广东省广州市各区高二2021~2023学年上学期数学期末试题汇编：数列练习+答案

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1．（2021~2022学年广东省广州市荔湾区）数列满足，，则
A．3B．5C．11D．13
【分析】利用数列的递推关系式，逐步求解数列的第三项即可．
【解答】解：数列满足，，
可得，
．
故选：．
【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，是基础题．
2．（2021~2022学年广东省广州市八区）在等差数列中，已知，则数列的前6项之和为
A．12B．32C．36D．72
【分析】由等差数列的性质及等差数列前项和公式求解即可．
【解答】解：在等差数列中，已知，
则数列的前6项之和．
故选：．
【点评】本题主要考查等差数列的性质及前项和公式，考查运算求解能力，属于基础题．
3. （2022~2023学年广东省广州市天河区）数列， ， ， ，……的通项公式可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由分母构成等差数列即可求出.
【详解】数列的分母形成首项为5，公差为2的等差数列，则通项公式为，
所以.
故选：C.
4. （2021~2022学年广东省广州市越秀区）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A. 3盏B. 7盏C. 9盏D. 11盏
【答案】A
【解析】
【分析】设塔的顶层共有盏灯，则数列公比为2的等比数列，利用等比数列前项和公式能求出结果．
【详解】解：设塔的顶层共有盏灯，
则数列公比为2的等比数列，
，
解得，
即塔的顶层共有灯3盏.
故选：A．
5. （2021-2022学年广东省广州市天河区）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的类似问题：把150个完全相同的面包分给5个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使较大的三份面包数之和的是较小的两份之和，则最大的那份面包数为（ ）
A. 30B. 40C. 50D. 60
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得到递增等差数列中，，，从而化成基本量，进行计算，再计算出，得到答案.
【详解】根据题意，设递增等差数列，首项为，公差，
则a1+a2+a3+a4+a5=15014a3+a4+a5=a1+a2
所以5a1+10d=1503a1+9d=42a1+d
解得a1=10d=10
所以最大项.
故选：C
6.（2021-2022学年广东省广州市天河区）数列1，6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出米，故称它们为六边形数，那么第11个六边形数为（ ）
A. 153B. 190C. 231D. 276
【答案】C
【解析】
【分析】细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时联系相关知识,如等差数列、等比数列等，结合图形即可求解.
【详解】由题意知，数列的各项为1，6，15，28，45，...
所以，，，
，，，
所以.
故选：C
7. （2022~2023学年广东省广州市天河区）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则中层共有扇面形石板（ ）
A. 1125块B. 1134块C. 1143块D. 1152块
【答案】B
【解析】
【分析】由等差数列前项和的性质求解．
【详解】记从中间向外每环扇面形石板数为，是等差数列，且公差为，，
设每层有环，则，，
是等差数列，则也成等差数列，
所以，
所以，，
故选：B．
8．（2021~2022学年广东省广州市荔湾区）去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨，则从今年起4年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为 万吨（精确到0.1万吨）（参考数据：，
A．39.4B．51.5C．63.4D．75
【分析】根据已知条件，结合等差数列前项和，等比数列前项和公式，即可求解．
【解答】解：设从今年起每年生活垃圾的总量构成数列，
每年以环保方式处理的垃圾量构成数列，
年内通过填埋方式处理的垃圾总量为，
当时，．
故选：．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查等差数列前项和，等比数列前项和公式，属于中档题．
9. （2021~2022学年广东省广州市越秀区）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则n的最大值为（ ）
A. 18B. 19C. 20D. 21
【答案】C
【解析】
【分析】取，对数列进行前项求和，解不等式即可得到答案；
【详解】取，则，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
n的最大值为，
故选：C.
10. （2022~2023学年广东省广州市六区）已知数列{}满足，，记数列{}前n项和为，则=（ ）
A. 506B. 759C. 1011D. 1012
【答案】A
【解析】
【分析】根据数列递推公式可知，当为偶数时，即可出现分组求和，再利用累加根据等差数列求和公式即可求得结果.
【详解】由递推公式可得，
；
；
；
而
故选：A
11. （2021-2022学年广东省广州市番禺区）在等差数列中，已知，，则使数列的前n项和成立时n的最小值为（ ）
A. 6B. 7C. 9D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列的性质及等差中项结合前项和公式求得，,从而得出结论.
【详解】，，，，，
，,使数列的前n项和成立时n的最小值为10，
故选：D.
