河北省保定市十校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题（含答案）

这是一份河北省保定市十校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题（含答案），共12页。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。
2.作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则的离心率为（ ）
A．B．4C．D．2
2．若随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．若数列满足，则称为“对奇数列”．已知为“对奇数列”，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．eC．D．
5．已知在的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则=（ ）
A．B．C．D．
6．若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．抛掷一枚质地均匀的硬币，一直到出现正面向上时或抛满100次时结束，设抛掷的次数为，则随机变量的数学期望（ ）
A．大于2B．小于2C．等于2D．与2的大小无法确定
8．已知函数，方程（）有两个不等实根，则下列选项正确的是（ ）
A．2是的极大值点B．函数无零点
C．a的取值范围是D．，，使
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知随机事件，满足，，，则（ ）
A．事件与事件相互独立B．
C．D．
10．甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ）
A．B．
C．D．
11．设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．展开式中含项的系数为 ．
13．在一个不透明的袋子中装有4个形状大小相同，颜色互不相同的小球．某人先后两次任意摸取小球（每次至少摸取1个小球），假设每次摸到球的各种不同情况等可能，第一次摸取后记下摸到的小球颜色，再将摸到的小球放回袋中；第二次摸取后，也记下摸到的小球颜色．则“两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的概率为 ．
14．已知函数，，若，，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(13分)一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台．
(1)求这2台电脑中至多有1台B品牌电脑的概率；
(2)求这2台电脑中A品牌台数X的分布列及均值和方差．
16．(15分)已知首项为1的等差数列满足：成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列的前项和.
17．(15分)如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．
(1)若为线段中点，求证：平面．
(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
18．(17分)已知椭圆的右焦点为，斜率不为0的直线与交于两点.
(1)若是线段的中点，求直线的方程；
(2)若直线经过点（点在点之间），直线与直线的斜率分别为，求证：为定值.
19．(17分)某新型双轴承电动机需要装配两个轴承才能正常工作，且两个轴承互不影响．现计划购置甲，乙两个品牌的轴承，两个品牌轴承的使用寿命及价格情况如下表：
已知甲品牌使用个月或个月的概率均为，乙品牌使用个月或个月的概率均为．
（1）若从件甲品牌和件乙品牌共件轴承中，任选件装入电动机内，求电动机可工作时间不少于个月的概率；
（2）现有两种购置方案，方案一：购置件甲品牌；方案二：购置件甲品牌和件乙品牌（甲、乙两品牌轴承搭配使用）．试从性价比（即电动机正常工作时间与购置轴承的成本之比）的角度考虑，选择哪一种方案更实惠？
品牌
价格（元/件）
使用寿命（月）
甲
或
乙
或
数学参考答案
12．－60
13．
14．
15．【解】（1）根据题意，这2台电脑全部是品牌的概率为，
所以这2台电脑中至多有1台B品牌电脑的概率为.
（2）依题意，的可能取值为，
则，，，
则的分布列为：
所以，
.
16． 【解】（1）设公差为d，又成等比数列，
所以，
又，即，解得或，
而时，不满足成等比数列，所以，
所以.
（2）令，
所以，
两式相减有：，
所以数列的前项和为，即，
又，所以，
所以.
17．【解】（1）取的中点为，接，则，
而，故，故四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
所以平面.
（2）
因为，故，故，
故四边形为平行四边形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为，
则由可得，取，
设平面的法向量为，
则由可得，取，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为
18．【解】（1）设，则有，
且，作差可得，
所以，
由点斜式得，，
整理得即为直线的方程.
（2）

不妨设的直线方程为，
联立，消去整理得，
由韦达定理得，
所以，
因为，
所以为定值.
19．【解】（1）电动机工作时间不少于个月共有三种情况：
①装入两件甲品牌，概率为；
②装入一件甲品牌，一件乙品牌，且乙品牌的使用寿命为个月，概率为；
③装入两件乙品牌，且两件的使用寿命均为个月，概率为.
电动机可工作时间不少于个月的概率为；
（2）若采用方案一，设电动机可工作时间为（单位：月），则的可能取值为、
，，
所以，的分布列为
，它与购置轴承的成本之比为．
若采用方案二，设两件乙品牌轴承的使用寿命之和为（单位：月），则的可能取值为、、，
，，.
设甲品牌轴承的使用寿命为（单位：月），此时电动机可工作时间为（单位：月），则的可能取值为、、，
，
，
，
所以，的分布列为：
，它与购置轴承的成本之比为
，
，从性价比的角度考虑，方案二更实惠．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
C
C
B
B
D
AD
ABD
题号
11









答案
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