2026扬州高邮高三上学期期初学情调研测试数学含解析

这是一份2026扬州高邮高三上学期期初学情调研测试数学含解析，共17页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】由题意得，解得，即，
则；
故选：C.
2. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】，，，
所以.
故选：B
3. 下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】选项A：定义域为，但是值域不是故错误；
选项B：定义域不是，值域为，故错误；
选项C：定义域和值域均为，故正确；
选项D：不满足函数定义，故错误；
故选：C.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若，则，而，故，
所以“”是“”的充分条件.
，则成立，但，
故“”不是“”的必要条件.
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
5. ，，，则的最小值是（ ）
A. 12B. 13C. 16D. 18
【答案】C
【详解】因为，则；
当且仅当时，即时，等号成立，
因此的最小值是16.
故选：C
6. 倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.为了使排放的废水中含有的污染物的浓度下降，某造纸企业引进了一种新的废水净化技术，已知净化前所排放的废水中含有的污染物的浓度为，首次净化后所排放的废水中含有的污染物的浓度为，第次净化后所排放的废水中的污染物的浓度（单位：），依据当地环保要求，企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过，为了使该企业所排放的废水中含有的污染物的浓度达标，则废水净化的次数至少为（ ）
（参考数据：）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】D
【详解】因为，，
所以，解得，
即，
设第次净化后企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过，
则，即，，
所以，
因为，所以废水净化的次数至少为次.
故选：D
7. 已知函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】由，得，所以函数的定义域为，
又，
，
则，所以函数关于对称，
当时，，
由于函数与在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
因为，所以，
即，解得，或.
所以使得成立的的取值范围是.
故选：C
8. 已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足，则（ ）
A. 2B. －4C. 2026D. －4052
【答案】A
【详解】函数的图象关于点对称，则，
即，则当时，
又，则对任意恒成立①，
又是定义在上的奇函数，则②，则，
即，
则，得，即是的一个周期，
由②可得，；由①可得，；
因，则，则，
则，
则.
故选：A
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设为全集，若是两个不相等的非空集合，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【详解】因为，所以，A正确，B错误；
因为，且是两个不相等的非空集合，所以，所以，
又因为，所以，C正确；
因为，所以，D错误；
故选：AC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BCD
【详解】对于A：取，则，故A错误.
选项B：因为，而，故，故B正确.
选项C：由，可得，
则不等式两边均乘以可得，故C正确
选项D：
又，则，
则，则，故D正确.
故选：BCD.
11. 设，函数，则下列说法正确是（ ）
A. 当时，
B. 当时，方程有两个实数根
C. 当时，函数存在最大值
D. 当时，函数在区间上单调递增
【答案】ACD
【详解】选项 A：代入 ，函数为：
当 时，，故 ；
当 时，（等号在 时成立）；
当 时，（因为 ，故 ），故选项 A 正确.
选项 B：当 时，，解得 ；
由于 ，有 ，故 ，满足条件，是一个根；
当 时，，即 ，
由于 ，有 ，故 ，无实数解；
当 时，，即 ，解得 ，
但 ，而 ，不满足条件，故选项 B 错误.
选项 C：当 时，，值域是；
当 时，，这是一个开口向下的抛物线，
在 处取最大值 ；
当 时，，因为 ，所以；
比较各段：在 段，（因为 时 ）；
在 段，；在 段，.
因此，的最大值在 处取，值为 ，故选项 C 正确.
选项 D：当 时，，故函数在区间上单调递增；
当 时，，这是一个开口向下的抛物线，对称轴为： ，
故函数在区间上单调递增；
考虑分段点 ：当时，，
因此，函数在 上单调递增，故选项 D 正确.
故选：ACD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 若“”为真命题，则实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】设，
，即，在上有解，
则，由变形得，
当时，，根据有解，得.
故答案为：.
13. 若关于的一元二次不等式的解集为，则______.
【答案】
【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为，
所以对应的一元二次方程有且仅有一个解，且，
所以，解得，
代入一元二次方程得，解得，所以，
所以，
故答案为：.
14. 对于函数，若在其定义域内存在实数，满足，则称函数为“局部奇函数”，称点和点是函数的一对“局部对称点”，请写出函数的一对“局部对称点”：______；若函数为“局部奇函数”，则实数的取值范围为______.