12．（2021~2022学年广东省广州市八区）已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，的最大值是
A．8B．9C．10D．11
【分析】依题意，可求得数列与的通项公式，又，可求得，解之可得的最大值．
【解答】解：是以1为首项，2为公差的等差数列，
，
是以1为首项，2为公比的等比数列，
，
，
，
，当时，，不适合题意，
当时，，适合题意，
的最大值是9．
故选：．
【点评】本题考查等差数列、等比数列的通项公式与求和公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
多选题
1. （2021-2022学年广东省广州市番禺区）定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知数列是公积不为0的等积数列，且，前7项的和为14.则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. 公积为1D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据等积数列的定义，可判断A的正误，根据条件，代入数据，可判断B、C的正误，分别讨论n为奇数和偶数，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】设该等积数列的公积为m（m为常数，），
根据等积数列的定义可得，
所以，即，故A正确；
则，
又，则，
又前7项的和为14，则，解得，即公积为2，
所以，故B正确，C错误，
当n为奇数时，当n为偶数时，故D错误
故选：AB
2. （2021~2022学年广东省广州市越秀区）已知数列是首项为，公比为的等比数列，则（ ）
A. 是等差数列B. 是等差数列
C. 是等比数列D. 是等比数列
【答案】AD
【解析】
【分析】由题意得数列的通项公式，然后写出每个选项中对应的数列的通项公式，再判断是等差数列还是等比数列.
【详解】由题意得，所以数列是常数列，故A正确；数列的通项公式为，则，所以数列是公比为的等比数列，B错误；，所以数列是公差为的等差数列，C错误；，所以数列是公比为的等比数列，D正确.
故选：AD
3．（2021~2022学年广东省广州市八区）已知数列中，，，，则下列说法正确的是
A．B．是等比数列
C．D．
【分析】先求出的值，再根据递推公式可得数列的奇数列和偶数列，分别是以3为公比的等比数列，问题得以解决．
【解答】解：，，
，即，
，
，
，
数列的奇数列和偶数列，分别是以3为公比的等比数列，
，，
，故正确；
，故不正确；
，故正确．
故选：．
【点评】本题考查了数列的递推公式，等比数列的应用，考查学生的分析能力与计算能力．属于中档题．
4. （2021-2022学年广东省广州市天河区）已知数列，下列说法正确的是（ ）
A. 若数列为公比大于0，且不等于1的等比数列，则数列为单调数列
B. 若等差数列的前n项和为，，则当时，最大
C. 若点在函数（k，b为常数）的图象上，则数列为等差数列
D. 若点在函数（k，a为常数，，且）的图象上，则数列为等比数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】由等比数列可知，分析首项及可判断A，根据所给条件可知数列，即可判断B，根据等差数列的定义式判断C，由等比数列的定义式判断D.
【详解】对于A，，当首项为负数，时，，数列递减，时，数列递增，同理可分析首项为正数，时，数列递增，数列递减，故数列为单调数列，故正确；
对于B, ，即，又，所以最大，故错误；
对于C，点在函数上，即，所以，
故数列为等差数列，正确；
对于D，点在函数，即，所以，
所以数列为等比数列，正确.
故选：ACD
5．（2021~2022学年广东省广州市荔湾区）以下四个命题中，真命题的是
A．若数列是各项均为正的等比数列，则数列是等差数列
B．若等差数列的前项和为，则数列是等差数列
C．若等差数列的前项和为，且，则
D．若等比数列的前项积为，且，则
【分析】由等差数列与等比数列的性质对四个选项依次判断即可．
【解答】解：对于选项，记正项等比数列的公比为，
则，
故数列是等差数列，故正确；
对于选项，记等差数列的公差为，
则，
则，
故数列是等差数列，故正确；
对于选项，
，
若，则，故错误；
对于选项，
，故正确；
故选：．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的性质综合应用，属于中档题．
6. （2022~2023学年广东省广州市六区）数列满足，，则（ ）
A. 数列是递减数列B.
C. 点()都在直线D. 数列前项和的最大值为32
【答案】AC
【解析】
【分析】根据数列的递推关系式，可判断数列的单调性及，可判断A；又可得数列为等差数列，求得等差数列通项公式，即可判断B,C；由等差数列的前项和公式结合二次函数的性质，即可求得的最大值，可判断D.
【详解】数列满足，，即，所以数列是递减数列，故A正确；
且数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，则点()都在直线上，故B不正确，C正确；
数列的前项和，
又因为，所以时，，时，，则的最大值为，故D不正确.
故选：AC.
