高考物理【一轮复习】讲义练习实验九　用单摆测量重力加速度的大小

这是一份高考物理【一轮复习】讲义练习实验九　用单摆测量重力加速度的大小，共13页。试卷主要包含了006　20，5　1，86　金属块重心与M点间距离，0 s2/m，40　最大值　9，54　10　A　见解析等内容，欢迎下载使用。

考点一 教材原型实验
例1 (2023·新课标卷，23)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径，首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图(a)所示，该示数为 mm，螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为 mm，则摆球的直径为 mm。
(2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角 5°(选填“大于”或“小于”)。
(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为 cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为 s，该小组测得的重力加速度大小为 m/s2(结果均保留3位有效数字，π2取9.870)。
答案 (1)0.006 20.035 20.029 (2)大于
(3)82.5 1.82 9.83
解析 (1)题图(a)中，螺旋测微器固定刻度读数为0，可动刻度部分读数为0.6×0.01 mm＝0.006 mm，所以示数为0.006 mm;题图(b)中，螺旋测微器固定刻度读数为20.0 mm，可动刻度部分读数为3.5×0.01 mm＝0.035 mm，所以示数为20.035 mm，摆球的直径d＝20.035 mm－0.006 mm＝20.029 mm。
(2)角度盘固定在O点时，摆线在角度盘上所指角度为摆角大小，若将角度盘固定在O点上方，即角度盘到悬点的距离变短，同样的角度，摆线在刻度盘上扫过的弧长变短，故摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角大于5°。
(3)单摆的摆长l等于摆线长L与摆球半径之和，即l＝L＋d2＝82.5 cm;从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点，单摆完成30次全振动，故单摆的周期T＝54.630 s＝1.82 s;由单摆的周期公式T＝2πlg可得g＝4π2lT2，代入相关数据解得g＝9.83 m/s2。
跟踪训练
1.(2024·山东济南一模)(1)在用单摆测定当地重力加速度的实验中，下列器材和操作最合理的是 。
(2)某同学课后想利用身边的器材再做一遍“单摆测量重力加速度”的实验。家里没有合适的摆球，于是他找到了一块外形不规则的小金属块代替小球进行实验。
①如图甲所示，实验过程中他先将金属块用细线系好，结点为M，将细线的上端固定于O点。
②利用刻度尺测出OM间细线的长度l作为摆长，利用手机的秒表功能测出金属块做简谐运动的周期T。
③在测出几组不同摆长l对应的周期T的数值后，他作出的T2－l图像如图乙所示。
④根据作出的图像可得重力加速度的测量值为 m/s2(π取3.14，计算结果保留3位有效数字)。
(3)相比于实验室作出的T2－l图像，该同学在家做实验的T2－l图像明显不过原点，其中横轴截距绝对值的意义为 。
答案 (1)D (2)9.86 (3)金属块重心与M点间距离
解析 (1)根据单摆理想模型可知，为减小空气阻力的影响，摆球应采用密度较大，体积较小的铁球;为使单摆摆动时摆长不变化，摆线应用不易形变的细丝线，悬点应该用铁夹来固定，故选D。
(2)设M点到重心的距离为r，根据单摆周期公式有T＝2πl＋rg，可得T2＝4π2gl＋4π2rg
故该图像的斜率为
k＝4π2g＝×102 s2/m＝4.0 s2/m
由此得出重力加速度的测量值为g≈9.86 m/s2。
(3)令T2＝4π2gl＋r＝0，解得l＝－r，所以横轴截距绝对值的意义为M点与金属块重心的距离。
考点二 创新拓展实验
例2 (2024·湖北卷，12)某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案，所用器材有:2 g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台等。
具体步骤如下:
①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图(a)所示。
②用米尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门。
