2026届高三数学一轮复习课件微专题1函数的对称性

这是一份2026届高三数学一轮复习课件微专题1函数的对称性，共36页。PPT课件主要包含了轴对称，中心对称，ABC，三次函数的中心对称，新视角，配套精练，－14等内容，欢迎下载使用。
探究1　一个函数的自对称　　　　　已知函数f(x－1)为偶函数，且函数f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，则关于x的不等式f(1－2x)＜f(－7)的解集为(　　)A．(－∞，3)B．(3，＋∞)C．(－∞，2)D．(2，＋∞)
　　　　因为f(x－1)为偶函数，所以f(x－1)的图象关于y轴对称，则f(x)的图象关于直线x＝－1对称．因为f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，－1]上单调递减．因为f(1－2x)＜f(－7)＝f(5)，所以－7＜1－2x＜5，解得x＜3．
变式1－1　(2024·萍乡期末)已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2]上单调递增，若函数f(x＋2)为偶函数，且f(3)＝0，则不等式xf(x)＞0的解集为(　　)A．(0,3)B．(－∞，0)∪(1,3)C．(－∞，0)∪(3，＋∞)D．(0,1)∪(3，＋∞)
　　　　由函数f(x＋2)为偶函数，可知函数f(x)的图象关于x＝2对称．又函数f(x)在(－∞，2]上单调递增，故函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减．由f(3)＝0，知f(1)＝0，作出函数f(x)的大致图象如图所示．由图可知，当x＜0时，由xf(x)＞0，可得f(x)＜0，则x＜0；当x＞0时，由xf(x)＞0，可得f(x)＞0，则1＜x＜3．综上，不等式xf(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1,3)．
探究2　两个函数的互对称　　　　　(2024·平顶山联考)下列函数中，其图象与函数y＝lg2x的图象关于直线x＝2对称的是(　　)A．y＝lg2(2＋x)B．y＝lg2(2－x)C．y＝lg2(4＋x)D．y＝lg2(4－x)
　　　　设所求函数图象上的任意一点P(x，y)，点P关于x＝2对称的点为Q(4－x，y)，由题意知点Q在y＝lg2x的图象上，可得y＝lg2(4－x)，即函数y＝lg2x关于x＝2对称的函数解析式为y＝lg2(4－x)．
变式1－2　若函数y＝f(1－x)的图象与函数y＝f(2＋x)的图象关于直线x＝m对称，则m＝(　　)
(2) 两个函数的互对称：函数y＝f(x)与y＝－f(2a－x)的图象关于点(a,0)成中心对称．特别地，当a＝0时，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称．推广：两个函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)成中心对称．
变式2　(2024·商洛预测)若y＝f(x＋1)－2为奇函数，则f(－3)＋f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝(　　)A．－14B．14C．－18D．18
　　　　因为y＝f(x＋1)－2为奇函数，所以f(－x＋1)－2＝－f(x＋1)＋2，即f(－x＋1)＋f(x＋1)＝4，故f(x)的对称中心为(1,2)，所以f(－3)＋f(5)＝f(－2)＋f(4)＝f(－1)＋f(3)＝f(0)＋f(2)＝4，又f(1)＋f(1)＝4，即f(1)＝2，所以f(－3)＋f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝4×4＋2＝18．
中心对称与轴对称的应用
　　　(1) (2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则(　　)C．f(2)＝0D．f(4)＝0
　　　　由函数f(x＋2)为偶函数，可得f(2＋x)＝f(2－x)．由函数f(2x＋1)为奇函数，可得f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以f(2－x)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数．因为函数F(x)＝f(2x＋1)为奇函数，所以F(0)＝f(1)＝0，故f(－1)＝f(3)＝f(1)＝0，其他三个选项未知．
　　　(2) (2025·漳州一检)(多选)已知定义在R上的函数f(x)不恒等于0，f(π)＝0，且对任意的x，y∈R，有f(2x)＋f(2y)＝2f(x＋y)f(x－y)，则(　　　)A．f(0)＝1B．f(x)是偶函数C．f(x)的图象关于点(π，0)成中心对称D．2π是f(x)的一个周期
