河北省保定市四校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题含答案含答案解析

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13. 4 14. 或9
15. 已知顶点、、．
（1）求直线BC方程及其在y轴上的截距；
（2）求边BC的垂直平分线l的方程
（3）求的面积．
【答案】（1）；； （2）； （3）.
【小问1详解】
因为、，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
令，得，即直线的方程在y轴上的截距为；
【小问2详解】
由题可知的中点为，直线的斜率为，
线段的垂直平分线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的方程为，即；
【小问3详解】
因为直线的方程为，又，
所以到的距离为，
又，
所以的面积为.
16. 已知椭圆C与双曲线有相同的焦点，且椭圆C经过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l与椭圆C相交于，且的中点为，求直线l的方程.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
由题意可设椭圆方程，焦距为，
易知双曲线焦点坐标为，则椭圆C的焦点坐标为，即，
又椭圆C经过点，
根据椭圆的定义可知：，
所以，
所以，
所以椭圆C的标准方程为；
【小问2详解】
易知点在椭圆内部，设Ax1,y1,Bx2,y2，则
，作差得，
则，
所以，则直线l的斜率为，
由点斜式可知直线l的方程为
所以直线l方程为：.
17．（17分）已知：圆的圆心在第一象限，与轴相切，与轴交于，两点，且，，点在斜率为的直线上．
(1)若直线与圆交于，两点，且，求直线的方程；
(2)若存在圆心在直线上，半径为的圆与圆外切，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)或
【详解】（1）设圆，
根据题意，可得，解得，，
所以圆的标准方程为.
设直线，圆心到的距离，
因为，所以，即，
所以或，
所以直线的方程为或.
（2）若存在圆与圆外切，即存在点使得，
因为到的距离，所以，
所以，即，
所以或.
18. 已知椭圆的两个焦点为和，点为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点为椭圆上一动点，求点到直线距离的最值；
（3）分别过，作平行直线，若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，其中点在轴上方，求四边形的面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为
（3）
【小问1详解】
由题意得，
因为点为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形，
所以，
所以，
所以椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
设与直线平行且与椭圆相切直线方程为，
联立，消得，
则，解得，
平行直线与的距离，
所以，
所以点到直线距离的最大值为，最小值为；
【小问3详解】
由题意可得直线的斜率不为零，
设直线的方程为，则直线的方程为，
联立，消得，
设，
则，
则，
直线之间的距离，
则四边形的面积，
令，则，
故，
当且仅当，即时取等号，
又，所以，所以，
由椭圆的对称性可得四边形的面积，
所以四边形的面积的取值范围为.
19．（17分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分别为左右焦点，短轴长为2，点M为椭圆C在第一象限的动点，△MF1F2的周长为4+23.
(1)求C的标准方程；
(2)若∠F1MF2=60°，求点M的坐标；
(3)若A(-3,0)，直线l:x=ty+1(t>0)交椭圆C于E，F两点，且△AEF的面积为165，求t的值.
【解析】（1）设MF1=m,MF2=n，则m+n=2a，且F1F2=2c，
由题意可知：2b=22a+2c=4+23a2=b2+c2，解得a=2b=1c=3，………………3分
所以椭圆C的标准方程x24+y2=1. ………………4分
（2）由（1）可知：m+n=4，且F1F2=23，………………5分
由余弦定理可得F1F22=m2+n2-2mncs∠F1MF2=m+n2-2mn-2mncs∠F1MF2，
即12=16-2mn-mn，解得mn=43，………………7分
设Mx0,y0,x0>0,y0>0，
由△MF1F2的面积可得12mnsin∠F1MF2=12F1F2⋅y0，
即12×43×32=12×23y0，解得y0=13，………………9分
且x024+y02=1，则x02=4-4y02=329，可得x0=423，………………10分
所以点M的坐标为423,13. ………………11分
（3）因为直线l:x=ty+1(t>0)过定点D1,0，且点D1,0在椭圆C内，
则直线l与椭圆C必相交，设Ex1,y1,Fx2,y2，
联立方程x=ty+1x24+y2=1，消去x可得t2+4y2+2ty-3=0，………………13分
则y1+y2=-2tt2+4,y1y2=-3t2+4，………………14分
可得y1-y2=-2tt2+42+12t2+4=4t2+3t2+4，………………15分
则△AEF的面积为S△AEF=12AD⋅y1-y2=12×4×4t2+3t2+4=8t2+3t2+4=165，………………16分
解得t=1（负值舍去），所以t的值为1. ………………17分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
C
B
A
B
D
D
CD
BCD
题号
11
答案
ACD