③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。
④用数字计时器记录30次全振动所用时间t。
⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。
该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期T＝2πMk，其中k为弹簧的劲度系数，M为振子的质量。
(1)由步骤④，可知振动周期T＝ 。
(2)设弹簧的原长为l0，则l与g、l0、T的关系式为l＝ 。
(3)由实验数据作出的l－T2图线如图(b)所示，可得g＝ m/s2(保留3位有效数字，π2取9.87)。
(4)本实验的误差来源包括 (双选，填标号)。
A.空气阻力
B.弹簧质量不为零
C.光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置
答案 (1)t30 (2)l0＋g4π2T2 (3)9.65 (4)AB
解析 (1)由于30次全振动所用的时间为t，则1次全振动的时间，即振动周期T＝t30。
(2)弹簧振子平衡时，由力的平衡条件有k(l－l0)＝Mg，又T＝2πMk，联立可得l＝l0＋g4π2T2。
(3)结合(2)问分析可知l－T2图线的斜率k＝g4π2，由题图(b)可知k＝0.540- m/s2，联立解得g＝9.65 m/s2。
(4)空气阻力会使本实验中的振动系统做阻尼振动，即本实验中的振动系统并不是理想化的弹簧振子，而本实验中是将振动系统理想化为弹簧振子，从而测出重力加速度的，所以空气阻力是本实验的一个误差来源，A正确;(2)问分析中将弹簧振子的质量等效为托盘及其上砝码的总质量，但是实际上弹簧振子的质量为弹簧的质量和托盘及其上砝码的总质量之和，所以弹簧质量不为零是本实验的一个误差来源，B正确;由于数字计时器记录的是30次全振动的时间，所以光电门的位置只要在托盘经过的位置均可，即光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置不是本实验的误差来源，C错误。
跟踪训练
2.(2024·湖南卷，12)在太空，物体完全失重，用天平无法测量质量。如图(a)，某同学设计了一个动力学方法测量物体质量的实验方案，主要实验仪器包括:气垫导轨、滑块、轻弹簧、标准砝码、光电计时器和待测物体，主要步骤如下:
(1)调平气垫导轨，将弹簧左端连接气垫导轨左端，右端连接滑块。
(2)将滑块拉至离平衡位置20 cm处由静止释放，滑块第1次经过平衡位置处开始计时，第21次经过平衡位置时停止计时，由此测得弹簧振子的振动周期T。
(3)将质量为m的砝码固定在滑块上，重复步骤(2)。
(4)依次增加砝码质量m，测出对应的周期T，实验数据如下表所示，在图(b)中绘制T2－m关系图线。
(5)由T2－m图像可知，弹簧振子振动周期的平方与砝码质量的关系是 (选填“线性的”或“非线性的”)。
(6)取下砝码后，将待测物体固定在滑块上，测量周期并得到T2＝0.880 s2，则待测物体质量是 kg(保留3位有效数字)。
(7)若换一个质量较小的滑块重做上述实验，所得T2－m图线与原图线相比将沿纵轴 (选填“正方向”“负方向”或“不”)移动。
答案 (4)见解析图 (5)线性的 (6)0.120
(7)负方向
解析 (4)将题表中的数据在题图(b)中进行描点，然后用直线拟合，使尽可能多的点在直线上，不在直线上的点均匀分布在直线两侧，偏离直线较远的点舍去，如图所示。
(5)由于T2－m图像为一条直线，则弹簧振子振动周期的平方与砝码质量的关系是线性的。
(6)根据解析图可知T2＝0.880 s2时，m＝0.120 kg。
(7)当m＝0时，T2为滑块对应的弹簧振子振动周期的平方，由图可知物体的质量越大，对应的弹簧振子的振动周期越大，所以质量较小的滑块对应的弹簧振子的振动周期较小，故换一个质量较小的滑块重做实验，所得T2－m图线与原图线相比将沿纵轴负方向移动。
1.(2025·湖南衡阳高三开学考)在“用单摆测量重力加速度”的实验中，某实验小组在测量单摆的周期时，测得摆球经过n次全振动的总时间为Δt，在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆线长度为l，再用游标卡尺测量摆球的直径为D。回答下列问题:
(1)为了减小测量周期的误差，实验时需要在适当的位置做一标记，当摆球通过该标记时开始计时，该标记应该放置在摆球摆动的 。
A.最高点B.最低点
C.任意位置
(2)该单摆的周期为 。
(3)若用l表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝ 。
(4)如果测得的g值偏小，可能的原因是 。
A.测摆长时摆线拉得过紧