　　　　对于A，根据题意，令x＝y，得f(2x)＋f(2x)＝2f(2x)f(0)，解得f(0)＝1，所以A正确；对于B，令x＝－y，得f(2x)＋f(－2x)＝2f(0)f(2x)＝2f(2x)，所以f(2x)＝f(－2x)，即对任意的x∈R满足f(x)＝f(－x)，即f(x)是偶函数，所以B正确；对于C，令x＋y＝π，可得f(2π－2y)＋f(2y)＝2f(π)f(π－2y)＝0，即f(x)满足f(2π－x)＋f(x)＝0，因此f(x)的图象关于点(π，0)成中心对称，所以C正确；由选项C及f(x)是偶函数，可得f(x－2π)＋f(x)＝0，即f(x)＋f(x＋2π)＝0，所以f(x－2π)＝f(x＋2π)，也即f(x)＝f(x＋4π)，所以4π是f(x)的一个周期，所以D错误．
(1) 如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a＜b)，则函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a)(不一定是最小正周期，下同)．(2) 如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a,0)，B(b,0)(a＜b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a)．(3) 如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心B(b,0)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝4|b－a|．
变式3　(2024·济宁一模)设函数f(x)的定义域为R，f(2x－1)为奇函数，f(x－2)为偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x2－1，则f(2 023)－f(2 024)＝(　　)A．－1B．0C．1D．2
　　　　因为函数f(x)的定义域为R，f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以函数f(x)关于点(－1,0)成中心对称，且f(－1)＝0．因为f(x－2)为偶函数，所以f(x－2)＝f(－x－2)，所以函数f(x)关于直线x＝－2成轴对称．又因为f(x)＝－f(－2－x)＝－f(－2＋x)＝－[－f(－4＋x)]，所以函数f(x)的周期为4．因为当x∈[0,1]时，f(x)＝x2－1，所以f(2 023)＝f(4×506－1)＝f(－1)＝0，f(2 024)＝f(4×506)＝f(0)＝－1，所以f(2 023)－f(2 024)＝1．
　　　(1) 对于定义在D上的函数f(x)，点A(m，n)是f(x)图象的一个对称中心的充要条件是：对任意x∈D都有f(x)＋f(2m－x)＝2n，则函数f(x)＝x3＋2x2＋3x＋4图象的一个对称中心为____________．
　　　(2) 已知a3－3a2＋5a＝1，b3－3b2＋5b＝5，那么a＋b的值是_____．
　　　　由题意知a3－3a2＋5a－3＝－2，b3－3b2＋5b－3＝2，设f(x)＝x3－3x2＋5x－3，则f(a)＝－2，f(b)＝2．因为f(x)图象的对称中心为(1,0)，所以a＋b＝2．
三次函数的对称性  (2) 另外，若y＝f(x)的图象关于点(m，n)对称，则y＝f′(x)的图象关于x＝m成轴对称，点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数，奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
1．(2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)A．－50B．0C．2D．50
　　　　f(x＋4)＝f(－2－x)＝－f(x＋2)＝－f(－x)＝f(x)，所以函数周期为4．因为f(1)＝2，f(2)＝0，f(3)＝－2，f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2．
2．(2024·烟台、德州一模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则f(lg212)＝(　　)
5．(2024·新乡二模)已知函数f(x)满足f(x＋y＋1)＝f(x)＋f(y)，则下列结论一定正确的是(　　)A．f(x)＋1是奇函数B．f(x－1)是奇函数C．f(x)－1是奇函数D．f(x＋1)是奇函数
6．(2024·安庆二模)(多选)已知定义在R上的函数f(x)，满足对任意的实数x，y，均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x＞0时，f(x)＜1，则(　　　)A．f(0)＝1B．f(1)＋f(－1)＝1C．函数f(x)为减函数D．函数y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称