7. （2022~2023学年广东省广州市天河区）设数列满足，记数列的前项和为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】依题意当时，求出，再利用作差法得到，即可得到的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前项和即可；
【详解】解：由题意，当时，得，
令，
则当时，
所以，
即．又时，也成立，
∴，故数列的通项公式为，
∴
，即有．
故选：ABD．
8. （2021-2022学年广东省广州市南沙区）如图给出的是一道典型的数学无字证明问题，各矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数字之和等于1.按照图示规律，有网学提出了以下结论，其中正确的起（ ）
A. 矩形块中所填数字构成的是以1为首项，为公比的等比数列
B. 前八个矩形块中所填写的数字之和等于
C. 面积由大到小排序的第九个矩形块中应填写的数字为
D. 记为除了前块之外的矩形块面积之和，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意可得矩形块中的数字从大到小形成等比数列，根据等比数列的通项公式可求得结论．
【详解】解：设每个矩形块中的数字从大到小形成数形，则可得是首项为，公比为的等比数列，故A错误；
所以，前八个矩形块中所填写的数字之和等于，故B正确；
所以由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为，故C错误；
按照这个规律继续下去，前块矩形块面积之和为，故前块之外的矩形块面积之和为，故D正确；
故选：BD．
填空题
1. （2021~2022学年广东省广州市越秀区）已知数列满足，则_______．
【答案】##1.2
【解析】
【分析】直接根据递推公式计算即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以，
，
，
.
故答案为：.
2. （2021-2022学年广东省广州市天河区）已知是数列的前n项和，且，则________；数列的通项公式________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】当时，，推导出，从而数列是从第二项起，公比为的等比数列，进而能求出数列的通项公式，即可求得答案.
【详解】为数列的前项和，①
时，②
①②，得：，
，
，
，
数列的通项公式为.
故答案为：；.
3. （2022~2023学年广东省广州市天河区）在各项均为正数的等比数列{}中，若，则_________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据等比数列的性质计算．
【详解】等比数列各项均为正数，
∴，（负值舍去）
故答案为：2.
4. （2022~2023学年广东省广州市六区）若数列{}为等差数列，，则数列{}的前9项和=__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用等差数列的性质得到，代入数据计算得到答案.
【详解】.
故答案为：
5. （2021-2022学年广东省广州市南沙区）已知等差数列公差不为0，且，，等比数列，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，由，，等比数列，可得，则的值可求．
【详解】解：设等差数列的公差为，
，，等比数列，，
则，得，
．
故答案为：．
6．（2021~2022学年广东省广州市八区）如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中点的个数记为，按此规律，则 15 ， ．
【分析】根据已知的图形中点的个数得出变化规律进而求出即可．
【解答】解：第一图形中有个点，
第二个图形中有个点，
第三个图形中有个点
，
，．
故答案为：15，297．
【点评】此题主要考查了数列的通项公式，根据已知的图形中点数的变化得出规律是解题关键，属于基础题．
7．（2021~2022学年广东省广州市荔湾区）若数列满足，，则 16 ， ．
【分析】计算得到数列周期，得到．
【解答】解：，则，，，，，，，，，，，
故从第7项开始形成周期为3的数列，，故，
故答案为：16；1．
【点评】本题考查数列的递推公式，考查学生的运算能力，属于中档题．
解答题
1. （2022~2023学年广东省广州市天河区）已知数列{}为等差数列，是其前n项和，且，．数列{}中，，．
（1）分别求数列{}，{}的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1），.
（2）
【解析】
【分析】(1)设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式和等差数列的前n项和公式列出方程组，解之即可求出数列的通项公式，由题意可知：数列为等比数列，利用等比数列的通项即可求出数列的通项公式；
(2)结合（1）可得：，利用分组求和的方法即可求解.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，因为，，
则，解得：，所以.
又因为，，所以数列是以1为首项，以为公比的等比数列，则，
故数列{}，{}的通项公式分别为：，.
【小问2详解】
由（1）可知：，
所以
2. （2021-2022学年广东省广州市天河区）已知是等差数列前n项和，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设等差数列的首项、公差，由列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；
（2）由（1）可知，利用裂项相消法可求数列前n项和.
【小问1详解】
依题意：设等差数列的首项为，公差为，则解得
所以数列的通项公式为
【小问2详解】
由（1）可知
因为，所以，
所以.
3．（2021~2022学年广东省广州市八区）在①，，成等差数列；②，，成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．
问题：已知为数列的前项和，，，且 _____．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
【分析】（1）为数列的前项和，，，当时可得为等比数列，选①时求出的值，进而求出的通项公式，
（2）由（1）可得的通项公式，进而求出其前项和的表达式．
同理选②③时，求出的值，同选①一样求出（1）（2）的结果．
【解答】解：（1）为数列的前项和，，，
当时，显然成立，
当时，即，
可得，
所以为等比数列，且公比，
选①，，成等差数列，则，
所以，即，解得，
所以通项公式，
所以数列的通项公式；
（2）由（1）可得，
所以为等差数列，
所以其前项和；
若选②，，成等比数列，则，
解得，所以，
因为所以为等比数列，且公比，
以下同①的解法；
若选③，即，
即，解得，
因为为等比数列，且公比，以下同①的解法．
综上所述：
数列的通项公式；
．
【点评】本题考查求数列的通项公式及等差数列的前项和，属于中档题．
4．（2021~2022学年广东省广州市荔湾区）数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于8，第2项与第4项的和等于9，第1项与第5项的和等于4．求这个数列．
【分析】先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解．
【解答】解：设前三项的公比为，后三项的公差为，则数列的各项依次为，，．于是得
依题意得，解得或，
所以该数列为2，4，8，5，2或18，12，8，，．
【点评】本题考查了等差数列等比数列的综合，属于基础题．
5. （2022~2023学年广东省广州市六区）在等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记为等差数列的前n项和，求使不等式成立的n的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列公式得到，，得到通项公式.
