江苏省扬州市高邮市2026届高三上学期10月学情调研测试 数学 Word版含解析含答案解析

这是一份江苏省扬州市高邮市2026届高三上学期10月学情调研测试 数学 Word版含解析含答案解析，共17页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】对于集合，由于，解得，则，
对于集合，由于，即，则，所以；
故选：A
2. 已知角的终边经过点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】已知角的终边经过点，若，则，解得.
故选：D.
3. “”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】因为在定义域上单调递增，由可得，
因为在定义域上单调递增，由可得，
所以由推不出，即充分性不成立；
由推出，即必要性成立；
所以“”是“”成立的必要不充分条件.
故选：B
4. 已知，则的最小值为（ ）
A. 12B. 16C. 18D. 20
【答案】B
【详解】已知，则有，，
，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为16.
故选：B
5. 函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. 和D.
【答案】C
【详解】的定义域为，
由题得，
令，得，
因为，
所以函数的单调减区间为和，
故选：C.
6. 高斯，著名数学家、文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，，若，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由，可得，则可化为：，
令得：，再令，
由对勾函数的单调性知：在上单调递减，在上单调递增，
，，
所以，
，只需.
故选：D
7. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】已知，，
则，，
即，
则，
所以.
故选：B．
8. 已知函数的两条相邻对称轴间的距离为．现将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由题意得，
根据的两条相邻对称轴间的距离为，可得的周期，
所以，可得.
将函数图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），可得的图象，
方程在区间上恰有两个不同的实数解，
可转化为和的图象在区间上有且只有2个交点．
由可得
根据函数在上单调递增，在上单调递减，
，，
作出函数的大致图象如下：
结合图象，可得，即实数k的取值范围是．
故选：A
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知实数，满足等式，则下列式子可以成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【详解】实数，满足等式，
即在处的函数值和在处的函数值相等，
做出和两个函数的图象，
当时，，此时C选项成立；
做出直线，此时，可得，， 满足，
由图象知，时，都有，由此知B选项成立；
作出直线，此时，可得，，满足，
由图象知，时，都有，由此知D选项成立.
故选：BCD.
10. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期是B. 的图象关于点中心对称
C. D. 在区间上单调递减
【答案】AD
【详解】函数的最小正周期是，
函数图象轴上及上方部分不变，轴下方的部分翻折到上方，得函数的图象，
则的最小正周期是，A选项正确；
函数的图象都在轴上及轴上方，不可能关于轴上的点中心对称，B选项错误；
，正弦函数在上单调递增，
，有，C选项错误；
时，，
所以函数在上单调递增，且在上恒成立，
结合图像的翻折可知，在区间上单调递减，D选项正确.
故选：AD
11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 当关于的方程有两个不等实根时，
D. 当时，过原点与曲线相切的直线有且只有1条
【答案】ABD
详解】对于A，，，求导得，
当时， ，函数在上单调递增，
所以当时，，A正确；
对于B，，，求导得，
当时，令，解得：，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，由于，则，所以成立，故B正确；
对于C，由关于的方程有两个不等实根，得有两个不等实根，
整理得，则，即，
令函数，则即为，
函数在R上单调递增，则，即，
由A选项知，，函数在上单调递减，
在上单调递增，，
而时，，时，，
而有两个根，必有，解得，
所以a的取值范围为，C不正确．
对于D，当时,，函数定义域为，求导得，
设切点坐标为，则在处，的切线方程为：
，则，
化简得，当时，，此方程无解；
当时，，此方程无解；当时，，满足要求，
因此方程只有这1个解，即过原点有且仅有一条直线与曲线相切，故D正确；
故选：ABD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．
12. 已知，则______．
【答案】
【详解】由题可得：，
因，所以，则，即，
所以，
故答案为：
13. 已知集合，，且，则______．
【答案】
【详解】解不等式，等价于，即，
解得，所以，
因为，所以不等式解为，
则一元二次方程的两根为，，
，解得，
，解得，
.
故答案为：.
14. 已知函数和的定义域均为，且，，若是偶函数，则______．
【答案】8100
【详解】是偶函数，，
，，
，，
，将换为，，
将和这两个等式相加，
得，
将换为，得，
则有，
得，将换为，得，
的周期为4，
，
，
，
，
，
，
的周期为4，，
，，
，，
，
将和两个式子相加，得，
.
故答案为：8100.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）若函数在处取得极小值，求实数，的值；
（2）讨论函数的单调性．
【答案】（1），；
（2）分类讨论，答案见解析.
【小问1详解】
函数，，
由题意知，，
即，解得，．
此时，，令，得或，
函数在和上单调递增，上单调递减，
所以时，取极小值．
所以，．
【小问2详解】
，令，得，，
当时，时，时，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，，时，时，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增；
综上：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在和上单调递减，在上单调递增．
16. 如图，在四棱锥中，，，，点在上，且，．

（1）若点在上，且满足，求证：平面；
（2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【小问1详解】
在线段上取点，使得，连接，，
因为，所以，，
又，，，所以，，
所以，，所以四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，所以平面．
【小问2详解】
因为，，，，故，，
所以，四边形为平行四边形，故．
因为平面，
而，平面，故，．
所以，，又，
所以，以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则由可得，取，
所以，，
所以
所以直线与平面所成角的正弦值为．

17. 2025年春节假期，文旅市场火爆．文化和旅游部公布的数据显示：春节假期8天，全国国内出游5.01亿人次，同比增长；国内出游总花费6770.02亿元，同比增长．某景区的某网红饮品小店统计了春节假期前7天的营业额（单位：千元），得到与的数据如表所示：
（1）已知与有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测春节假期第8天的营业额；
（2）如果某天营业额大于10（单位：千元），则该天“达标”，从表格中的7组数据中随机选4组，设表示“达标”的数据组数，求的分布列和数学期望．
参考公式：在线性回归方程中，，．
参考数据：，．
【答案】（1），千元
（2）分布列见解析，数学期望为
【小问1详解】
由题意可得：，，
则，，
可知线性回归方程为，
当时，，
所以预测春节假期第8天的营业额为千元．
【小问2详解】
由题意可知的所有可能取值为：2，3，4，
则，，，
所以的分布列为
的数学期望为．
18. 定义在上的函数．
（1）当时，求函数的值域；
（2）当时，若在处取最大值．
①求；
②关于的方程在区间上有两解，，求的值．
【答案】（1）
（2）①2；②.
【小问1详解】
当时，，
因为，，所以，
所以函数的值域为；
【小问2详解】
①当时，，其中，，
当时，函数取得最大值，此时，
所以；
②由题知，，由①知
故方程的两解满足：，即，
且；又由①知，.
所以；
由知，
所以；
所以．
19. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）记的导函数为，若为上的单调函数，求的取值范围；
（3）若函数，求证：存在无数个的值，使得有两个极值点．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）证明见解析.
【小问1详解】
由题知，所以切点为，
又由，得，则切线的斜率为0，
所以切线方程为：；
【小问2详解】
由（1）知，
因为为单调函数，或在上恒成立，
所以的取值范围为：或；
【小问3详解】
函数的定义域为，由知为奇函数，
故可以只考查，求导可得，
当时，恒成立，在上单调递增，
又由为奇函数可知在上单调递增，没有极值；
令，
当时，，由（2）知，当时，
在上单调递减，即在上单调递减，
所以，当时，，可得在上单调递减，
因为，，所以存在，使得，
且当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
再由奇函数可知：在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，函数有两个极值点，，第天
1
2
3
4
5
6
7
营业额
7
9
11
13
16
18
17
2
3
4