四川省南充市嘉陵第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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注意事项： 时间 120 分钟，满分 150 分. 所有答案直接答在答题卡对应区域.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 在空间直角坐标系 中，与点 关于平面 对称的点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.
【详解】解：因为点 ，则其关于平面 对称的点为 .
故选：A.
2. 从分别写有 1，2，3，4 的 4 张卡片中不放回地随机抽取 2 张，则抽到的 2 张卡片上的数字之和是奇数的
概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出从 4 张卡片中不放回地随机抽取 2 张所有可能的组合的可能数，求出和为奇数的条件的组合
数即可求解.
【详解】从 4 张卡片中不放回地随机抽取 2 张，
所有可能的组合有： ，共 种等可能的结果，
和为奇数的条件是一奇一偶，
符合条件的组合为： ，
所以抽到的 2 张卡片上的数字之和是奇数的概率为 .
故选：D.
3. 若直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则可能使 的是（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接计算直线方向向量和平面法向量的数量积可知.
【详解】由题知，当 时， 或 .
A 选项：因为
B 选项：
C 选项：
D 选项：
故选：C
4. 设 ，则 AB 的中点 M 到点 C 的距离 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得 点坐标，利用两点间距离公式计算得 .
【详解】因为 的中点 ，
所以
故选：C．
5. 已知 a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )
A. x＝ ，y＝1 B. x＝ ，y＝－4
C. x＝2，y＝－ D. x＝1，y＝－1
【答案】B
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【解析】
【分析】由题得 a＋2b＝λ(2a－b)，即 解方程组即得解.
【详解】由题意知，a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)．
∵(a＋2b)∥(2a－b)，
∴存在实数λ，使 a＋2b＝λ(2a－b)，
∴
解得
故答案为 B
【点睛】本题主要考查空间平行位置关系的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能
力.
6. 在平行六面体 中，底面 是边长为2的正方形，
°，则异面直线 与 直线所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据定义作出异面直线所成的角，然后在三角形中由余弦定理计算．
【详解】连接 ，
在平行六面体 中，由 与 平行且相等得平行四边形 ，因此 ，
∴ 是异面直线 与 直线所成角或其补角，
由已知 ， ， ，
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由余弦定理得 ， ，
，
∴ ．
故选：C．
7. 已知二面角 ， 、 两点在棱 上，直线 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂
直于 .已知 ，则二面角 的大小是（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【答案】C
【解析】
【分析】将向量 转化成 ，然后等式两边同时平方表示出向量 的模，再根据向量
的数量积求出向量 与 的夹角，而向量 与 的夹角就是二面角的补角．
【详解】由条件，知 ．
，
，即 ，
所以二面角的大小为
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故选：C．
8. 如图，在正四棱柱 中， ， ， 是侧面 内的动点，且
，记 与平面 所成的角为 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，设 ，3， ，根据
空间向量垂直的坐标表示求得 ，继而得 的最小值，连接 BP，由线面角的定义得 就是
与平面 所成的角，故而得 的最大值.
【详解】解：以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，则
， ，
设 ，3， ，则 ，3， ， ， ， ，
， ，
， ，
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，
连接 BP，在正四棱柱 中， 面 ，所以 就是 与平面 所
成的角，即 ，
， 的最大值为 ．
故选：B．
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，选错得 0 分
9. 设样本空间 含有等可能样本点，且 ，则下列说
法正确的是（ ）
A. 事件 与 为互斥事件 B. 事件 与 为对立事件
C. 事件 两两相互独立 D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据互斥事件的定义判断 A；根据对立事件的定义判断 B；根据独立事件的定义判断 C；选项 D
需验证三事件同时发生的概率是否等于各自概率的乘积.
【详解】因为 ，即件 与 能同时发生，不是互斥事件，A 错；
因为 且 ，即事件 与 不能同时发生且必有一个发生，
事件 与 为对立事件，B 正确；
， ， ，故 独立；
， ， ，故 独立；
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； ，故 独立,
综上事件 两两相互独立，C 正确；
选项 D： ，故 , , ，选项 D 错误.
故选：BC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 数据 1，8，3，5，6 的第 60 百分位数是 5
B. 若一组样本数据 4，6，7，8，9， 的平均数为 7，则
C. 用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大
D. 若 的标准差为 4，则 的标准差是 8
【答案】D
【解析】
【分析】对于 A，由百分位数的定义即可判断；对于 B，由平均数公式列方程即可判断；对于 C，由分层抽
样的性质即可判断；对于 D，由标准差的性质即可判断.
【详解】对于 A，因为 5 个数据从小到大排列为 1，3，5，6，8，且 ，所以第 60 百分位数是
，则 A 错误.
