江苏省南京市2022-2023学年高二上学期10月学情调研数学试题（含解析）

这是一份江苏省南京市2022-2023学年高二上学期10月学情调研数学试题（含解析），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的标准方程为( )
A. SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1B. x2－ SKIPIF 1 < 0 ＝1
C. SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1D. x2－ SKIPIF 1 < 0 ＝1
【答案】A
【解析】
【分析】利用待定系数法即可求解.
【详解】因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，所以a＝2，
由离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，c＝2 SKIPIF 1 < 0 ，
所以b＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝4，
则双曲线的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1.
故选：A
2. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则该圆的面积为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】配方得出圆心坐标，代入直线方程求得参数 SKIPIF 1 < 0 值，然后可得圆半径、面积．
【详解】圆的方程可化为 SKIPIF 1 < 0 ，其圆心为 SKIPIF 1 < 0 .依题意得， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
3. 若平面内两条平行线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行关系得出 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，再由距离公式得出 SKIPIF 1 < 0 满足条件.
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0
故选：C
4. 已知从点 SKIPIF 1 < 0 发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆： SKIPIF 1 < 0 的圆周，则反射光线所在的直线方程为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据反射性质，结合圆的性质、直线斜率公式进行求解即可.
【详解】设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 是x轴上一点，因为反射光线恰好平分圆 SKIPIF 1 < 0 的圆周，
所以反射光线经过点 SKIPIF 1 < 0 ，
由反射的性质可知： SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，所以反射光线所在的直线方程为：
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
5. 设点P为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为C的左、右焦点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】结合余弦定理、椭圆的定义求得 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，
根据椭圆的定义以及余弦定理得
SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
6. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，化为 SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据韦达定理解出 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得结果.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，化为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，符合 SKIPIF 1 < 0 ，
则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件，
故选：A.
7. 设 SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 和双曲线 SKIPIF 1 < 0 的公共焦点，P是它们的一个公共点，且 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线经过点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的离心率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为( )．
A. 3B. 2C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意设出椭圆的长轴长以及双曲线的实轴长，再根据椭圆和双曲线的定义得到 SKIPIF 1 < 0 的关系，由此可求解出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】设椭圆的长轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线的实轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，焦距长为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在双曲线的左支上，如下图所示(不妨设 SKIPIF 1 < 0 在第二象限)，
因为线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线经过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
8. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，点M、N分别是圆 SKIPIF 1 < 0 、圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点，点P为x轴上的动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. 9C. 7D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，可得出 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的最大值，即可得解.
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B．
二、多选题(本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求)
9. 已知 SKIPIF 1 < 0 为4， SKIPIF 1 < 0 为8或 SKIPIF 1 < 0 ，则下列对曲线 SKIPIF 1 < 0 描述正确的是( )
A. 曲线 SKIPIF 1 < 0 可表示为焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴的椭圆B. 曲线 SKIPIF 1 < 0 可表示焦距是4的双曲线
C. 曲线 SKIPIF 1 < 0 可表示为离心率是 SKIPIF 1 < 0 的椭圆D. 曲线 SKIPIF 1 < 0 可表示渐近线方程是 SKIPIF 1 < 0 的双曲线
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用椭圆、双曲线的定义及标准方程即可判断.
【详解】由题意得，当 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 表示焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴的椭圆，
所以A选项正确;
当 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 表示焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴的双曲线，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则焦距 SKIPIF 1 < 0 ，
所以B选项错误;
当 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 表示焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴的椭圆，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以C选项正确;
当 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 表示焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴的双曲线，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以D选项正确;
故选:ACD.
10. 下列结论错误的是( )
A. 直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0
B. 直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为150°
C. 圆 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有3个点到直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的距离都等于1
D. 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，且在 SKIPIF 1 < 0 轴､ SKIPIF 1 < 0 轴上的截距相等的直线有两条
【答案】ABD
【解析】
【分析】A.将 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 即可求出结果判断；B. 将直线的方程转化为斜截式得到斜率即可求出倾斜角；C. 求出圆心到直线的距离，进而分别判断优弧及劣弧上存在点的个数即可得出结论；D.分截距不为0，和截距为0两种情况，结合圆心到直线的距离等于半径即可求出结果.
【详解】A. 因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
B. 因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为120°，故B错误；
C. 圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为2，则圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，所以劣弧上到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于1的点有1个，而优弧上到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于1的点有2个，所以圆 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有3个点到直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的距离都等于1，故C正确；
D.因为圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
当截距不为0，故设切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 (舍)或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；当截距为0时，故设切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，且在 SKIPIF 1 < 0 轴､ SKIPIF 1 < 0 轴上的截距相等的直线有三条，故D错误；
故选：ABD.
