2024~2025学年河南省郑州市金水区七年级（下）期中数学试题（解析版）

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一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列计算正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、∵和不是同类项，∴不能加减，故此答案错误，不符合题意；
B、∵，∴此答案错误，不符合题意；
C、∵，∴此答案错误，不符合题意；
D、∵，∴此答案正确，符合题意．
故选D
2. 华为手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为( )．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】；
故选：D．
3. 如图所示，中边上的高线画法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，过点C作，交的延长线于点H，
则即为所求作的高线．
故选：B．
4. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，它们首尾顺次相接能摆成三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵，，满足三边关系，构成三角形，
∴符合题意；
∵，构不成三角形，
∴不符合题意；
∵，构不成三角形，
∴不符合题意；
∵，与两边之和大于第三边矛盾，
∴D不符合题意；
故选：．
5. 如图，直线被直线所截，下列条件能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、当∠1=∠3时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
B、当∠2+∠4=180°时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
C、当∠4=∠5时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
D、当∠1=∠2时，a∥b，故此选项符合题意；
故选：D
6. 如图，已知，再添加一个条件，仍不能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
当添加时，不能证明，故A选项符合题意；
当添加时，可根据“”证明，故B选项不符合题意；
当添加时，可根据“” 证明，故C选项不符合题意；
当添加时，可根据“” 证明，故D选项不符合题意；
故选：A．
7. 下表列出了一些历史上的数学家所做的“掷质地均匀的硬币”试验的数据：
下列说法正确的是（ ）
A. 随着试验次数的增加，正面朝上的频率越来越小
B. 随着试验次数的增加，正面朝上的频率稳定在附近，我们可以估计“正面朝上”这一事件的概率为
C. 试验50000次正面朝上的频率一定是
D. 当试验次数为5000次时，正面朝上的次数一定等于2500
【答案】B
【解析】A．随着试验次数的增加，正面朝上的频率不一定越来越小，故该选项说法错误，不符合题意；
B．根据在大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近概率，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为 ，故该选项说法正确，符合题意；
C．试验 50000 次正面朝上的频率不一定比试验 10000 次正面朝上的频率更接近 ，故该选项说法错误，不符合题意；
D．当试验次数为 5000 次时，正面朝上的次数不一定等于 2500 ，故该选项说法错误，不符合题意．
故选B．
8. 两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由图可得
∵，
∴
∴
故选：C．
9. 如图，点O是△ABC的重心，连接AO并延长交BC于点D.连接BO并延长交AC于点E,则下列说法一定正确的是（ ）
A. AD是△ABC的高B. BO是△ABD的中线
C. AO是△ABE的角平分线D. △AOE与△BOD的面积相等
【答案】D
【解析】∵点O是△ABC的重心
∴AD、BE是△ABC的中线
∴△ABE的面积=△ABD的面积=△ABC的面积
∴△ABE的面积-△AOB的面积=△ABD的面积-△AOB的面积
即△AOE与△BOD的面积相等
故选：D
10. 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（ ）
A. 205B. 250C. 502D. 520
【答案】D
【解析】设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为
由这两个奇数得到的“幸福数”为
观察四个选项可知，只有选项D中的520能够整除4
即
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 数学实践活动课中，老师布置了“测量小口圆柱形瓶底部内径”的探究任务，某学习小组设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点O固定，现测得C，D之间的距离为，那么小口圆柱形瓶底部的内径____________．