对于 B，一组样本数据 4，6，7，8，9， 的平均数为 7，可知 ，解得 ，B 错
误.
对于 C，因为在分层抽样中，每一层的抽样比是相同的，都等于总的抽样比，所以 C 错误.
对于 D，因为 的标准差为 4，所以它的方差为 16，
而 方差为 ，所以它的标准差是 8，故 D 正确.
故选：D.
11. 如图，在棱长为 1 的正方体 中，点 O 为线段 的中点，且点 P 满足
，则下列说法正确的是（ ）
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A. 若 ， ，则
B. 若 ，则 平面
C. 若 ， ，则 平面
D. 若 ， 时，直线 与平面 所成的角为 ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】以 D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，得到 ，由 ，得到 P 点与 C
点重合，结合体积公式，可得判定 A 错误；求得平面 的法向量 ，根据 ，可判
定 B 正确；由 ，求得 ，可判定 C 正确；利用向量的夹角公式，求得
，结合函数的单调性，可判定 D 正确.
【详解】连接 ， ， ， ， ，以 D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
如图所示，可得 ， ， ， ， ，
则 ，即
，
对于 A 中，若 ，则 ，则 P 点与 C 点重合，
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可得 ，所以 A 错误；
对于 B 中，若 ，则 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
由于 ，可得 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，所以 B 正确；
对于 C 中，若 ，则 ， ，
由于 ，所以 平面 ，所以 C 正确；
对于 D 中，若 时，可得 ，所以 ，
则
，
设 ， ，则 ， ， ，
则 ，
由于函数 （ ）在 上单调递减，在 上单调递增，
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且 ， ， ，
所以 ，所以 ， ， ，
， ，
所以 ，所以 ，所以 D 正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 设异面直线 的方向向量分别为 ，则异面直线 所成角的大小为________
．
【答案】 ##60°
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标运算求解异面直线 所成角的余弦值，即可得所成角大小.
【详解】因为异面直线 的方向向量分别为 ，
所以 ，又
所以 ．
所以异面直线 所成角的大小为 ．
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故答案 ： .
13. 一个底面直径是 的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了 且无
溢出，则这个球的表面积是________．
【答案】
【解析】
【分析】由上升的水的体积等于球的体积，利用圆柱、球的体积公式列方程求球体半径，进而求球体的表
面积.
【详解】由题意，上升的水的体积即为球的体积，若球的半径为 R，即 ，解得 ，
故这个球的表面积 ．
故答案 ：
14. 点 是棱长为 的正四面体表面上的动点， 是该四面体内切球的一条直径，则 的最大值
是_______________.
【答案】
【解析】
【分析】作出图形，计算出正四面体 内切球 的半径，由此可求得 ，由空间向量数量积的运算
性质得出 ，进而可知当点 为正四面体的顶点时， 取得最大值，即可得解.
【详解】如下图所示：
正四面体 的棱长为 ，其内切球球心为点 ，连接 并延长交底面 于点 ，
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则 为正 的中心，且 平面 ，
连接 并延长交 于点 ，则 为 的中点，且 ，
， ，
平面 ， 平面 ， ，则 ，
的面积为 ，
正四面体 的体积为 ，
设球 的半径为 ，则 ，
， ，
， ，
，
当点 位于正四面体 的顶点时， 取最大值，
因此， .
故答案为： .
【点睛】本题考查空间向量数量积的最值的计算，同时也考查了正四面体内切球半径的计算，考查计算能
力，属于较难题.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．其中 15 题 13 分， 16、17 题 15 分， 18、19 题 17
分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知空间中三点 ， ， ，设 ， ．
（1）已知向量 与 互相垂直，求 的值；
（2）若点 在平面 上，求 的值．
【答案】（1）
（2）
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【解析】
【分析】（1）根据题意先求 ，再根据向量垂直的坐标表示列式求解即可；
（2）分析可知存在 ，使得 成立，结合向量的坐标运算列式求解即可.
【小问 1 详解】
因为 ， ， ，
则 ， ，
可得 ．
又因为向量 与 互相垂直，
则 ，解得 ，
所以 的值是 ．
【小问 2 详解】
因为点 在平面 上，则存在 ，使得 成立．
又因为 ，即 ，
可得 ，解得 ，
所以 的值为 ．
16. 某地区市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标
准 （千瓦时）：月用电量不超过 的部分按平价收费，超出 的部分按议价收费．为了了解居民用电情况，
通过抽样，获得了 100 位居民每人的月均用电量（千瓦时），将数据按照 分
成 7 组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中 的值，并且计算样本的平均数；
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（2）若该市有 900 万居民，估计全市居民中月均用电量不低于 400 千瓦时的人数；
（3）若该地区市政府希望使 的居民每月的用电量不超过标准 （千瓦时），估计 的值．（结果保留整
数）
【答案】（1） ， 395（千瓦）
（2）495 万人 （3） （千瓦）．
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的频率之和为 1 求出 的值，进而可求得样本的平均值.
