四川省南充市嘉陵第一中学2022-2023学年高二数学（文）下学期6月月考试题（Word版附解析）

高二下期第三次考试数学（文科试题）

一、单选题（每题5分，共60分）

1. 已知，则在复平面内复数对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】由复数的除法运算，和共轭复数的概念求得，由复数的几何意义可得结论．

【详解】由题意，

，对应点坐标为，在第一象限，

故选：A．

2. 将上所有点经过伸缩变换：后得到的曲线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由变换：变形得到，再代入，化简即可.

【详解】由得，

代入得，

化简得，即.

故选：D

3. 设双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据渐近线方程求出a与b的关系即可.

【详解】双曲线 的渐近线方程为： ，

又 ；

故选：A.

4. 已知函数的导函数为，且满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】在等式求导，再令，可得出关于的等式，解之即可.

【详解】在等式两边求导得，所以，，解得.

故选：C.

5. 已知椭圆过点且与双曲线有相同焦点，则椭圆的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题可得，，联立方程可求得，然后代入公式，即可求得本题答案.

【详解】因为椭圆与双曲线有相同焦点，所以椭圆两个焦点分别为，则①，

又椭圆过点，所以②，

结合①，②得，，

所以，

故选：C

6. 关于的方程，有下列四个命题：甲：是方程的一个根；乙：是方程的一个根；丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则假命题是（    ）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

【答案】A

【解析】

【分析】确定甲或乙为假命题，丙丁为真命题，假设甲为真命题，得到矛盾，得到答案.

【详解】根据题意：甲乙丙中有矛盾，其中有一个假命题；甲乙丁中有矛盾，其中有一个假命题；

故甲或乙为假命题，丙丁为真命题.

假设甲为真命题，是方程的一个根，方程两根之和为2，则另外一个根为，

与丁矛盾，假设不成立，故甲为假命题.

假设乙为真命题，是方程的一个根，方程两根之和为2，则另外一个根为，

满足条件.

综上所述：甲为假命题.

故选：A.

7. 已知函数，则的大致图象为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用导数判定单调性结合特殊区间即可得出选项.

【详解】，

令，所以在和上单调递增，

又当时，，.

故选：C

8. 设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】构造函数，研究其单调性，进而可以比较a，b，c的大小.

【详解】令，，

所以时，，单调递增，

时，，单调递减，

，，，

因为，所以.

故选：D.

9. 已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（    ）

A. 3 B. 4 C.  D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】先判断直线与抛物线的位置关系，过点作于点，于点，连接，根据抛物线的定义，得到，推出，结合图形，可得，，共线时，最小，进而可得出结果.

【详解】由消去得，

因为，所以方程无解，

即直线与抛物线无交点；

过点作于点，于点，记抛物线的焦点为，连接，

因为点到直线的距离为,为抛物线的准线，根据抛物的定义可得，，

则到直线和的距离之和为，

若，，三点不共线，则有，

当，，三点共线，且位于之间时，，

则，

又，

所以，即所求距离和的最小值为.

故选：.

10. 动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义得出动圆圆心P的轨迹方程.

【详解】圆N：的圆心为，半径为，且

设动圆的半径为，则，即.

即点在以为焦点，焦距长为，实轴长为，

虚轴长为的双曲线上，且点在靠近于点这一支上，

故动圆圆心P的轨迹方程是

故选：A

11. 已知点O为坐标原点，点F是椭圆的左焦点，点，分别为C的左，右顶点，点P为椭圆C上一点，且轴，过点A的直线l交线段PF于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE上靠近O点的三等分点，则椭圆C的离心率（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题设条件，画出图形，设OE上靠近O点的三等分点为N，利用平行关系建立比例式，即可求出椭圆离心率作答.

【详解】如图，设OE上靠近O点的三等分点为N，椭圆的半焦距为c，轴，则，

在中，，在中，由，得，

而，则，即，解得，又，于是，

所以椭圆C的离心率.

故选：D

【点睛】方法点睛：椭圆离心率可借助几何意义求解，题目的条件体现出明显的几何特征和意义，利用几何性质建立关系求解即可.

12. 已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】关于的不等式在上恒成立可转化为在上恒成立，分情况讨论的范围，利用导数研究函数的单调性与极值及最值，即可得出结论.

【详解】由题知，在上恒成立，

即在上恒成立，

当时，恒成立，；

当时，恒成立，

令，则，

令，得，

令，得，令，得，

则，可得；

当时，恒成立，

此时，故只需，即；

综上，的取值范围为.

故选：D

二、填空题（每题5分，共20分）

13. 设为虚数单位，复数的实部与虚部的和为12，则___________.

【答案】2

【解析】

【分析】根据复数的运算确定实部与虚部即可解决.

【详解】由题知，

复数，

因为实部与虚部的和为12，

所以，解得，

故答案为：2.

14. 过点的直线与抛物线交于，两点，点在轴上方，若，则直线的斜率___________.

【答案】

【解析】

【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及，可求答案.

