB＝2时，求CB的长；
（3）连接DE，若DE∥BC，求的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知反比例函数y＝的图象在第一、三象限内，则k（ ）
A．k＞2B．k≥2C．k＜2D．k≤2
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在第一、三象限内，
∴2﹣k＞0，
∴k＜2，
故选：C．
2．在△ABC中，∠C＝90，tanA＝2，则csA的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90，
∴tanA＝＝2，
∴设CB＝2k，AC＝k，
∴AB＝＝k，
∴csA＝＝＝，
故选：A．
3．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（ ）
A．AB∥CDB．∠A＝∠DC．D．
【解答】解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
B、由∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
C、由、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意．
故选：D．
4．在函数①y＝4x2，②，③中，图象开口大小顺序用序号表示应为（ ）
A．①＞②＞③B．①＞③＞②C．②＞③＞①D．②＞①＞③
【解答】解：∵|4|＝4，||＝，|﹣|＝，
∴＜＜4，
∵|a|越小，开口越大，
∴②＞③＞①，
故选：C．
5．下面四条线段中成比例线段的是（ ）
A．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4B．a＝3，b＝6，c＝9，c＝12
C．a＝1，b＝，c＝，d＝D．a＝1，b＝2，c＝4，d＝6
【解答】解：A、1×4≠2×3，故本选项不符合题意；
B、3×12≠6×9，故本选项不符合题意；
C、1×＝×，故本选项符合题意；
D、1×6≠2×4，故本选项不符合题意；
故选：C．
6．一个羽毛球发出去x秒时的高度为y米，且y与x之间的函数关系式为y＝ax2+bx+c（a＜0）．如果这个羽毛球在第2秒与第4秒时的高度相等，那么在下列时间中，羽毛球所在高度最高的是（ ）
A．第2.5秒B．第2.9秒C．第3.3秒D．第3.5秒
【解答】解：∵羽毛球在第2秒与第4秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴方程为x＝3．
∵2.9s最接近3s，
∴第2.9秒时，羽毛球所在高度最高，
故选：B．
7．将一副三角板按图叠放，则△AOB与△COD的面积之比为（ ）
A．1：B．1：3C．1：D．1：2
【解答】解：∵直角三角板（含45°角的直角三角板ABC及含30°角的直角三角板DCB）按图示方式叠放
∴∠D＝30°，∠A＝45°，AB∥CD
∴∠A＝∠OCD，∠D＝∠OBA
∴△AOB∽△COD
设BC＝a
∴CD＝a
∴S△AOB：S△COD＝1：3
故选：B．
8．若无论x取何值，代数式（x+1﹣3m）（x﹣m）的值恒为非负数，则m的值为（ ）
A．0B．C．D．1
【解答】解：（x+1﹣3m）（x﹣m）＝x2+（1﹣4m）x+3m2﹣m，
∵无论x取何值，代数式（x+1﹣3m）（x﹣m）的值恒为非负数，
∴Δ＝（1﹣4m）2﹣4（3m2﹣m）＝（1﹣2m）2≤0，
又∵（1﹣2m）2≥0，
∴1﹣2m＝0，
∴m＝．
故选：B．
9．如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形顶点的位置上，联结AB．CD相交于点P，根据图中提示添加的辅助线，可以得到cs∠BPC的值等于（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由题知，
∵CD∥BE，
∴∠BPC＝∠ABE．
显然∠AEB＝90°，
令BE＝a，则AE＝2a，
在Rt△ABE中，
AB＝，
所以cs∠ABE＝，
则cs∠BPC＝cs∠ABE＝．
故选：B．
10．如图，在Rt△ABC中，ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，sin∠CEF＝，则△AEF的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠DCE＝∠CEF，
在Rt△CDE中，sin∠DCE＝sin∠CEF＝＝，
设DE＝3x，则CE＝5x，
∴CD＝＝4x，
在Rt△ABC中，BE＝EA，
∴CE＝BE＝EA＝5x，
∴AB＝2BE＝10x，
∴BD＝BE﹣DE＝2x，
在Rt△BCD中，BC2＝BD2+CD2，BC＝4，
∴42＝（4x）2+（2x）2
∴x＝，
∵Rt∠CDA＝Rt∠FEA，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△AFE，
∴
∴，
∴EF＝，
∵AE＝5x＝2，
∴
＝
＝5．
故选：C．
二．填空题（共4小题）
11．抛物线y＝（x﹣4）（x+3）的对称轴为直线 x＝ ．
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣4）（x+3）＝x2﹣x﹣12＝（x﹣）2﹣12，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝，
故答案为：x＝．
12．在△ABC中，AB＝4，AC＝，∠B＝60°，则BC＝ 3或1 ．
【解答】解：如图1所示：作AD⊥BC，
∵AB＝4，AC＝，∠B＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AB＝2，
∴AD＝＝2，
∴DC＝＝＝1，
∴BC＝2+1＝3，
如图2所示：作AD⊥BC延长线于点D，
