精品解析：四川省南充市嘉陵第一中学2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

这是一份精品解析：四川省南充市嘉陵第一中学2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟，满分150分
一、单选题（每题5分，共40分.）
1. 不等式的解集为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】利用因式分解法求解一元二次不等式.
【详解】不等式化为，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：B
2. 已知，则定义域为（ ）
A. RB.
C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的具体形式，列不等式，即可求解.
详解】由条件可知，得，且.
所以函数的定义域为，且.
故选：C
3. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 若，则.B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】举例说明判断ABC；由不等式的性质判断D.
【详解】对于A，取，则，，此时，A错误；
对于B，取，则，，此时，B错误；
对于C，取，则，C错误；
对于D，由不等式的性质可知D正确.
故选：D
4. 中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“functin”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，设集合，，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用函数定义及表示法逐项判断得解.
【详解】对于A，由图象法表示函数，且该图象符合函数的定义，A正确；
对于B，集合中大于2且小于等于4的数，在集合中没有元素与之对应，不符合函数定义，B错误；
对于C，集合中存在元素，在中与之对应的元素不唯一，如时，对应值有2个，C错误；
对于D，集合中存在元素，在中与之对应的元素不唯一，且的范围不对，D错误.
故选：A
5. 下列结论正确的是（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，的最小值是D. 当时，的最小值为1
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式及其口诀“一正二定三相等”分析可得.
【详解】当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，故A错误；
当时，，当且仅当，即时等号成立，故B正确；
当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，等号不成立，故C错误；
当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，等号不成立，故D错误．
故选：B.
6. 已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解.
【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得.
当时，则或，解得.
综上，，即m的取值范围是 .
故选：C
7. “不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.
【详解】因为“不等式在上恒成立”，所以当时，原不等式为在上不是恒成立，所以，
所以“不等式在上恒成立”，等价于，解得.
A选项是充要条件，不成立；
B选项中，不可推导出，B不成立；
C选项中，可推导，且不可推导，故是的必要不充分条件，正确；
D选项中，可推导，且不可推导，故是的充分不必要条件，D不正确.
故选：C.
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
8. 已知定义在上的偶函数，对有，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出的值，确定函数的定义域，再由已知条件判断函数在定义域内的单调性，最后利用函数的奇偶性和单调性来求解不等式.
【详解】是定义在上的偶函数，
∴根据偶函数的定义域关于原点对称，可得，解得，
的定义域为.
又对有，
在上单调递增，为偶函数，在上单调递减.
由，不等式可化为，
根据偶函数的性质，不等式可化为，
由以上推出条件可得，解得.
故选：A.
二、多选题（每题6分，共18分，在每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 集合的真子集是
B.
C. 设，若，则
D. 
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据空集是任何非空集合的真子集可知A不正确；根据菱形一定是平行四边形，可知B正确；根据集合相等的概念求出，可知C正确；根据空集是任何非空集合的真子集，可知D正确.
【详解】对于A，集合的真子集包括，A错误；
对于B，因为菱形一定是平行四边形，所以，B正确；
对于C，因为，，，所以，，，C正确；
对于D，因为方程的解为，所以，因为空集是任何非空集合的真子集，所以，D正确．
故选：BCD.
10. 下列命题中，不正确的有（ ）
A. 函数与函数表示同一函数
B. 已知函数，若，则
C. 若函数，则
D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于，两函数的定义域不同，故不是同一函数即可判断；对于，根据，可以求出的值；对于，令，求出代入即可判断；对于，函数的定义域为，则即可判断.
【详解】对于，函数的定义域是，函数定义域是，故不是同一函数，故错误；
对于，根据，可以得，可求出，，求出，故正确；
对于，令，则，所以，即，故错误；
对于，函数的定义域为，则，可得，故错误.
故选：ACD
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若在上单调递增，则的值可以为
C. 存在，使得在上单调递减
D. 若的值域为，则的取值范围为
【答案】AD
【解析】
【分析】由分段函数求值可解得确定A；根据已知分段函数单调性求参问题可判断BC；由值域为可得，根据二次函数最值问题，分和两种情况讨论即可.
【详解】对于A，由题意得，得，解得，故A正确；
对于B，若在上单调递增，则得，
所以不符合题意，故B错误；
对于C，若在上单调递减，则不等式组无解，故C错误；
对于D，若的值域为，则，得在上单调递增．
当时，在上单调递增，
则，得，即；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则，得恒成立，即符合题意．
综上，的取值范围为，故D正确.
故选：AD.
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 已知命题：，，则命题的否定为_____.
