2025-2026学年辽宁省鞍山市部分高中高二上学期10月月考数学试卷（A卷）（含答案）

这是一份2025-2026学年辽宁省鞍山市部分高中高二上学期10月月考数学试卷（A卷）（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(-2,-3)，则点P(x,y)到直线y=x+1的距离是( )
A. 4B. 2 2C. 2D. 2
2.已知向量a=1,1,0，b=-1,0,2，且ka+b与2a-b互相垂直，则k的值是( )
A. -1B. 43C. 53D. 75
3.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥P-ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD，且PE=14PC，若AB=a,AD=b,AP=c，则BE=( )
A. -54a-14b+54c
B. 54a+14b-54c
C. 34a-14b-34c
D. -34a+14b+34c
4.已知直线l1:(2a+1)x+ay+1=0，l2:(a+2)x+ay+2=0，则“a=1”是“l1/\!/l2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，BB1= 2AB= 2BC，M，N分别是B1C1，A1B1的中点，则直线BM与直线CN所成角的余弦值( )
A. 3 1313B. 2 1313C. 55D. 2 515
6.如图所示，甲站在水库底面α上的点A处，乙站在水坝斜面β上的点B处，从A，B到直线l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为6米和8米，CD的长为21米，AB的长为23米，则水库底面与水坝斜面所成二面角的余弦值为( )
A. 18B. -12C. 121D. 12
7.已知直线l1:y=x和l2:x-2y+1=0的交点为P，则点P到直线y=kx+1的距离的取值范围是( )
A. (0,1)B. (0,1]C. [0,1)D. [0,12)∪(12,1)
8.如图，在三棱锥O-ABC中，二面角O-AB-C的大小为θ，AO与底面ABC所成角为θ1，AO与BC所成角为θ2，则θ，θ1，θ2的大小关系为( )
A. θ1≤θ
B. θ1≥θ
C. θ2≥θ
D. θ2≤θ
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l1：(m+1)x+y+2m-3=0，l2：2x+my+m-2=0，则下列说法正确的是( )
A. l1//l2的充要条件为m=1或m=-2
B. 若l1⊥l2，则m=-23
C. 若直线l1不经过第四象限，则m≤-1
D. 若m=2，则将直线l2绕坐标原点按逆时针方向旋转π2，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为y=x-1
10.在空间直角坐标系中，O为坐标原点，且A(1,0,2)，B(-1,1,1)，C(3,1,2)，则下列结论正确的是( )
A. AB的中点坐标为(0,1,2)
B. (AB+AC)⋅BC=-1
C. AB⊥AC
D. 若OP=12OA+13OB+16OC，则P，A，B，C四点共面
11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱A1A，BC，C1D1的中点，则下列结论正确的是( )
A. 平面EFM截该正方体所得的截面为正三角形
B. 平面EFM//平面A1BC1
C. 直线ME与BC1所成的角为π6
D. 平面EFM与平面ABCD的夹角的余弦值为 33
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(2,-1,1)，b=(1,x,1)，c=(1,-2,-1)，当a⊥b时，向量b在向量c上的投影的数量为______．
13.若直线l经过原点，且经过两直线2x+3y+8=0，x-y-1=0的交点，则直线l的方程为 ．
14.如图，已知ABC-A1B1C1是侧棱长和底面边长均等于a的直三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则点C到平面AB1D的距离为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线l1:x-2y+3=0,l2:2x+3y-8=0．
(1)求经过点A(1,4)且与直线l2垂直的直线方程；