∵AB＝4，AC＝，∠B＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AB＝2，
∴AD＝＝2，
∴DC＝＝＝1，
∴BC＝2﹣1＝1．
故答案为：3或1．
13．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝4，则△CEF的周长为 8 ．
【解答】解：∵在▱ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵AB∥DF，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠F＝∠DAF，
∴△ADF是等腰三角形，AD＝DF＝9；
∵AD∥BC，
∴△EFC是等腰三角形，且FC＝CE．
∴EC＝FC＝9﹣6＝3，
∴AB＝BE．
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝，
可得：AG＝2，
又∵BG⊥AE，
∴AE＝2AG＝4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵▱ABCD，
∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
故答案为8．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，M，N分别是BC，CD上的动点，连接AM，BN交于点E，且∠BND＝∠AMC．
（1）＝ ．
（2）连接CE，则CE的最小值为 2 ．
【解答】解：（1）∵∠AMB＝180°﹣∠AMC，∠BNC＝180°﹣∠BND，
∠BND＝∠AMC，
∴∠AMB＝∠BNC，
∵∠ABM＝∠BCN，
∴△ABM∽△BCN，
，
故答案为：；
（2）取AB的中点O，连接OE，OC，
∴，
由（1）中△ABM∽△BCN，得∠BAM＝∠CBN，
∵∠CBN+∠ABN＝90°，
∴∠ABN+∠BAM＝90°即∠AEB＝90°，
在Rt△AEB中，，
在Rt△OBC中，，
在△OCE中，CE≥OC﹣OE＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
三．解答题（共9小题）
15．计算：sin45°•cs45°﹣tan60°÷cs30°．
【解答】解：sin45°•cs45°﹣tan60°÷cs30°
＝×﹣÷
＝﹣2
＝﹣．
16．某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的高度AB，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高1.5m的测角仪CD测得塔顶A的仰角为37°，然后沿CB方向前行7m到达点F处，在F处测得塔顶A的仰角为45°．请根据他们的测量数据求塔高AB的长度大约是多少．（参考数据：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈．）
【解答】解：由题意得：BG＝CD＝EF＝1.5m，DE＝CF＝7m，
在Rt△AGE中，∠AEG＝45°，
∴tan45°＝＝1，
∴AG＝GE，
设AG＝GE＝x m，
∵DE＝7m，
∴GD＝EG+DE＝（x+7）m，
在Rt△AGD中，∠ADG＝37°，
∴tan37°＝≈，
∴4AG≈3GD，
4x≈3（x+7），
解得：x＝21，
∴AB＝AG+GB＝21+1.5＝22.5（m），
答：塔高AB的长约为22.5m．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA＝2PC；
（3）若AB＝，求△PBC的面积．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
即∠PBA+∠PBC＝45°，
∵∠APB＝135°，
∴∠PAB+∠PBA＝45°，
∴∠PAB＝∠PBC，
∵∠APB＝∠BPC＝135°，
∴△PAB∽△PBC；
（2）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝BC，
∵△PAB∽△PBC，
∴＝＝＝，
∴PA＝PB，PB＝PC，
∴PA＝×PC＝2PC；
（3）∵AB＝，
∴CA＝AB＝，
∵∠APB＝∠BPC＝135°，
∴∠APC＝90°，
∴PC2+PA2＝AC2，
而PA＝2PC，
∴PC2+4PC2＝（）2，
解得PC＝1，
∴AP＝2，
∵△PAB∽△PBC，
∴＝（）2＝2，
即S△PAB＝2S△PBC，
∵S△PAC+S△PAB+S△PBC＝S△ABC，
∴×1×2+2S△PBC+S△PBC＝×（）2，
∴S△PBC＝．
18．某市人民广场上要建一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）．若已知OP＝3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外．
【解答】解：
（1）设这条抛物线解析式为y＝a（x+m）2+k
由题意知：顶点A为（1，4），P为（0，3）
∴4＝k，3＝a（0﹣1）2+4，a＝﹣1．
所以这条抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4．
（2）令y＝0，则0＝﹣（x﹣1）2+4，
解得x1＝3，x2＝﹣1
所以若不计其它因素，水池的半径至少3米，才能使喷出的水流不至于落在池外．
19．知识改变世界，科技改变生活，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．周末，小强一家到B，C两处景区游玩，他们从家A处出发，向正西行驶160km到达B处，测得C处在B处的北偏西15°方向上，出发时测得C处在A处的北偏西60°方向上．
（1）填空：∠C＝ 45 度；
（2）求B处到C处的距离即BC的长度（结果保留根号）．