B.摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了
C.开始计时时，停表过迟按下
D.实验时误将49次全振动记为50次
(5)为了提高实验的准确度，在实验中可改变几次摆长l并测出相应的周期T，从而得出几组对应的l和T的数值，以l为横坐标、T2为纵坐标作出T2－l图线，但同学们不小心每次都把小球直径当作半径来计算摆长，由此得到的T2－l图像是图乙中的 (选填“①”“②”或“③”)。
答案 (1)B (2)Δtn (3)4π2lT2 (4)B (5)①
解析 (1)为了减小测量周期的误差，应该将小球经过最低点时作为计时开始和终止的位置，因为实际摆动中最高点的位置会发生变化，且靠近最高点时速度较小，计时误差较大，故选B。
(2)因为摆球经过n次全振动的总时间为Δt，则该单摆的周期为T＝Δtn。
(3)由单摆周期公式T＝2πlg，可得重力加速度的表达式为g＝4π2lT2。
(4)重力加速度的表达式为g＝4π2lT2，测摆长时摆线拉得过紧，所测摆长l偏大，则所测重力加速度偏大，故A错误;摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了，故所测重力加速度偏小，故B正确;开始计时时，秒表过迟按下，所测周期偏小，则所测重力加速度偏大，故C错误;实验中误将49次全振动次数记为50次，所测周期偏小，则所测重力加速度偏大，故D错误。
(5)由题意可得，单摆的实际摆长为l'＝l－D2，由单摆周期表达式得T＝2πl-D2g，化简可得T2＝4π2gl－2π2Dg，则由此得到的T2－l图像是题图乙中的①。
2.(2025·山东淄博高三期末)某实验小组用图甲所示的双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度。测得图中细线长度均为L，与水平方向夹角均为θ，小球两侧为光电计数器。
(1)用游标卡尺测量小球的直径如图乙所示，则小球的直径d＝ cm。
(2)双线摆的等效摆长L'＝ (用所测物理量的符号表示)。
(3)将摆球垂直于纸面向外拉开一个较小的角度后释放。启动光电计数器，光电计数器示数为“0”，由静止释放小球，小球每经过平衡位置O时光电计数器计数一次。当小球第一次经过平衡位置O时，用秒表开始计时，当光电计数器上显示的计数次数为n时，测得所用的时间为t，由此可知，单摆的振动周期T＝ 。
(4)可测得当地的重力加速度g＝ (用L、θ、d、n、t符号表示)。
答案 (1)1.86 (2)Lsin θ＋d2 (3)2tn-1 (4)π2(n-1)2Lsinθ＋d2t2
解析 (1)小球的直径为d＝18 mm＋6×0.1 mm＝18.6 mm＝1.86 cm。
(2)摆长等于摆线的有效长度与小球的半径之和，即等效摆长为L'＝Lsin θ＋d2。
(3)当光电计数器显示数为“1”时是0时刻，故计数次数刚好为n时，全振动次数为N＝n-12
故单摆的振动周期T＝tN＝2tn-1。
(4)根据单摆的周期公式可知T＝2πL'g，可得g＝4π2L'T2＝π2(n-1)2Lsinθ＋d2t2。
3.(2025·齐鲁名校联盟高三开学考)用图甲所示的装置测量当地的重力加速度。
(1)实验时，用10分度的游标卡尺测量摆球的直径，结果如图乙所示，可读出摆球的直径为d＝ mm。
(2)如图甲所示，将细线一端拴接小球，另一端固定在拉力传感器上，用刻度尺测量摆线长，将摆线长与摆球的半径之和记为摆长l。
(3)拉动小球使摆线与竖直方向成一个很小的角度，将小球由静止释放，电脑显示拉力传感器的拉力随时间的变化关系如图丙所示。
(4)根据上述信息可得当地的重力加速度g＝ ，摆球的质量m＝ (用题中和图中所给的符号表示)。
答案 (1)19.0 (4)π2lt2-t12 F1＋2F2t2-t123π2l
解析 (1)游标卡尺的精确度为0.1 mm，摆球的直径为d＝19 mm＋0×0.1 mm＝19.0 mm。
(4)由单摆周期公式T＝2πlg，可得当地的重力加速度为g＝4π2lT2＝4π2l4t2-t12＝π2lt2-t12
设单摆最大摆角为θ，在最高点时摆球速度为零，则其向心力为零，有F2＝mgcs θ
在最低点时有F1－mg＝mv2l
从最高点到最低点由动能定理得
mgl1-csθ＝12mv2
联立解得m＝F1＋2F23g＝F1＋2F2t2-t123π2l。
4.(2025·湖南长沙一模)长郡中学物理兴趣小组用如图甲所示的装置测量当地的重力加速度。将一带遮光条的小球用长为L＝1.00 m(L远大于小球的半径)的细线悬挂在力传感器上(它能将数据实时传送到计算机上)，在力传感器正下方适当位置固定一光电门。实验步骤如下:
(1)用游标卡尺测量遮光条的宽度d，如图乙所示，则遮光条的宽度d＝ mm。
