2026年高考数学压轴专项训练压轴题04抽象函数核心应用(原卷版+解析)

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压轴题型一：抽象函数模型：过原点型
1．已知定义在上的函数满足对任意实数，都有，设，若，则的值为．
A．-2219B．-2019C．-1919D．-1819
2．设是奇函数，对任意的实数，，有，且当时，，则在区间，上
A．有最大值B．有最小值
C．有最大值D．有最小值
3．定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．设是定义域为的单调函数，对，则（ ）
A．
B．
C．是减函数
D．当时，
5．若对于，，令，则在上的最大值和最小值之和为
压轴题型二：抽象函数模型：一般式直线
1．已知连续函数对任意实数恒有，当时，，，则（ ）
A．B．在上的最大值是4
C．图像关于中心对称D．不等式的解集为
2．若对，，有，则函数在上的最大值和最小值的和为（ ）
A．4B．8C．6D．12
3．若对，，有，函数，则的值
A．0B．4C．6D．9
4．已知定义域为正整数集的函数满足，则数列的前项和为
A．B．C．D．
5．已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y都有，且当x＞0时，，若数列满足，且（），则 ．
压轴题型三：抽象函数模型：一元二次型
1．已知函数的定义域为，且满足，，则（ ）
A．4B．8C．14D．16
2．已知连续函数的定义域为，若，且，则函数的图象的对称轴为直线（ ）
A．B．C．D．
3．已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，，，则（ ）
A．0B．1C．D．
4．已知定义在实数集R上的函数，其导函数为，且满足，，则（ ）
A．的图像关于点成中心对称
B．
C．
D．
5．已知函数满足：对任意实数、，都有成立，且，则 ．
压轴题型四：抽象函数模型：一元三次型
1．已知函数对任意的实数都有，且，若当，且时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知定义在上的函数，其导数为，且满足，，，给出下列四个结论：①为奇函数；②；③：④在上单调递减.其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②B．①③C．②③④D．①②④
3．已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数B．
C．在上单调递增D．
4．已知函数是定义域为R的可导函数，若，且，则（ ）
A．是奇函数B．是减函数
C．D．是的极小值点
5．已知函数是定义域为的可导函数，若，且，则（ ）
A．是奇函数B．是减函数
C．D．是的极大值点
压轴题型五：抽象函数模型：正切型
1．给出下列三个等式：，，．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列指定的函数中，一定有的有（ ）
A．指定的函数是奇函数；
B．指定的函数满足：，都有；
C．指定的函数满足：，都有且当时，；
D．设，指定的函数满足：都有.
3．已知函数满足有定义，，当时，，且当都有意义时，，则以下说法正确的是（ ）
A．是奇函数B．是周期函数
C．在上是增函数D．的图象关于直线对称
4．已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．
B．为偶函数
C．为周期函数，且4为的周期
D．
5．已知函数满足，，则（ ）
A．B．
C．的定义域为RD．的周期为4
压轴题型六：抽象函数模型：双曲余弦与余弦型
1．定义域为的函数，对任意，且不恒为0，则下列说法错误的是（ ）
A．B．为偶函数
C．D．若，则
2．定义在上的函数满足对任意都有，且，，则下列命题错误的是（ ）
A．是偶函数B．是周期函数
C．D．的图象关于点对称
3．设函数的定义域为R，且，，若对于任意实数x，y，恒有则下列说法中不正确的是
A．B．
C．D．
4．已知，都是定义在上的函数，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是
A．B．
C．为奇函数D．
4．已知函数的定义域为，不恒为0，且，则（ ）
A．可以等于零B．的解析式可以为：
C．曲线为轴对称图形D．若，则
压轴题型七：抽象函数模型：正弦与双曲正弦型
1．已知函数的定义域为，且fx⋅fy=f2x+y2−f2x−y2，的图像关于直线对称，，在上单调递增，则下列说法中错误的是（ ）
A．B．的一条对称轴是直线
C．f20232>f4D．k=12024fk=1
2．已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的，满足，且，则（ ）
A．B．是偶函数
C．关于点对称D．
3．已知定义在上的函数满足：对，，且，函数为偶函数，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．
4．定义域为的函数满足：，当时，，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．
D．在上单调递增
5．已知集合,有下列命题
①若 则；
②若则；
③若则的图象关于原点对称；
④若则对于任意不等的实数，总有成立.
其中所有正确命题的序号是 .
压轴题型八：抽象函数模型：对数反比例型
1．已知函数满足对任意的且都有，若，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数的定义域为，对任意的，，都有，且当时，恒成立.若，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
3．定义在的函数，当时，若，，，则P，Q，R的大小为
A．B．C．D．
4．若定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ）．
A．若，，，则
B．若，则
C．若，则的图像关于点对称
D．若，则
5．定义在上的函数满足，当时，，则以下结论正确的是（ ）
A．B．为奇函数
C．为单调递减函数D．为单调递增函数
6．若函数具有下列性质：①定义域为；②对于任意的，都有；③当时，，则称函数为的函数.若函数为的函数，则以下结论正确的是
A．为奇函数B．为偶函数
C．为单调递减函数D．为单调递增函数
7．定义在上的函数满足：对任意都有，且当时，恒成立.下列结论中可能成立的有 .
①为奇函数；
②对定义域内任意，都有；
③对，都有；
④.
压轴题型九：抽象函数模型：反比例型
1．对于任意非零实数x，y﹐函数满足，且在单调递减，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．为奇函数D．在定义域内单调递减
2．定义在上的函数满足条件①，，②，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
结束
总论：
一、解决抽象函数的求解优先策略：
1.联系函数模型：化抽象为具体
2.通过变量赋值解题：掌握常见的变量赋值规律和技巧。
3.运用函数性质解题：一般情况下，抽象函数都有可能具有函数的三大性质，周期性、奇偶性、单调性
4.借助数形结合解题：结合对应模型函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用，来求解
二、抽象函数求解的重要技巧：赋值法
1.赋值法使用，注意和题目条件作适当的联系；比如，涉及到奇偶行时候，可以考虑设字母为x和-x，或者取值为a和-a。等等
2.转化过程要以相关定义为目的，不断转变；比如，涉及到单调性，欲寻找单调性证明和推导，可以设变量为x1与x2两个变量，寻找f（x1）与f（x2）的大小关系。
3.还要学会用反例作论证，推出矛盾，可以直接排除对应的性质关系。
√满分技法
满足形如 型抽象函数性质，可以用“过原点直线型f（x）=kx”来替换：
√满分技法

√满分技法
√满分技法
√满分技法
√满分技法

√满分技法
√满分技法
√满分技法