（2）由频率分布直方图求出用电量不低于 400 千瓦的频率，进而求得用电量不低于 400 千瓦的人数.
（3）根据百分位数的公式求出 85%百分位数，进而可求得 的值.
【小问 1 详解】
由频率之和为 1，可得 ，
解得 ，
样本的平均数为：
（千瓦）.
【小问 2 详解】
由图可得，用电量不低于 400 千瓦的频率为 ，
故全市居民中月均用电量不低于 400 千瓦的人数为 万人.
【小问 3 详解】
由图可得，前 5 组的频率之知为 ，
前 6 组的频率之和为 ，
设第 85 百分位数为 ，则 ，
故 ，
解得 （千瓦）．
17. 如图，在正三棱柱 中，点 D 是 BC 的中点， ．
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（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 ；
（3）求直线 到平面 的距离．
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）连接 ，交 于点 O，连接 ，易得 ，再由线面平行的判定定理，即可得
证；
（2）先证明 ， ，从而知 平面 ，再由面面垂直的判定定理，即可得证；
（3）先将问题转化为求点 B 到 的距离，再利用等体积法求解即可．
【小问 1 详解】
连接 ，交 点 O，连接 ，则 O 是 的中点，
因为 D 是 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
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【小问 2 详解】
因为 为等边三角形，且 D 是 的中点，
所以 ，由正三棱柱的性质知， 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，
所以平面 平面 .
【小问 3 详解】
由（1）知 平面 ，
以直线 到平面 的距离等价于点 B 到平面 的距离，
由（2）知 平面 ，所以点 A 到平面 的距离为 ，
而 2 ，
4，
设点 B 到平面 ADC1 的距离为 d，
因为 ，
所以 ，即 ，解得 d ，
所以直线 A1B 到平面 ADC1 的距离为 ．
18. 如图甲，已知在长方形 中， ， ，M 为 DC 的中点．将 沿 折起，如
图乙，使得平面 平面 ．
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（1）求证： 平面 ；
（2）若点 E 是线段 上一动点，点 E 在何位置时，二面角 的余弦值为 ．
【答案】（1）证明见解析
（2）E 为 的靠近 D 点的五等分点
【解析】
【分析】（1）先利用面面垂直的性质和矩形的性质证得线面垂直，再得线线垂直，最后又由线面垂直的判
定定理得证；
（2）利用点 E 是线段 DB 上的一动点，设出 ，再求两个平面的法向量，进行求解．
【小问 1 详解】
证明：∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴ ，
∵ 且 ， ， 平面 ，
∴ 平面 ．
【小问 2 详解】
因为平面 平面 ， ， ，M 是 的中点，
∴ ，
取 的中点 O，连接 ，则 平面 ，
取 的中点 N，连接 ，则 ，
以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
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则 ， ， ， ，
设 ， ，
因为平面 的一个法向量 ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，可得 ．
再由 ，则 ，
∴ 或 （舍），
所以 E 为 的靠近 D 点的五等分点．
19. 如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 为直角梯形， ， ，
， ， ， ，且平面 平面 ABCD，在平面 ABCD 内过 B
作 ，交 AD 于 O，连 PO.
（1）求证： 平面 ABCD；
（2）求面 APB 与面 PBC 所成角的正弦值；
（3）在线段 PA 上存在一点 M，使直线 BM 与平面 PAD 所成的角的正弦值为 ，求 PM 的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）
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（3）
【解析】
【分析】（1）结合余弦定理 值，再由勾股定理可得 ，根据面面垂直的性质定理即可证明线
面垂直；
（2）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算
求解面 APB 与面 PBC 的法向量，从而可得面面夹角的余弦值，利用平方公式得正弦值；
（3）设 ，确定 的坐标，利用空间向量线面夹角公式求解即可.
【小问 1 详解】
因为 ， ， ，
所以四边形 为矩形，
在 中， ， ， ，
则 ，
所以 ，则 ，
且平面 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ；
【小问 2 详解】
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
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因为 ， ，可得 ，则 ， ， ， ，
，
设平面 法向量为 ， ， ，
由 ，取 ，
设平面 的法向量为 ， ，
由 ，取 ，
，
又由图可知二面角 是钝角，
所以二面角 的正弦值为 ；
【小问 3 详解】
设 ，则 ，
又平面 的法向量为 ，
直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，解得 ，
所以 .
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