2025-2026学年山东省菏泽第一中学（八一路校区）高二上学期期中模拟数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年山东省菏泽第一中学（八一路校区）高二上学期期中模拟数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若直线l1:mx+y+5=0的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数m=( )
A. 43B. -34C. -43D. 34
2.若直线l1:ax+3y+1=0与直线l2:2x+(a+1)y+1=0互相平行，则a的值是( )
A. -3B. 2C. -3或2D. 3或-2
3.若两定点A(-1,0)，B(1,0)，动点P满足 2|PA|=|PB|，则动点P的轨迹围成区域的面积为( )
A. 2πB. 4πC. 4 2πD. 8π
4.一动圆与圆x2+y2+4x=0外切，同时与圆x2+y2-4x-60=0内切，则动圆圆心的轨迹方程为( )
A. x29+y25=1B. y29+x25=1C. x225+y221=1D. y225+x221=1
5.已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0)，虚轴的一个端点为A，若原点O到直线AF的距离为12c，则双曲线E的渐近线方程为( )
A. y=± 22xB. y=± 2xC. y=±12xD. y=±2x
6.如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C，|BC|=2|BF|，且|AF|=3，，则抛物线的方程为( )
A. y2=32xB. y2=3xC. y2=92xD. y2=9x
7.研究发现椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．设椭圆C的焦点为F1，F2，P为椭圆C上的任意一点，R为椭圆C的蒙日圆的半径．若PF1⋅PF2的最小值为15R2，则椭圆C的离心率为( )
A. 12B. 22C. 13D. 33
8.已知O为坐标原点，离心率为3的双曲线c:x2a2-y2b2=1(α>0.b>0)左、右焦点分别为F1,F2，过点F2且倾斜角为锐角的直线l与C的右支交于M，N两点．设△MF1F2与△NF1F2的内切圆圆心分别是P，Q，直线OP，OQ的斜率分别是k1,k2，则k1k2=( )
A. -4B. 2 2-3C. 4D. 2-3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆C:(x-4)2+(y-5)2=12，直线l:mx-y-2m+3=0，直线l与圆C交于M，N两点，则( )
A. 直线l过定点
B. |MN|的最小值为2
C. CM⋅CN的取值范围为[-12,4]
D. 当圆C上恰有三个点到直线l的距离等于 3时，m=4± 15
10.已知椭圆C:x29+y25=1的左右两个焦点分别为F1、F2，左右两个顶点分别为A1、A2，P点是椭圆上任意一点(与A1,A2不重合)，M(1,1)，则下列命题中，正确的命题是( )
A. kPA1⋅kPA2=-59
B. △PF1F2的最大面积为2 5
C. 存在点P，使得PF1⋅PF2=0
D. △PMF1的周长最大值是6+ 10+ 2
11.双曲线C：x2a2-y2y=1(a>b>0)的焦点在圆O：x2+y2=13上，圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于点M、N，点E(0,a)满足E+EM+EN=0(其中O为坐标原点)，则( )
A. 双曲线C的一条渐近线方程为3x-2y=0
B. 双曲线C的离心率为 132
C. |OE|=1
D. ▵OMN的面积为6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点A(-1,0)在圆x2+y2+2x+3y+m=0外，则实数m的取值范围是 ．
13.设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120∘，则圆的方程为 ．
14.历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年-325年)，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线l'表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0)(c>0)，由F1发出的光经椭圆两次反射后回到F1经过的路程为8c.利用椭圆的光学性质解决以下问题：
(1)椭圆C的离心率为 ．
(2)点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为l,F2在l上的射影H在圆x2+y2=8上，则椭圆C的方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线l:2x-5y+3=0,l1:y=-1，直线l与l1交于点A
(1)求过点A且与l垂直的直线l'的方程；
(2)点B是直线l1上异于A的一点，若l为∠BAC的角平分线，求AC所在直线l2的方程．
16.(本小题15分)
如图，过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F的直线与C相交于A，B两点，当直线AB与y轴垂直时，|AB|=4.
(1)求C的方程;
(2)以AB为直径的圆能否经过坐标原点O?若能，求出直线AB的方程;若不能，请说明理由．
17.(本小题15分)
在平面直角坐标系中，已知A(0,5),B(1,-2),C(0,-3),D(-3,-4)．
(1)证明：A,B,C,D四点共圆；
(2)过点P(2,-1)作(1)中圆的切线，求切线方程；
(3)坐标原点O，点E(3,0)，请问(1)中圆上是否存在点P满足|PE|=2|PO|？若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x24+y2=1的右顶点为A，上､下顶点分别是B1，B2．
(1)求▵AB1B2外接圆的标准方程．
(2)若点P是椭圆C第一象限上的点，直线B1P与x轴的交点为Q，直线B2A与直线B1P的交点为R.若▵APR与▵APQ的面积的比值为49，求直线B1P的方程．
19.(本小题17分)
19.如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(3,1)，焦距为4 2;斜率为-13的直线l与椭圆C相交于异于点P的M，N两点，且直线PM，PN均不与x轴垂直．

