2025-2026学年江苏省南京市第五高级中学高二上学期10月学情调研数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年江苏省南京市第五高级中学高二上学期10月学情调研数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线x+ 3y+1=0的倾斜角是( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
2.设a为实数，已知直线l1:ax+3y-2=0，l2:6x+(a-3)y+4=0，若l1//l2，则a=( )
A. 6B. -3C. 6或-3D. -6或3
3.设sin(π4+θ)=13，则sin2θ=( )
A. -79B. -19C. 19D. 79
4.过圆x2+y2=5上一点M(1,-2)作圆的切线l，则l的方程是( )
A. x+2y-3=0B. x-2y-5=0C. 2x-y-5=0D. 2x+y-5=0
5.已知圆x2+y2=1与圆x2+y2-6x-8y+m+6=0相外切，则m的值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
6.直线l经过点A(1,2)，斜率为k，在x轴上的截距的取值范围是(-3,3)，则其斜率k的取值范围是( )
A. -10)，圆M为▵ABC的外接圆．
(1)求圆M的方程；
(2)直线l过点P(5,1)与圆M相交于EF两点，EF=4 6，求直线l的方程；
(3)若圆M上存在点P，满足PQ=2PO，求实数m的取值范围．
19.(本小题17分)
已知圆C：(x-a)2+y2=1与直线y=-x-1交于M、N两点，点P为线段MN的中点，O为坐标原点，直线OP的斜率为-13．
(1)求a的值及▵MON的面积；
(2)若圆C与x轴交于A、B两点，点Q是圆C上异于A、B的任意一点，直线QA、QB分别交l：x=-4于R、S两点.当点Q变化时，以RS为直径的圆是否过圆C内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由．
参考答案
1.D
2.A
3.A
4.B
5.A
6.D
7.D
8.A
9.ABD
10.BCD
11.ABD
12. 13．
13.25/0.4
14.- 7, 7
15.【详解】(1)在▵ABC中，由csinB=bsin(C+π3)及正弦定理，得sinCsinB=sinBsin(C+π3)，
而sinB>0，则sin(C+π3)=sinC，即12sinC+ 32csC=sinC，
化简得tanC= 3，又C∈(0,π)，所以C=π3．
(2)由(1)及三角形面积公式，得12absinC=3 32a=6 3，解得a=4，
由余弦定理得c= a2+b2-2abcsC= 42+62-2×4×6×12=2 7，
所以▵ABC的周长为a+b+c=10+2 7．

16.【详解】(1)当直线l的截距为0时，该直线方程为y=2x；
当直线l的截距不为0时，设该直线方程为：xa-ya=1，
则1a-2a=1，解得a=-1，因此直线方程为：x-y+1=0．
所以直线l的方程为2x-y=0或x-y+1=0．
(2)依题意，设直线方程为：xa+yb=1(a>0,b>0)，则1a+2b=1，
1=1a+2b≥2 1a⋅2b，解得ab≥8，当且仅当1a=2b=12，即a=2,b=4时取等号，
因此三角形面积S=12ab≥4，即当a=2,b=4时，三角形面积取得最小值4，直线方程为x2+y4=1，
所以所求直线方程为y=-2x+4．

17.【详解】(1)证明：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，
因为AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD．
又AD⊥DC1，CC1∩DC1=C1，CC1，DC1⊂平面BCC1B1，
所以AD⊥平面BCC1B1．
又因为AD⊂面ADC1，
所以面ADC1⊥面BCC1B1．
(2)在平面BCC1B1中，作CE⊥DC1于点E．
由(1)可知AD⊥平面BCC1B1，
因为CE⊂平面BCC1B1，所以AD⊥CE，
又CE⊥DC1，AD∩DC1=D，AD,DC1⊂平面ADC1，
所以CE⊥平面ADC1．
因此∠CC1E为CC1与平面ADC1所成的角．
因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，▵ABC为正三角形，
由AD⊥平面BCC1B1，DC⊂平面BCC1B1，得AD⊥DC，
所以D为BC的中点，DC=1．
在Rt▵C1CD中，sin∠DC1C=DCDC1=DC DC2+C1C2=1 12+22= 55，即sin∠CC1E= 55，
所以CC1与平面ADC1所成角的正弦值为 55．

18.【详解】(1)设圆M的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2-4F>0，
将A、B、C三点坐标分别代入方程可得81+9E+F=045-3 5D+F=045+3 5D+F=0,
解得D=0E=-4F=-45，所以圆M的一般方程为x2+y2-4y-45=0，整理为标准方程为x2+(y-2)2=49．
(2)已知圆M的方程为x2+(y-2)2=49，则圆心M(0,2)，半径r=7，
设圆心M到直线l的距离为d，所以|EF|=2 r2-d2，解得d=5，
分两种情况讨论直线l的斜率，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=5，此时圆心M(0,2)到直线l的距离为5，满足d=5，所以x=5是直线l的一个方程；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-1=k(x-5)，即kx-y-5k+1=0，
根据点到直线的距离公式，圆心M到直线l的距离d=|-2-5k+1| k2+1=|5k+1| k2+1=5，
解得k=125，所以直线l的方程为y-1=125(x-5)，整理得12x-5y-55=0；
综上，直线l的方程为x=5或12x-5y-55=0．
(3)设P的坐标x1,y1，因为PQ=2PO，
所以 x12+y1-m2=2 x12+y12，
整理得x12+y12+2m3y1-m23=0，x12+y1+m32=4m29，
所以点P在以0,-m3为圆心，2m3为半径的圆上，
又因为点P在圆M，所以两个圆有公共点，
故有7-2m3≤2+m3≤7+2m3，
解得5≤m≤27．


19.【详解】(1)由题意可知直线OP的方程为y=-13x，
则联立y=-x-1与y=-13x可求出P点坐标为-32,12，
又因点P为线段MN的中点，所以可得MN⊥PC，
即KMN·ΚPC=-1=-1×12-0-32-a，所以可得a=-2，
由a=-2可知圆心C(-2,0)，所以C(-2,0)到直线y=-x-1的距离d=1 2= 22，
又因圆C半径为1，根据勾股定理可求得|MP|= 1- 222= 22，
所以线段|MN|=2 1- 222= 2，
又因原点O到直线y=-x-1距离为d1=1 2= 22，所以线段MN上的高为 22，
所以S▵MON=12×d1×|MN|=12× 22× 2=12．
(2)由圆C与x轴交于A,B两点，得A(-3,0),B(-1,0)，
不妨设直线QA的方程为y=k(x+3)，其中k≠0，
在直线QA的方程中，令x=-4，可得R(-4,-k)，
因为QA⊥QB，则直线QB的方程为y=-1k(x+1)，
在直线QB的方程中，令x=-4，可得y=3k，即点S-4,3k，
则线段RS的中点为F-4,3-k22k，圆的半径平方为3+k22k2，
所以以线段RS为直径的圆的方程为(x+4)2+y-3-k22k2=3+k22k2，
即(x+4)2+y2-3-k2ky-3=0，由(x+4)2-3=0y=0-3