11. 已知平面上一点 SKIPIF 1 < 0 ，若直线上存在点 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
【分析】所给直线上的点到定点 SKIPIF 1 < 0 距离能否取 SKIPIF 1 < 0 ，可通过求各直线上的点到点 SKIPIF 1 < 0 的最小距离，即点 SKIPIF 1 < 0 到直线的距离来分析，分别求出定点 SKIPIF 1 < 0 到各选项的直线的距离，判断是否小于或等于4，即可得出答案.
【详解】所给直线上的点到定点 SKIPIF 1 < 0 距离能否取 SKIPIF 1 < 0 ，可通过求各直线上的点到点 SKIPIF 1 < 0 的最小距离，即点 SKIPIF 1 < 0 到直线的距离来分析．
A．因为 SKIPIF 1 < 0 ，故直线上不存在点到 SKIPIF 1 < 0 距离等于 SKIPIF 1 < 0 ，不是“切割型直线”；B．因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点 SKIPIF 1 < 0 距离等于 SKIPIF 1 < 0 ，是“切割型直线”；
C．因为 SKIPIF 1 < 0 ，直线上存在一点，使之到点 SKIPIF 1 < 0 距离等于 SKIPIF 1 < 0 ，是“切割型直线”；D．因为 SKIPIF 1 < 0 ，故直线上不存在点到 SKIPIF 1 < 0 距离等于 SKIPIF 1 < 0 ，不是“切割型直线”．
故选：BC.
12. 设有一组圆 SKIPIF 1 < 0 ，下列命题正确是( )
A. 不论 SKIPIF 1 < 0 如何变化，圆心 SKIPIF 1 < 0 始终在一条直线上
B. 存在圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0
C. 存在定直线始终与圆 SKIPIF 1 < 0 相切
D. 若圆 SKIPIF 1 < 0 上总存在两点到原点的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，考查圆心 SKIPIF 1 < 0 的横纵坐标关系即可判断；
对于B，把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入圆 SKIPIF 1 < 0 方程，由关于 SKIPIF 1 < 0 的方程根的情况作出判断；
对于C，判断圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 距离与半径的关系即可；
对于D，圆 SKIPIF 1 < 0 与以原点为圆心的单位圆相交即可判断作答．
【详解】对于A，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，其圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，A正确；
对于B，圆 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入圆的方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，方程无解，所以不存在圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
对于C，存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，这两条直线始终与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，C正确，
对于D，若圆 SKIPIF 1 < 0 上总存在两点到原点的距离为1，问题转化为圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有两个交点，圆心距为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，解可得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，D正确．
故选：ACD．
三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)
13. 过A(1，4)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有________条．
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意可得有三种情况.
【详解】解析：一条是截距为0，一条是截距相等(不为0)，一条是截距互为相反数(不为0)，共3条．
故答案为：3.
14. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率e的最大值为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】结合已知条件与双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用余弦定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的范围，即可求出结果.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以离心率e的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15. 设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆上一点且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为_______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由已知可得各点坐标，利用两点间斜率公式，结合离心率可得解.
【详解】由已知可设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上一点且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16. 若实数x，y满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由题得 SKIPIF 1 < 0 ，它表示以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以1为半径的圆， SKIPIF 1 < 0 表示圆上的动点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 所在直线的斜率，数形结合求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】由题得 SKIPIF 1 < 0 ，它表示以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以1为半径的圆，
SKIPIF 1 < 0 表示圆上的动点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 所在直线的斜率，
当直线 SKIPIF 1 < 0 和圆相切时，斜率最小，
设此时斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题(本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 .
(1)若直线 SKIPIF 1 < 0 在两坐标轴上的截距相等，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
(1)分直线 SKIPIF 1 < 0 过原点和直线 SKIPIF 1 < 0 不过原点两种情况讨论，分别求解即可.
(2) 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,再验证从而得出答案.
【详解】(1)①若直线 SKIPIF 1 < 0 过原点，则 SKIPIF 1 < 0 在坐标轴的截距都为 SKIPIF 1 < 0 ，显然满足题意，
此时则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
②若直线 SKIPIF 1 < 0 不过原点，则斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
因此所求直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(2)①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，两直线重合，不满足 SKIPIF 1 < 0 ，故舍去；
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，满足题意；
因此所求直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0
【点睛】易错点睛：本题考查直线的截距概念和根据两直线的位置关系求参数，在解决这类问题时，直线 SKIPIF 1 < 0 在两坐标轴上的截距相等(或互为相反数)时，要注意直线过原点时也满足条件，这是在解题中容易漏掉的情况，在由直线平行求参数时，求出参数时要代回检验，对重合的情况要舍去，这个也是容易出错的地方，要注意，属于中档题.
18. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线所成的锐角为 SKIPIF 1 < 0 且点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一点．
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 能否为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点？并说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)点 SKIPIF 1 < 0 不能为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，理由见解析.