【答案】75
【解析】在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：75．
12. 已知，则代数式的值为______．
【答案】
【解析】
，
∵，
∴，
∴原式
故答案为：．
13. 请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是___________
用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明
【答案】
【解析】由作图方法可知，
在与中，
，
，
，
故答案为：．
14. 图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则的度数为_______________
【答案】
【解析】如图，过点作，
，，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
15. 如图，中，，，．点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于E、作于F，当点P运动______秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等．
【答案】1或或12
【解析】设点运动秒时，以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，分为五种情况：
①如图1，P在上，Q在上，则，，
，，
，
，
，，
，
，
，
即，
；
②如图2，P在上，Q在上，则，，
由①知：，
，
；
因为此时，所以此种情况不符合题意；
③当P、Q都在上时，如图3，
，
；
④当Q到A点停止，P在上时，如图4，，时，解得．
，符合题意；
⑤因为P的速度是每秒1，Q的速度是每秒3， P和Q都在上的情况不存在；
综上，点P运动1或或12秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以Q、F、C为顶点的三角形全等．
故答案为：1或或12．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）用简便方法计算：．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17. 在一个不透明的口袋中装有白、红两种颜色的小球，其中白球个，红球个．它们除了颜色外其他都相同．
（1）从袋中随机摸出个球，求摸出白球的概率．
（2）从袋中随机摸出个球，求摸出红球的概率．
（3）请通过改变袋中红球或白球的数量，使摸到红球和摸到白球的概率相等，
（1）解：根据题意，小球共个，
∴从袋中随机摸出个球，共有种相同可能性的情况，
∵白球个，
∴从袋中随机摸出个球，摸出白球的概率为；
（2）解：从袋中随机摸出个球，共有种相同可能性的情况，
∵红球个，
∴从袋中随机摸出个球，摸出红球的概率为；
（3）解：设向袋中加白球的数量为个（或者去掉个红球），摸到红球和摸到白球的概率相等，答案不唯一，合理即可．
18. 先化简，再求值：，其中，．
解：
，
当时，原式．
19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，三角形的顶点均为格点．在方格纸中，完成下列作图．
（1）过点画的垂线，与交于点；
（2）过点画的平行线；
（3）线段、、中最短的线段是___________，依据___________．
解：（1）如图，直线即为所作；
（2）如图，直线即为所作；
（3）根据垂线段最短得到最短的线段是，
故答案为：，垂线段最短．
20. 如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
（1）证明：平分，，
在和中，，
；
（2）解：，，
，
平分，
，
在中，．
21. 如图，已知，垂足为点，垂足为点F，．请填写的理由．
因为，
所以（ ），
即，
所以（ ），
即 （ ），
因，
所以 （ ），
所以 （ ）．
即．

解：∵，
∴（垂直定义），
∴，
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵，
∴同角的补角相等），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴．
故答案为：垂直定义；同位角相等，两直线平行；3；两直线平行，同旁内角互补；1；3；同角的补角相等；AB；内错角相等，两直线平行．
22. 图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1： 方法2：
（2）观察图②请你写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系． ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决：已知：a﹣b=5，ab=﹣6，求：（a+b）2的值；
解：（1）方法1：∵阴影部分的四条边长都是m-n,是正方形，
∴阴影部分的面积=（m-n）2
方法2：∵阴影部分的面积=大正方形的面积减去四周四个矩形的面积
∴阴影部分的面积=（m+n）2-4mn；
（2）根据（1）中两种计算阴影部分的面积方法可知（m-n）2=（m+n）2-4mn；
（3）由（2）可知（a+b）2=（a-b）2+4ab，
∵a-b=5，ab=-6，
∴（a+b）2=（a-b）2+4ab=52+4×（-6）=25-24=1.
23. 综合与实践
数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系．
问题情境：
已知，在中，，，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，，连接，．
实践探究：
（1）如图是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系：___________，___________；
（2）如图是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（）中的结论是否成立，并说明理由；
拓展应用：
（3）“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，点在射线上运动的过程中，如果，，请直接写出线段的长．
解：（）∵，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
，
故答案为： ，；
（）仍然成立，理由：
∵，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，；
（）当点在上时，如图所示：
由（）证明可知，
∴，
∵，
∴；
当点在延长线上时，如图所示：
由（）证明可知，
∴，
∵，
∴，
综上所述，或．
试验者
试验总次数n
正面朝上的次数
正面朝上的频率
布丰
4040
2048

德・摩根
4092
2048

费勒
10000
4979

皮尔逊
12000
6019

维尼
30000
14994