【答案】，
【解析】
【分析】利用存在量词命题的否定直接写出结论.
【详解】命题：，是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题的否定为：，.
故答案为：，
13. 已知函数是奇函数，当时，，则当时，________.
【答案】
【解析】
【分析】当时，，根据奇函数的定义求对称区间上的解析式.
【详解】设，则，
所以，
又函数为奇函数，
所以，
即时，，
故答案为：；
14. 设是一个数集，且至少含有两个数.若对于任意、，都有、、，且若，则，则称是一个数域.例如，有理数集是数域.则下列说法正确的是__________（写出所有正确说法的序号）.
（1）数域必含有0，1两个数.
（2）整数集是数域.
（3）若有理数集，则数集一定是数域.
（4）数域中有无限多个元素.
【答案】（1）（4）
【解析】
【分析】根据题中的定义直接分析判断得出.
【详解】对（1）：由题意可知，任取、，，令，则，，所以（1）正确；
对（2）：再令，则、，但，故（2）错误；
对（3）：令，取，故（3）错误；
对（4）：因数域必含有0，1两个数，由加法封闭性得，可生成，
再由除法封闭性，可生成等，会生成无穷多个元素，因此数域中有无穷多个元素.故（4）正确.
故答案为：（1）（4）.
四、解答题（共77分）
15. 设全集为，集合，集合.
（1）求.
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据并集的定义计算可得；
（2）根据补集、交集的定义计算可得.
【小问1详解】
因为集合，集合，
所以；
【小问2详解】
因为，所以，
则
16. 已知二次函数．
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若，且，求的最小值．
【答案】（1），
（2）9
【解析】
【分析】（1）根据不等式的解集，确定且的两根为和，再结合韦达定理即可求解；
（2）先由题中条件，得到，再由展开后利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）不等式的解集为，则，且的两根为和，
则，所以；
（2）由，可得，即.
又，所以，
当且仅当时，即时等号成立.
17. 某地为打造“生态水果庄园”，对某种果树进行调研.经调研发现，施用肥料千克时，这种果树的单株产量（单位：千克），单株施用肥料及其它成本的总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该果树的单株利润为（单位：元）．
（1）求的解析式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）施用肥料为3千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是390元
【解析】
【分析】（1）根据可得的解析式.
（2）利用二次函数的性质及基本不等式可求的最大值.
【小问1详解】
由已知得，，
∵，
∴，
整理得，.
【小问2详解】
当时，，对称轴为直线，
∴.
当时，
，
当且仅当，即时等号成立，故，
∵，∴的最大值为390，
∴当施用肥料为3千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是390元．
18. 已知函数时定义在上的奇函数，且．
（1）求的解析式；
（2）先判断函数在区间上的单调性，并证明；
（3）求关于的不等式．
【答案】（1）（2）单调递增函数，证明见解析（3）
【解析】
【分析】
（1）根据题意，由奇函数的性质可得，解可得的值，又由可得的值，将、的值代入函数的解析式即可得答案；
（2）设，用作差法分析可得，由函数单调性的定义即可得证明；
（3）由奇函数的性质可以将变形为，结合函数的定义域与单调性可得的取值范围．
【详解】（1）根据题意，是奇函数，则有，
则有，解可得；
．
，
解可得.
（2）在上为增函数；
证明如下：设，
则，
，
则有，，，，
则有，即．
在上为增函数；
（3），
，
又是定义在上的奇函数，
，
则有，
解可得：；
故不等式的解集为．
【点睛】关键点点睛：利用函数单调性定义证明时，需要严格按照步骤格式，注意取值的任意性，作差后注意变形，变形的目的利用条件及不等式性质判断差的正负.
19. 已知函数，.
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若任意，恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数，函数的最小值是，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意可得：对任意的，，结合二次函数分析求解；
（2）由题意可知，不等式对任意的，令，由参变量分离法可得，利用对勾函数的单调性求出函数在上的最小值，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围；
（3）令，可得的最小值是，分和两种情况，结合二次函数最值分析求解.
【小问1详解】
若函数的定义域为，则对任意的，，
由于函数为开口向上的二次函数，
故只需要，解得，
所以实数的取值范围是.
【小问2详解】
任意，恒成立，则，
可得，
令，则，所以，，
可得，
令，其中，则函数在上减函数，
所以，，所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
【小问3详解】
因为，
令，则，
则为开口向上，对称轴为的二次函数，
当，即时，则在上单调递减，在上单调递增，
此时，解得，不符合要求，舍去；
当，即时，则在上单调递增，
此时，解得或（舍去）；
综上所述：.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.