【解析】
【分析】(1)由渐近线夹角求得一个斜率 SKIPIF 1 < 0 ，再代入点的坐标，然后可解得 SKIPIF 1 < 0 得双曲线方程；
(2)设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 (斜率不存在时另说明)，与双曲线方程联立，消元后应用韦达定理，结合中点坐标公式求得 SKIPIF 1 < 0 ，然后难验证直线与双曲线是否相交即可得．
【详解】解：(1)由题意知，双曲线的渐近线的倾斜角为30°或60°，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，无解．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2) SKIPIF 1 < 0 不能是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点
设交点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，直线与双曲线只有一个交点，不符合题意.
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程组
SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入判别式 SKIPIF 1 < 0 ，
所以满足题意的直线也不存在．
所以点 SKIPIF 1 < 0 不能为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点．
19. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且与直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)求过点 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切的直线方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】(1)先得到过点 SKIPIF 1 < 0 且与直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 垂直的直线方程，与 SKIPIF 1 < 0 联立求得圆心即可；
(2)若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线斜率不存在，即直线是 SKIPIF 1 < 0 判断，若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线斜率存在，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，再根据直线与圆相切求解.
【详解】(1)过点 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 .
(2)①若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线斜率不存在，即直线是 SKIPIF 1 < 0 ，与圆相切，符合题意；
②若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线斜率存在，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
若直线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
此时直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
综上，切线的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
20. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：无论 SKIPIF 1 < 0 为何实数，直线 SKIPIF 1 < 0 恒过一定点 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴、 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴围成三角形面积最小，求直线 SKIPIF 1 < 0 方程．
【答案】(1)证明见解析；(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】(1)解方程组 SKIPIF 1 < 0 ，可得定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，分析可得 SKIPIF 1 < 0 ，求出该直线与两坐标轴的交点坐标，可得出三角形面积关于 SKIPIF 1 < 0 的关系式，结合基本不等式可求得 SKIPIF 1 < 0 的最小值，利用等号成立可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【详解】(1)证明：将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程化为 SKIPIF 1 < 0 ，
解方程组 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)由题意可知，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且不为零，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，三角形面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
21. 已知圆C：(x﹣3)2+y2＝1与直线m：3x﹣y+6＝0，动直线l过定点A(0，1)．
(1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点，点M是PQ的中点，直线l与直线m相交于点N．探索 SKIPIF 1 < 0 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)y＝1或 SKIPIF 1 < 0 ；(2)是，-5.
【解析】
【分析】(1)由题意可得直线的斜率存在，所以设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用点到直线的距离公式可得 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 的值，从而可求出切线方程，
(2)设l的方程为y＝kx+1，M(x0，y0)，将直线方程与圆方程联立方程组消去y，解方程可求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再将两直线方程联立可求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，从而可表示出 SKIPIF 1 < 0 ，化简可得结论
【详解】解：(1)1°当直线l的斜率不存在时，
l的方程为x＝0，与圆C不相切；
2°当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线l的方程为y＝1或 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)由题意可知直线l的斜率存在，
设l的方程为y＝kx+1，M(x0，y0)，
由 SKIPIF 1 < 0 消去y得，(1+k2)x2﹣(6﹣2k)x+9＝0，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 为定值．
22. 平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，过椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )右焦点的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 .
(Ⅰ)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(Ⅱ) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的两点，若四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线 SKIPIF 1 < 0 ，求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
【答案】(Ι) SKIPIF 1 < 0 (Ⅱ) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)把右焦点 SKIPIF 1 < 0 代入直线方程可求出c，设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，线段AB的中点 SKIPIF 1 < 0 ，利用“点差法”即可得出a,b的关系式，再与 SKIPIF 1 < 0 联立即可求出a,b，进而可得椭圆方程；
(2)由 SKIPIF 1 < 0 ，可设直线CD方程为 SKIPIF 1 < 0 ,与椭圆方程联立可得根与系数关系，即可得到弦长 SKIPIF 1 < 0 ，把直线 SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 即可得到关于m的表达式，利用二次函数的单调性即可求出其最大值.
【详解】(Ι)设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，(1)－(2)得：
SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，因为P为AB的中点，且OP的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以可以解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以M的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(Ⅱ)因为 SKIPIF 1 < 0 ，直线AB方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以设直线CD方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，所以可得 SKIPIF 1 < 0 ；将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时，|CD|取得最大值4，所以四边形ACBD面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本小题考查椭圆的方程的求解、直线与椭圆的位置关系，考查数学中的待定系数法、设而不求思想 ，考查同学们的计算能力以及分析问题、解决问题的能力.圆锥曲线是高考的热点问题,年年必考,熟练本部分的基础知识是解答好本类问题的关键.