【答案】 ①. 和 ②.
【详解】设函数的一对“局部对称点”为，
则，即，解得或，
所以函数的一对“局部对称点”为和；
根据局部奇函数的定义，需存在使得，
不妨设，则，可得方程，即，
问题转化为方程在上有解.
令，求导得
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
，当时，，
当，且时，，
，当时，，当时，
因此，
所以实数的取值范围为.
故答案为：和；
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，且.
（1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
解：由不等式，解得，即，
因为是的必要条件，所以，
又因为且，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
【小问2详解】
解：由（1）知：集合，且，
因为，则或，解得或，
又因为，所以实数的取值范围为.
16. 已知函数.
（1）若函数为增函数，求实数的取值范围；
（2）若函数，求函数的单调区间.
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【小问1详解】
因为为增函数，所以在上恒成立，
所以，则，可得.
【小问2详解】
，
所以，
当时，则增区间为，无减区间；
当时，令，则或，令，则，
所以增区间为和，减区间为；
当时，令，则或，令，则，
所以增区间为和，减区间；
综上：
当时，增区间为和，减区间为；
当时，增区间为，无减区间；
当时，增区间为和，减区间为.
17. 已知四边形为直角梯形，其中，，，，为垂足（如图1）.将沿折起，使点移至点的位置，得到四棱锥（如图2），且满足，点分别为的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若平面，试问：棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【小问1详解】
（方法一）由题知，即，且，
因为面，
所以面，因为面，所以，
又由是所在棱的中点，得，所以；
易知四边形是正方形，可知，所以；
又由，且面，所以面，
因为面，所以面面；
（方法二）由知，可以分别以
作为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，
不妨记，设，
可得，
，
记平面的法向量为，可得，
取得，即；
同理可得平面的法向量为；
因为，所以，所以面面；
【小问2详解】
由知，可以分别以
作为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，
不妨记，设，
可得，
则，
因为面面，所以，
故，解得，即；
，
记平面的法向量为，可得
，取得，即；
假设棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，
设，则，
由题知，
解得或4（舍去），即，所以.
18. 为了解居民体育锻炼情况，某市区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查，统计其中岁的400名居民体育锻炼的次数，得到如下的频数分布表：
（1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据所给数据填写下列列联表，并根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
（2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用分层抽样，抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求的分布列与数学期望；
（3）小明每周星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球三种运动项目中选择一种.已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，那么星期天选择跑步的概率分别为，若小明星期天选择跑步，则他星期六也选择跑步的概率为多少？
参考公式：.
附：
【答案】（1）列联表见解析，认为体育锻炼频率的高低与年龄有关；
（2）分布列见解析，；
（3）.
【小问1详解】
提出假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关，
由题得列联表如下：
，
根据小概率值的独立性检验推断不成立，
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关.
【小问2详解】
由数表知，利用分层抽样的方法抽取的7人中，年龄在与内的人数分别为1、2，
依题意，的所有可能取值分别为0、1、2，
，
，
，
所以的分布列为：
所以的数学期望为.
【小问3详解】
记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球分别为事件，星期天选择跑步为事件，
则，，
.
.
19. 已知函数且.
（1）求函数的最大值；
（2）若，求的值；
（3）求证：（其中是自然对数底数）.
【答案】（1）；
（2）；
（3）证明见解析.
【小问1详解】
函数的定义域为，求导得，
由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取得最大值.
小问2详解】
函数的定义域为，求导得，
①当时，恒成立，在单调增，而，不符合题意；
②当时，由，得；由得，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
由恒成立，得，由（1）知，则，解得，
所以.
【小问3详解】
由（1）知，即，则，即，
因此，即，则（当且仅当时取等号），
取，得，则，
所以.
年龄
次数
每周次
75
55
32
58
每周次
20
34
40
30
每周次及以上
8
8
24
16
青年
中年
合计
体育锻炼频率低
体育锻炼频率高
合计
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
青年
中年
合计
体育锻炼频率低
130
90
220
体育锻炼频率高
70
110
180
合计
200
200
400
0
1
2