【详解】设，直线

与抛物线联立得，即；

，

因为，所以，

所以，代入可得

即，，

所以

故答案为：

15. 已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则_________．

【答案】##

【解析】

【分析】先根据和在公共点处有相同的切线得出在处两函数的导数相等,再由在上,列方程组求解即可.

【详解】因为，

所以，，

因为在公共点处有相同的切线，

所以即，

所以

故答案为：

16. 已知函数在上单调递增.则的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

【分析】将问题化为在上恒成立，参变分离化为最值问题，然后配方可解.

【详解】由题得.

由题可知在上恒成立，即，

即在上恒成立，

因为，所以，解得.

故答案为：

三、解答题（第17题10分，其余试题每题12分，共70分）

17. 已知抛物线上一点到焦点F的距离为4．

（1）求实数p的值；

（2）若过点直线l与抛物线交于A，B两点，且，求直线l的方程．

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据抛物线的几何性质求出p即可；

（2）设直线l的方程，联立直线l和抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的几何性质即可求解.

【小问1详解】

由抛物线的几何性质知：P到焦点的距离等于P到准线的距离， ，解得：；

【小问2详解】

由（1）知抛物线，则焦点坐标为F，

显然直线l斜率不为0，设直线l为：，，

联立直线与抛物线方程：，得：，

则，，则

所以 ，解得，

所以直线l为：或；

综上， ，直线l为：或.

18. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某校需要了解学生是否经常锻炼与性别因素有关，为此随机对该校100名学生进行问卷调查，得到如下列联表．

已知从这100名学生中任选1人，经常锻炼的学生被选中的概率为．

（1）完成上面的列联表；

（2）根据列联表中的数据，判断能否有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关．

附：，其中，．

【答案】（1）列联表见解析   

（2）有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关

【解析】

【分析】（1）设这100名学生中经常进行体育锻炼的学生有x人，则，解得.，即可完成列联表；

（2）求出，与比较大小即可得结论.

【小问1详解】

设这100名学生中经常锻炼的学生有x人，则，解得．

列联表完成如下．

【小问2详解】由（1）可知，，

因为，所以有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关．

19. 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆和圆的极坐标方程分别是和．

（1）求圆和圆的公共弦所在直线的直角坐标方程；

（2）若射线与圆的交点为P，与圆的交点为Q，求的值．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据公式可得两圆的直角坐标方程，进而即得；

（2）将代入两个圆极坐标方程得到P，Q两点的极径，进而得到答案.

【小问1详解】

圆，即，则，

圆，即，则，

两式相减得到两圆公共弦所在直线的直角坐标方程为：．

【小问2详解】

将代入圆和圆的极坐标方程得：，，

所以．

20. 如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点．求证：

（1）底面；

（2）平面平面.

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可；

（2）首先证明出四边形为矩形，从而得到，，再利用线面垂直的判定定理得到平面，再利用线面垂直的性质定理得到，再次证明平面，从而，最后利用三角形中位线性质和面面垂直的判定定理即可证明.

【小问1详解】

因为平面底面，，

平面底面，平面，

所以底面.

小问2详解】

，，为中点，

，则四边形平行四边形，

，所以四边形为矩形，

，.

底面，平面，.

又平面，且，

平面，平面，.

和分别是和的中点，，.

又，，平面，

平面，平面，

平面平面.

21. 已知，分别为椭圆C：左、右焦点，离心率，点E在椭圆C上，的面积的最大值为．

（1）求C的方程；

（2）设C的上、下顶点分别为A，B，点M是C上异于A，B的任意一点，直线MA，MB分别与x轴交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：为定值．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意列式求解，即可得结果；

（2）设，根据题意求P，Q两点的坐标，进而可求，结合运算整理即可得结果.

【小问1详解】

设C的半焦距为，

由题意可得，解得，

所以C的方程为．

【小问2详解】

由（1）可得，，

设椭圆上任意一点，

所以直线AM的方程为，

令，得，即

同理可得 ，

所以，

∵在椭圆上，则，整理得，

∴（为定值）.

22. 已知函数.

（1）当时，求函数的图像在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性；

（3）若恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）   

（2）当时，在R上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.   

（3）

【解析】

【分析】（1）代入，求出，根据导数的几何意义得到切线的斜率，即可得到切线方程；

（2），对以及进行讨论，根据导函数的符号即可得到的单调区间；

（3）根据（2）的结论，可知，根据题意，应有，即.令，根据导函数即可求得实数的取值集合.

【小问1详解】

当时，，则.

根据导数的几何意义，可得函数的图像在点处的切线斜率，

又.

所以，切线方程为，整理可得.

【小问2详解】

定义域为R，.

当时，在R上恒成立，所以在R上单调递增；

当时，解，即，解得，

解，得，则在上单调递增，

解，得，则在上单调递减.

综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.

【小问3详解】

由（2）知，当时，R上单调递增，又，所以当时，，不满足要求，所以.

则由（2）知，在时，取得最小值.

要使恒成立，则只需满足即可，即.

令，即.

.令，则.

当时，，当时，，

所以，在处取得极大值，也是最大值，所以.

又，所以，所以有.

即当时，，有成立.

所以，实数的取值范围为.