2025-2026学年江苏省无锡市江阴市某校高二上学期10月学情调研数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年江苏省无锡市江阴市某校高二上学期10月学情调研数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线经过A(1,0),B2, 3两点，则直线AB的倾斜角为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 135°
2.直线l的倾斜角是60∘，在y轴上的截距是-2，则直线l的方程是( )
A. y= 3x-2B. y= 3x+2C. y= 33x-2D. y= 33x+2
3.已知空间向量a=(1,-1,2)，b=(1,-2,1)，则向量b在向量a上的投影向量是( )
A. 5 66,-5 66,5 63B. (1,-1,1)
C. 56,-56,53D. 14,-12,14
4.已知A(-2,0),B(4,a)两点到直线l:3x-4y+1=0的距离相等，则a=( )
A. 2B. 92C. 2或-8D. 2或92
5.已知a=2,-1,2，b=-1,4,-3，c=4,5,λ，如a、b、c三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数λ为( )
A. 0B. 9C. 5D. 3
6.点P为两条直线2x-3y+1=0和x+y-2=0的交点，则点P到直线l：kx-y+k+2=0的距离最大为( )
A. 55B. 5C. 6 55D. 5
7.空间直角坐标系O-xyz中，经过点Px0,y0,z0，且法向量为m=(A,B,C)的平面方程为Ax-x0+By-y0+Cz-z0=0，经过点Px0,y0,z0且一个方向向量为n=(μ,v,ω)(μvω≠0)的直线l的方程为x-x0μ=y-y0v=z-z0ω，根据上面的材料解决下面的问题：现给出平面α的方程为x-y+ 2z-7=0，经过点(0,0,0)的直线l的方程为x-3=y5=z 2，则直线l与平面α所成角为( )
A. 60°B. 120°C. 30°D. 45°
8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是AC中点，点P在线段A1C1上，若直线OP与平面A1BC1所成的角为θ，则sinθ的取值范围是( )．
A. 23, 33B. 13,12C. 34, 33D. 14,13
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线 3x+y+1=0的倾斜角为120°
B. 经过点P(2,1)，且在x,y轴上截距互为相反数的直线方程为x-y-1=0
C. 直线l:mx+y+2-m=0恒过定点(1,-2)
D. 直线l1:ax+2ay+1=0,l2:(a-1)x-(a+1)y-4=0，l1⊥l2，则a=-3或0
10.在空间直角坐标系Oxyz中，A(2,0,0)，B(1,1,-2)，C(2,3,1)，则( )
A. AB⋅BC=-5
B. AC=2 3
C. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为 1530
D. 点O到直线BC的距离是3 4214
11.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点F在底面ABCD内运动(含边界)，点E是棱CC1的中点，则( )
A. 若F在棱AD上时，存在点F使cs∠D1B1F=56
B. 若F是棱AD的中点，则EF//平面AB1C
C. 若EF⊥平面B1D1E，则F是AC上靠近C的四等分点
D. 若F在棱AB上运动，则点F到直线B1E的距离最小值为25 5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，点B(-1,2,3)关于x轴对称的点B'的坐标为 ．
13.过直线4x+2y+5=0与3x-2y+9=0的交点，且垂直于直线x+2y+1=0的直线方程是 ．
14.如图，在三棱锥P-ABC中，G为▵ABC的重心，PF=12PC，PD=λPA，PE=μPB，λ，μ∈(0,1)，若PG交平面DEF于点M，且PM=13PG，则λ+μ的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知两直线l1:(3-m)x+2my+1=0,l2:2mx+2y+m=0.当m为何值时，l1和l2．
(1)平行；
(2)垂直．
16.(本小题15分)
如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别在棱AA1,CC1上，且A1M=13AA1,CN=13CC1，且∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60∘．
(1)求证：D,M,B1,N共面；
(2)当AA1AB为何值时，AC1⊥A1B．
17.(本小题15分)
已知直线l:(a-1)y=(2a-3)x+1．
(1)求直线l所过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求实数a的取值范围；
(3)若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，AB⊥AD，PA=PD，AB=1，AD=2，AC=CD= 5．
(1)求证：PD⊥平面PAB．
(2)求直线PB与平面PCD所成角的余弦值．
(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD？若存在，求出AMAP的值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
如图1所示▵PAB中，AP⊥AB,AB=AP=12．D,C分别为PA,PB中点．将▵PDC沿DC向平面ABCD上方翻折至图2所示的位置，使得PA=6 2.连接PA,PB,PC得到四棱锥P-ABCD，记PB的中点为N，连接CN，动点Q在线段CN上．

(1)证明：CN⊥平面PAB；
(2)若QC=2QN，连接AQ,PQ，求平面PAQ与平面ABCD的夹角的余弦值；
(3)求动点Q到线段AP的距离的取值范围．
参考答案
1.C
2.A
3.C
4.D
5.A
6.B
7.C
8.A
9.AC
10.AC
11.BCD
12.(-1,-2,-3)
13.2x-y+112=0
14.47
15.解：(1)因为l1//l2，所以2m×2m-(3-m)×2=0，解得m=-32或m=1，
当m=1时，直线l1:2x+2y+1=0,l2:2x+2y+1=0两条直线重合，
故m=-32时，l1//l2；
(2)因为l1⊥l2，所以2m×2+(3-m)×2m=0，解得m=0或m=5．

16.解：(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，连接MD、DN、NB1、B1M，
因为A1M=13AA1,CN=13CC1，
所以MB1=MA1+A1B1=13AA1+A1B1=13AA1+AB，
DN=DC+CN=A1B1+13CC1=13AA1+AB，
所以DN=MB1，即DN=MB1且DN//MB1，所以四边形DMB1N为平行四边形，即D,M,B1,N共面；
(2)当AA1AB=1时，AC1⊥A1B，理由如下，
设AA1=c,AD=b,AB=a，且c与b、c与a、b与a的夹角均为60∘，
因为底面ABCD为菱形，所以b=a，
∵AC1=AA1+A1C1=A1B1+A1D1+AA1=a+c+b，
∵A1B=A1A+AB=a-c，
若AC1⊥A1B，则AC1⊥A1B，即
AC1⋅A1B=a+c+ba-c=a2-c2+a⋅b-c⋅b=0，
即a2-c2+a⋅bcs60∘-c⋅bcs60∘=a2-c2+12a2-12c⋅a=0，
解得a=c或3a+2c=0舍去，
即AA1AB=1时，AC1⊥A1B．

17.解：(1)由l:(a-1)y=(2a-3)x+1，即a(2x-y)-3x+y+1=0，
则2x-y=0-3x+y+1=0，解得x=1y=2，所以直线过定点(1,2)．
(2)因为直线l不过第四象限，结合图形可知，直线l的斜率存在，所以a≠1，
此时，直线l的方程可化为y=2a-3a-1x+1a-1，记点A(1,2)，则kOA=2，

由图可得0≤2a-3a-1≤2，解得a≥32，因此，实数a的取值范围是32,+∞．
(3)已知直线l:(a-1)y=(2a-3)x+1，且由题意知a≠1，

令x=0，得y=1a-1>0，得a>1，
令y=0，得x=13-2a>0，得a