（2）计算，解不等式得到答案.
【小问1详解】
等差数列中，，，故，，
故
【小问2详解】
，，即，解得，
故的最小值为
6. （2021-2022学年广东省广州市南沙区）在数列中，，点在直线上.
（1）求的通项公式；
（2）记的前项和为，且，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由定义证明数列是等差数列，再由得出通项公式；
（2）先由求和公式得出，再由裂项相消求和法求和即可.
【小问1详解】
由题意可知，，所以数列是公差的等差数列
又，所以，故
小问2详解】
，则
故
7. （2021-2022学年广东省广州市番禺区）已知数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据与的关系，分和两种情况，求出，再判断是否合并；
（2）利用错位相减法求出数列的前n项和.
【小问1详解】
，
当时，，
当时，，也满足上式，
数列的通项公式为：.
【小问2详解】
由（1）可得，
①
②
①②得
，
8. （2021~2022学年广东省广州市越秀区）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目．问题：已知是公差为d的等差数列，是公比为的等比数列，且，，____________．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）若选①，则由题意可得1+d+q=51+2d+q2=9，解方程组求出，从而可求出的通项公式，若选②，则由题意可得1+d+q=51+d+q2=1+3d，解方程组求出，从而可求出的通项公式，
（2）由（1）可得，然后利用错位相减法可求出
【小问1详解】
若选①，则由题意可得1+d+q=51+2d+q2=9，由得，代入中化简得，解得（舍去）或，则，
所以，
，
若选②，则由题意可得1+d+q=51+d+q2=1+3d，由得，代入中化简得，解得或（舍去），则，
所以，
，
【小问2详解】
由（1）可得，
所以
，
所以，
所以
，
所以
9. （2021-2022学年广东省广州市天河区）已知数列满足．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）证明见解析，；
（2）Tn=n−23+2n+13,n是偶数−n−8+2n+13，n是奇数.
【解析】
【分析】（1）由得是公差为2的等差数列，再由可得答案.
（2）,分为奇数、偶数，分组求和即可求解.
【小问1详解】
由，得，
故是公差为2的等差数列，
故，由，
故，于是.
【小问2详解】
依题意，，
当为偶数时，
故
，
当 为奇数时，
，
综上，Tn=n−23+2n+13,n是偶数−n−8+2n+13，n是奇数.
10. （2022~2023学年广东省广州市天河区）设数列{}的前n项和为，已知，，且．
（1）求证：；
（2）求．
【答案】（1）证明过程见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，由题可得，，两式子相减可得，即，然后验证当时，命题成立即可；
（2）通过求解数列的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前项和的通项公式.
【小问1详解】
）由条件，对任意，有，
因而对任意，有，
两式相减，得，即，
又，所以，
故对一切，．
【小问2详解】
由（1）知，，所以，
于是数列是首项，公比为3的等比数列，
数列是首项，公比为3的等比数列，
所以，
于是
．
所以.
11．（2021~2022学年广东省广州市八区）已知，，三点共线，其中是数列中的第项．
（1）求数列的通项；
（2）设，求数列的前项和．
【分析】（1）由，，三点共线，可得，从而可得；
（2）由（1）可知，从而利用错位相减法即可求出．
【解答】解：（1），，三点共线，
，
；
（2）由（1）可知，
所以，则，
两式相减得，
所以．
【点评】本题主要考查错位相减求和法，涉及三点共线问题，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．
12．（2021~2022学年广东省广州市荔湾区）已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和．
【分析】（1）设等差数列公差为，列方程求解首项与公差，从而可得通项公式；
（2）利用错位相减法求和．
【解答】解：（1）由题意，设等差数列公差为，
由，所以，即，
又，
即，
解得，
所以；
（2），
所以，①
，②
①②得，，
所以．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，错位相减法求数列的前项和，属于基础题．
13. （2022~2023学年广东省广州市六区）已知数列{}的前n项和为，，.
（1）求证:数列{}是等比数列；
（2）若，，求数列{}的前n项和.
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用得数列的递推关系，从而由等比数列定义得证结论；
（2）由错位相减法求和．
小问1详解】
，时，，相减得：，又，
,,
所以，,
所以是等比数列，首项是9，公比是3；
【小问2详解】
由（1）得，，，
，
则，
相减得，
∴．