(1)求椭圆C的方程;
(2)若|MN|= 10，求MN的方程;
(3)记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，证明：k1k2为定值．
参考答案
1.C
2.A
3.D
4.C
5.A
6.B
7.D
8.A
9.ACD
10.ABD
11.ABD
12.1,134
13.(x+1)2+(y- 3)2=1
14.12/0.5 ； x28+y26=1
15.解：(1)令y=-1，则2x-5×(-1)+3=0，解得x=-4，则A(-4,-1)，因为直线的斜率k1=25，则kl=-52，则直线l的方程为y+1=-52(x+4)，即5x+2y+22=0.(2)取点B(0,-1)，设其关于直线2x-5y+3=0的对称点B1(a,b)，则b+1a×25=-12×a2-5×b-12+3=0，解得a=-3229b=5129则点C所在的直线l2的方程y+1=-1-5129-4+x4(x+4)，即20x-21y+59=0．．

16.解：(1)F点的坐标是(0,p2)，当直线AB与y轴垂直时，点A，B的坐标分别是(p,p2)，(-p,p2)，|AB|=2p=4，解得p=2，所以C的方程是x2=4y.(2)以AB为直径的圆不可能经过坐标原点O，理由如下：如图，
直线AB的斜率显然存在，设其方程为y=kx+1，代入x2=4y，消去y并整理得x2-4kx-4=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1x2=-4.因为OA⋅OB=x1x2+y1y2=x1x2+x12x2216=-4+1=-3，所以OA与OB不垂直.因此，以AB为直径的圆不可能经过坐标原点．

17.解：【详解】(1)设经过A，B，C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则25+5E+F=0D-2E+F+5=0，解方程组可得D=6，E=-2，F=-15，所以圆的方程为x2+y2+6x-2y-15=0(或(x+3)2+(y-1)2=25);又点D(-3,-4)在圆x2+y2+6x-2y-15=0上，所以证得四点在圆x2+y2+6x-2y-15=0上;(2)当斜率不存在时，方程为x=2，与圆相切，成立;当斜率存在时，设直线方程为y+1=k(x-2)，即kx-y-2k-1=0，所以可得|-3k-1-2k-1| k2+1=5，可得k=2120，所以直线为21x-20y-62=0，所以所求切线方程为x=2或21x-20y-62=0;(3)设P的坐标为(x,y)，依题意可得 (x-3)2+y2=2 x2+y2，平方化简可得P的轨迹方程为(x+1)2+y2=4，两圆圆心的距离d= 52，则直线B1Q的方程为xt+y1=1， ①与x24+y2=1联立，消去x，整理得(t2+4)y2-2t2y+t2-4=0，∴y1=y1⋅yB1=t2-4t2+4.易知直线B2A的方程为y=12x-1， ② ① ②联立可得y2=t-2t+2.由题易知s△APRS△APQ=|PR||PQ|=49，∴1QB||PQ|=59，从而y2y1=59，∴t-2t2-4=t2+4t+2)2=59，解得t=4或t=1(舍去).此时直线B1P的方程为x4+y1=1，即x+4y-4=0．
19.解：(1)由椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(3,1)，焦距为4 2，
得a2=b2+c29a2+1b2=12c=4 2，解得a=2 3b=2c=2 2,
故椭圆C的方程为x212+y24=1．
(2)设直线l的方程为y=-13x+m，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立y=-13x+mx212+y24=1，消去y得4x2-6mx+9m2-36=0，由△=(6m)2-144(m2-4)>0，得-4 33