(2)在细线伸直的情况下从某一位置由静止释放小球，记录小球通过光电门时的挡光时间t。此过程中力传感器的示数一直在变化，应该记录力传感器示数的 (选填“最大值”“最小值”或“平均值”)作为测量结果。
(3)改变小球的释放位置，多记录几组挡光时间t和对应的力传感器的测量结果F。
(4)以1t2为横坐标，以F为纵坐标，将得到的数据进行描点如图丙所示，则当地的重力加速度g＝ m/s2(结果保留2位有效数字)。
答案 (1)5.40 (2)最大值 (4)9.4(9.3~9.5都正确)
解析 (1)游标卡尺读数为d＝5 mm＋8×0.05 mm＝5.40 mm。
(2)小球经过最低点时细线拉力最大，实验中应记录小球经过最低点时细线的拉力，故应记录拉力的最大值。
(4)由于L远大于小球的半径，故单摆摆长近似等于绳长L。在最低点，根据牛顿第二定律得
F－mg＝mv2r＝mdt2L，解得F＝md2L1t2＋mg
故F－1t2图像的斜率为k＝md2L，纵截距为b＝mg
联立可得g＝bm＝bd2kL，图像如图所示，
由图像可知b＝0.48 N
k＝1.0-×106 kg·m≈1.49×10－6 kg·m
联立可得g≈9.4 m/s2。
5.(2024·黑吉辽卷，12)图(a)为一套半圆拱形七色彩虹积木示意图，不同颜色的积木直径不同。某同学通过实验探究这套积木小幅摆动时周期T与外径D之间的关系。
(1)用刻度尺测量不同颜色积木的外径D，其中对蓝色积木的某次测量如图(b)所示，从图中读出D＝ cm。
(2)将一块积木静置于硬质水平桌面上，设置积木左端平衡位置的参考点O，将积木的右端按下后释放，如图(c)所示。当积木左端某次与O点等高时记为第0次并开始计时，第20次时停止计时，这一过程中积木摆动了 个周期。
(3)换用其他积木重复上述操作，测得多组数据。为了探究T与D之间的函数关系，可用它们的自然对数作为横、纵坐标绘制图像进行研究，数据如下表所示:
根据表中数据绘制出lnT－lnD图像如图(d)所示，则T与D的近似关系为 。
A.T∝DB.T∝D2
C.T∝1DD.T∝1D2
(4)请写出一条提高该实验精度的改进措施:
。
答案 (1)7.54 (2)10 (3)A (4)见解析
解析 (1)由题图(b)可知，外径D＝7.54 cm。
(2)一次全振动为相邻两次积木同一端经过与O点等高的位置，且振动方向相同，因此积木摆动了10个周期。
(3)由题图(d)可得表达式为ln T＝kln D＋b，斜率为k＝-0.5-(-1.0)2.84-1.80≈12，即ln T＝12ln D＋b＝lnD＋b，化简得TD＝eb，即T∝D，A正确。
(4)提高该实验精度的改进措施有:增加所测周期数，多次测量取平均值(时间更长，周期测量误差更小);用游标卡尺测量积木的外径(直径测量更精确);适当减小摆动幅度，摆角越小，摆动越趋近简谐运动，同时也能减小空气阻力等影响。原理装置图
实验步骤
注意事项
测摆长l和周期T，由
T＝2πlg得g＝4π2lT2
1.做单摆
将细线穿过带中心孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自然下垂。
2.测摆长
用米尺量出摆线长l'(精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长l＝l'＋D2。
3.测周期
将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆摆动30次~50次的总时间，算出一次全振动的时间，即为单摆的周期。
4.改变摆长，重做几次实验。
1.摆线要选1 m左右、柔软不易伸长的细线，不要过长或过短。
2.悬线长要待悬挂好球后再测，计算摆长时要将悬线长加上摆球半径。
3.单摆要在竖直平面内摆动，不要形成圆锥摆。
4.要从平衡位置开始计时，并数准全振动的次数。
数据
处理
1.公式法:g＝4π2lT2，算出重力加速度g的值，再求出g的平均值。
2.图像法:根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l－T2的图像，由单摆周期公式得l＝g4π2T2，图像应是一条通过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝4π2k求重力加速度。
m/kg
T/s
T2/s2
0.000
0.632
0.399
0.050
0.775
0.601
0.100
0.893
0.797
0.150
1.001
1.002
0.200
1.105
1.221
0.250
1.175
1.381
颜色
红
橙
黄
绿
青
蓝
紫
ln D
2.939 2
2.788 1
2.595 3
2.484 9
2.197
……
1.792
ln T
－0.45
－0.53
－0.56
－0.65
－0.78
－0.92
－1.02