　　　　对于A，令x＝y＝0，则有f(0)＝f(0)＋f(0)－1，故f(0)＝1，故A正确；对于B，令x＝1，y＝－1，则有f(0)＝f(1)＋f(－1)－1，故f(1)＋f(－1)＝2，故B错误；对于C，令y＞0，则有f(x＋y)－f(x)＝f(y)－1，其中x＋y＞x，f(y)－1＜0，令x1＝x＋y，x2＝x，即有对∀x1，x2∈R，当x1＞x2时，f(x1)－f(x2)＜0恒成立，即函数f(x)为减函数，故C正确；对于D，令y＝－x，则有f(0)＝f(x)＋f(－x)－1，又f(0)＝1，故f(x)＋f(－x)＝2，故函数y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称，故D正确．
7．(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x＋1)为奇函数，当x∈[－1，0]时，f(x)＝k·3x－2，则下列结论正确的是(　　　)A．f(x)关于点(1，0)对称B．k＝6C．f(2 026)＝－4D．2是f(x)的一个周期
　　　　因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，因为f(x＋1)是奇函数，所以f(1－x)＝－f(1＋x)，即f(1－x)＋f(1＋x)＝0，故f(x)关于点(1，0)对称，故A正确；因为f(1－x)＋f(1＋x)＝0，令x＝0，得f(1)＝0，从而f(－1)＝f(1)＝0，所以f(－1)＝k×3－1－2＝0，故k＝6，故B正确；因为f(1－x)＝f(x－1)，所以f(x－1)＝－f(x＋1)，f(x＋1)＝－f(x＋3)，即f(x－1)＝f(x＋3)，所以周期T＝4，故D错误；f(2 026)＝f(4×506＋2)＝f(2)，且x∈[－1，0]时，f(x)＝6×3x－2，故f(0)＝6×30－2＝4，在式子f(x－1)＝－f(x＋1)中，令x＝1，得f(0)＝－f(2)，所以f(2)＝－4，故C正确．
8．(多选)已知函数f(x)对∀x∈R都有f(x)＝f(x＋4)＋f(2)，若函数y＝f(x＋3)的图象关于直线x＝－3对称，且对∀x1，x2∈[0，2]，当x1≠x2时，都有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))＞0，则下列结论正确的是(　　　)A．f(2)＝0B．f(x)是偶函数C．f(x)是周期为4的周期函数D．f(3)＜f(－4)
　　　　y＝f(x＋3)的图象关于直线x＝－3对称，故y＝f(x)关于y轴对称，f(x)是偶函数，B正确；在f(x)＝f(x＋4)＋f(2)中，令x＝－2，得f(－2)＝2f(2)，因为f(－2)＝f(2)，所以f(2)＝2f(2)，解得f(2)＝0，A正确；故f(x)＝f(x＋4)，f(x)是周期为4的周期函数，C正确；对∀x1，x2∈[0，2]，当x1≠x2时，都有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))＞0，故f(x)在[0，2]上单调递增，又f(x)是周期为4的周期函数，且f(x)是偶函数，故f(0)＝f(－4)，f(3)＝f(－1)＝f(1)，因为f(1)＞f(0)，所以f(3)＞f(－4)，D错误．
9．若函数f(x)＝(x＋3)(2x2＋mx＋n)对于∀x∈R都有f(2－x)＋f(x)＝0，则2m＋n＝________．
　　　　由对于∀x∈R都有f(2－x)＋f(x)＝0，得函数f(x)图象的对称中心为(1，0)，显然f(－3)＝0，则f(5)＝0，于是f(x)＝2(x＋3)(x－1)(x－5)＝(x＋3)(2x2－12x＋10)，因此m＝－12，n＝10，所以2m＋n＝－24＋10＝－14．
10．(2024·衡水模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(4－x)＋f(x)＝2，若f(x)的图象关于直线x＝4对称，则f(－2)＝_____．
　　　　因为f(4－x)＋f(x)＝2，令x＝2，得2f(2)＝2，所以f(2)＝1．又f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以f(6)＝f(2)＝1．令x＝－2，得f(6)＋f(－2)＝2，所以f(－2)＝2－1＝1．
11．已知定义在R上的两个函数f(x)和g(x)满足f(x)＋g(1－x)＝3，g(x)＋f(x－3)＝3．若y＝g(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(0)＝_____．
　　　　函数g(x)的定义域为R，且y＝g(x)的图象关于点(1，0)对称，所以g(x)＋g(2－x)＝0，所以g(1)＝0，又f(x)＋g(1－x)＝3，当x＝0时，f(0)＋g(1)＝3，所以f(0)＝3．