(2)求经过直线l1与l2的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程．
16.(本小题15分)
如图所示，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，△PAB是正三角形，点C，D在⊙O上，且CD/​/AB，CD=12AB．
(1)证明：OC/​/平面PBD；
(2)设Q为PC的中点，求直线AQ与平面PBD所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别为A1D1,B1C1的中点，G在线段CC1上，且CG=3GC1
(1)求证∶GF⊥面EBF;
(2)求平面EBF与平面EBG夹角的余弦值；
(3)求点D到平面EBF的距离．
18.(本小题17分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，▵ABC是边长为3的正三角形，AC1=4,AB⊥AC1,cs∠CBC1=310．

(1)求棱CC1的长；
(2)求证：平面ABC⊥平面ABC1；
(3)求直线AC1与平面AB1C所成角的正弦值．
19.(本小题17分)
已知四边形QBCD为直角梯形，其中CD//QB，BC⊥CD，BC=CD，DA⊥QB，A为垂足(如图1).将△QAD沿AD折起，使点Q移至点P的位置，得到四棱锥P-ABCD(如图2)，且满足PA⊥AB，点E，F分别为PB，PD的中点．
(1)证明：平面PAC⊥平面AEF；
(2)若PC⊥平面AEF，试问：棱CD上是否存在一点M，使得直线PM与平面AEF所成角的正弦值为2 23，若存在，求出MDCD的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】BCD
10.【答案】BD
11.【答案】BCD
12.【答案】- 6
13.【答案】2x-y=0
14.【答案】 2a4
15.【答案】解：(1)由直线l2:2x+3y-8=0⇒y=-23x+83可得斜率为-23，
所以根据垂直关系可设所求直线方程为y=32x+b，
则依题意有4=32×1+b，解得b=52，
所以所求直线方程为y=32x+52，整理得3x-2y+5=0；
(2)联立x-2y+3=02x+3y-8=0，解得x=1y=2，即直线l1与l2的交点为(1,2)，
当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为y=kx，
代入(1,2)得k=2，此时y=2x；
当直线的截距都不为0时，假设直线方程为xa+yb=1(a,b≠0)，
依题意a=-b1a+2b=1，解得a=-1,b=1，
此时直线方程为x-1+y1=1，即x-y+1=0，
综上所述：所求直线方程为y=2x或x-y+1=0．
16.
(1)证明：因为点O是AB的中点，CD=12AB，
所以OB=CD，
又CD/​/AB，即CD/​/OB，
所以四边形OBDC是平行四边形，
所以OC/​/BD，
又OC⊄平面PBD，BD⊂平面PBD，
所以OC/​/平面PBD．
(2)解：取CD的中点E，连接OE，OD，
因为CD=OB=OC=OD，所以△OCD是等边三角形，
所以OE⊥CD，即OE⊥OB，
又OP⊥平面ABCD，
故以O为原点，OE，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设底面圆O的半径为2，则A(0,-2,0)，B(0,2,0)，P(0,0,2 3)，C( 3,-1,0)，D( 3,1,0)，Q( 32,-12, 3)，
所以AQ=( 32,32, 3)，PB=(0,2,-2 3)，BD=( 3,-1,0)，
设平面PBD的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅PB=2y-2 3z=0n⋅BD= 3x-y=0，
取x=1，则y= 3，z=1，所以n=(1, 3,1)，
设直线AQ与平面PBD所成角为θ，
则sinθ=|cs|=|AQ⋅n||AQ|⋅|n|=| 32+3 32+ 3| 6× 5=3 1010，
所以直线AQ与平面PBD所成角的正弦值为3 1010．
17.【答案】解：(1)证明：法一、在正方形BCC1B1中，
由条件易知tan∠C1FG=C1GC1F=12=FB1BB1=tan∠B1BF，所以∠C1FG=∠B1BF，
则∠B1FB+∠B1BF=π2=∠C1FG+∠B1FB，
故∠BFG=π-∠C1FG+∠B1FB=π2，即FG⊥BF，