【解答】解：（1）由题意得，∠CAB＝30°，∠CBA＝105°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣105°＝45°，
故答案为：45；
（2）过点B作BP⊥AC于点P，
在Rt△ABP中，∠PAB＝90°﹣60°＝30°，
∴PB＝AB＝×160＝80，
在Rt△BPC中，∠C＝45°．
∴CB＝＝80（km），
答：B处到C处的距离即BC的长度是80km．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，2）在双曲线上，点B在双曲线上，且满足OA⊥OB，连接AB．
（1）求双曲线的表达式；
（2）若，求k2的值．
【解答】解：（1）∵点A（1，2）在双曲线 上，
∴k1＝1×2＝2，
∴；
（2）分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，如图所示：
∴∠AOC+∠OAC＝90°，∠BDO＝∠OCA＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠BOD＝∠OAC，
∴△BOD∽△OAC，
∴，
∵A的坐标为（1，2），
∴OC＝1，AC＝2．
∵Rt△AOB 中，
∴，
∴，，
∴B的坐标为 ，
∴将 代入 ，得：k2＝＝﹣4．
21．如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）结合函数图象，当0≤x≤4时，直接写出y的取值范围： ﹣2≤y≤18 ；
（2）若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．
【解答】解：（1）在y＝x2+x﹣2中，
令x＝0，则y＝﹣2，所以C（0，﹣2）．
令y＝0，则x2+x﹣2＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1，
所以A（﹣2，0），B（1，0）．
当x＝4时，y＝42+4﹣2＝18．
由函数图象知，当0≤x≤4时，y的取值范围为：0≤y≤18，
故答案为：﹣2≤y≤18；
（2）由 x＝0，得 y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
过点M作MN⊥x轴于点N，
设点M（x，x2+x﹣2），则AO＝2，ON＝﹣x，OB＝1，OC＝2，MN＝﹣（x2+x﹣2）＝﹣x2﹣x+2，
S 四边形ABCM＝S△AOM+S△OCM+S△BOC＝×2×（﹣x2﹣x+2）+×2×（﹣x）+×1×2
＝﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x+1）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当x＝﹣1时，S四边形ABCM的最大值为4．
22．已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点（﹣3，0）和点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移抛物线y＝ax2+bx+3，平移后的图象记为图象G，其顶点（h，k）（0＜h＜1）在抛物线上，直线分别与抛物线和图象G交于点P和点Q，求线段PQ长的最大值．
【解答】解：（1）将点（﹣3，0）和点，代入抛物线y＝ax2+bx+3，得：
，
解得，
∴抛物线的解析式y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由（1）知：抛物线的解析式y＝﹣x2﹣2x+3，
∵平移前后二次项系数不变，还是﹣1，其顶点（h，k），
设平移后解析式：y＝﹣（x﹣h）2+k，
当x＝时，y＝﹣（﹣h）2+k＝﹣h2+k，
∴Q（，﹣h2+k），
当x＝时，＝﹣+，
∴P（，﹣+），
∵点（h，k）在上，
∴k＝h2﹣h+，
∴Q（，﹣h2+h2﹣h+），
∴Q（，﹣h+），
∴PQ＝|﹣+﹣+h﹣|＝|﹣h2+h|，
令t＝﹣h2+h＝﹣（h2﹣h）＝﹣（h﹣）2+，
∵0＜h＜1，
∴h＝取得最大值，h＝0时，t＝0；h＝1时，t＝，
∴﹣（h﹣）2+＞0，
∴PQ＝﹣h2+h＝﹣（h﹣）2+，
∵0＜h＜1，
∴当h＝时，PQ取得最大值为．
23．如图1，△ABC中，∠A＝45°，BD⊥AC于D，E点在AB边上，CE＝CB，CE交BD于F，过点E作EG⊥AC于点G．
（1）求证：GE＝CD；
（2）如图2，当DF＝FB＝2时，求CB的长；
（3）连接DE，若DE∥BC，求的值．
【解答】（1）证明：如图1，∵CE＝CB，
∴∠CEB＝∠CBE，
∵BD⊥AC于D，EG⊥AC于点G，
∴∠CGE＝∠BDC＝∠ADB＝90°，
∵∠A＝45°，
∴∠A＝∠ABD＝45°，
∴∠CEB﹣∠A＝∠CBE﹣∠ABD，
∵∠GCE＝∠CEB﹣∠A，∠DBC＝∠CBE﹣∠ABD，
∴∠GCE＝∠DBC，
在△CGE和△BDC中，
，
∴△CGE≌△BDC（AAS），
∴GE＝CD．
（2）解：如图2，由（1）得△CGE≌△BDC，
∵DF＝FB＝2，
∴CG＝BD＝2DF＝4，
∵DF∥GE，
∴△CDF∽△CGE，
∴＝，
∴GE•CD＝DF•CG＝2×4＝8，
∵GE＝CD，
∴CD2＝8，
解得CD＝2或CD＝﹣2（不符合题意，舍去），
∴CB＝＝＝2，
∴CB的长是2．
（3）解：如图2，∵DE∥BC，
∴＝，∠DEA＝∠CBE，
∵∠FEB＝∠CBE，
∴∠DEA＝∠FEB，
∵∠A＝∠EBF，
∴△ADE∽△BFE，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝BF，
∵∠DCF＝∠DBC，∠CDF＝∠BDC，
∴△CDF∽△BDC，
∴＝，
∴CD2＝BF2＝BD•FD＝BD（BD﹣BF），
∴BF2+BD•BF﹣BD2＝0，
∴BF＝BD或BF＝BD（不符合题意，舍去），
∵AD＝BD，
∴＝＝＝，