在正方体中，易知D1C1⊥平面BCC1B1，且EF//D1C1，
所以EF⊥平面BCC1B1，
又FG⊂平面BCC1B1，∴EF⊥FG，
∵EF∩BF=F，EF,BF⊂平面EBF，∴GF⊥平面EBF；
法二、如图以D为原点建立空间直角坐标系，
则B(4,4,0),E(2,0,4),F(2,4,4),G(0,4,3)，
所以EF=(0,4,0),EB=(2,4,-4),FG=(-2,0,-1)，
设m=(a,b,c)是平面EBF的法向量，
则{m→⋅EF→=4b=0m→⋅EB→=2a+4b-4c=0，令a=2，则b=0,c=1，
所以m=(2,0,1)是平面EBF的一个法向量，
易知FG=-m，则FG也是平面EBF的一个法向量，∴GF⊥平面EBF；
(2)同上法二建立的空间直角坐标系，
所以EG=(-2,4,-1),BG=(-4,0,3)，
由(1)知m=(2,0,1)是平面EBF的一个法向量，
设平面EBG的一个法向量为n=(x,y,z)，所以{n→⋅EG→=-2x+4y-z=0n→⋅BG→=-4x+3z=0,
令x=6，则z=8,y=5，
所以n=(6,5,8)是平面EBG的一个法向量，
设平面EBF与平面EBG的夹角为α，
则csα=csm,n=m⋅nm⋅n=20 5× 125=45，
所以平面EBF与平面EBG的夹角的余弦值为45；
(3)因为D(0,0,0),E(2,0,4)，所以DE=(2,0,4)，
又m=(2,0,1)是平面EBF的一个法向量，
则D到平面EBF的距离为d=DE⋅mm=8 5=8 55．
所以点D到平面EBF的距离为8 55．

18.【答案】解：(1)因为AB=3，AC1=4,AB⊥AC1，所以BC1=5，
▵CBC1中，由余弦定理CC1= BC2+BC12-2BC⋅BC1⋅cs∠CBC1，
即CC1= 9+25-2×3×5×310=5；
(2)由(1)可知▵ACC1中，满足AC2+AC12=CC12，
所以AC⊥AC1，且AB⊥AC1，AB∩AC=A，AB,AC⊂平面ABC，
所以AC1⊥平面ABC，且AC1⊂平面ABC1，
所以平面ABC⊥平面ABC1；
(3)如图，以点A为原点，AB,AC1为x,z轴的正方向，作y轴，建立空间直角坐标系，
A(0,0,0)，C1(0,0,4)，C32,3 32,0，B(3,0,0)，
AC=32,3 32,0，AC1=(0,0,4)，
AB1=AA1+A1B1=CC1+AB=(-32,-3 32,4)+(3,0,0)=(32,-3 32,4)，
设平面AB1C的一个法向量为n=(x,y,z)，
所以n·AC=32x+3 32y=0n·AB1=32x-3 32y+4z=0，令x=-3，则y= 3,z=94，
所以平面AB1C的一个法向量为n=-3, 3,94，
设AC1与平面AB1C所成的角为θ，
所以sinθ=|cs⟨AC1→,n→⟩|=94× 2734=3 27391，
所以直线AC1与平面AB1C所成角的正弦值为3 27391．

19.
(1)证明：由题知，QA⊥AD即PA⊥AD，且PA⊥AB，
因为AB，AD⊂面ABCD，AB∩AD=A，
所以PA⊥面ABCD，因为BD⊂面ABCD，所以PA⊥BD，
又由E，F是所在棱的中点，得EF//BD，所以PA⊥EF；
易知四边形ABCD是正方形，可知BD⊥AC，所以AC⊥EF；
又由PA∩AC=A，且PA，AC⊂面PAC，所以EF⊥面PAC，
因为EF⊂面AEF，所以面AEF⊥面PAC；
(2)由PA⊥AD，PA⊥AB，AB⊥AD知，可以分别以AB,AD,AP为x，y，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，
不妨记AB=AD=2，设PA=2a，
可得A(0,0,0)，E(1,0,a)，F(0,1,a)，P(0,0,2a)，C(2,2,0)，
则AE=(1,0,a),PC=(2,2,-2a)，
因为PC⊂面AEF，EF⊂面AEF，所以PC⊥EF，
故PC⋅AE=2-2a2=0，解得a=1，即PA=2；
AE=(1,0,1),AF=(0,1,1)，
记平面AEF的法向量为n=(x1,y1,z1)，可得
x1+z1=0y1+z1=0，取z1=1得x1=-1y1=-1，即n=(-1,-1,1)；
假设棱CD上是否存在一点M，使得直线PM与平面AEF所成角的正弦值为2 23，
设DM=b(0≤b≤2)，则M(b,2,0),PM=(b,2,-2)，
由题知2 23=|-b-4| 3 b2+8，
解得b=45或4(舍去)，即MD=45，所以MDCD=25．