吉林省白山市抚松县第十中学2025—2026学年度第一学期第一次月考 九年级数学试卷（含答题卡、答案）

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1．下列方程中是一元二次方程的是 （ ）
A． B． C． D．
2．方程的根的情况是 （ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定是否有实数根
3．用配方法解一元二次方程，此方程可变形为 （ ）
A． B． C． D．
4．对于抛物线，下列说法正确的是 （ ）
A．抛物线的开口向下 B．有最大值，最大值是
C．抛物线的顶点坐标是 D．当时，随的增大而增大
5．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是 （ ）
A． B．C． D．
6．《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七文，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为 （ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每题3分，共15分）
7．一元二次方程的解为 ．
8．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
9．将二次函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后抛物线的表达式为 ．
10．已知函数图象上的三个点，则的大小关系是（从小到大排列） ．
11．如图，已知点、是抛物线上两点，A是抛物线的顶点，P点是轴上一动点，当最小时，P点的坐标是 ，的最小值为 ．
三、解答题
12．（6分）解方程：．
13．（6分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值．
14．（6分）（过程纠错改错）下面是小君同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：二次项系数化为，得，第一步
配方，得，……第二步
变形，得，……………… 第三步
开方，得，………………… 第四步
解得，．…………… 第五步
(1)上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是___________；
(2)上面小君同学的解题过程中，从第___________步开始出现错误，写出正确的解答过程．
15．（7分）国家统计局数据显示，我国快递业务收入逐年增加2020年某公司快递收入为400万元，2022年增长至576万元，假设该公司快递收入每年的增长率相同．
(1)求该公司2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率．
(2)如果该公司业务收入的年平均增长率保持不变，那么2023年该公司快递业务收入应为多少万元？
16．（7分）用长为78米的竹篱笆围一个面积为750平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长45米），另三边用竹篱笆围成，
(1)求鸡场的长与宽各为多少米？
(2)能否围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场？如果能，说明围法；如果不能，请说明理由．
17．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)点为直线上方抛物线上一点，若，求出点的坐标；
18．（8分）某电商在网上对一款汉服进行直播带货，这款汉服每件进价为元．经过市场调研发现：当这款汉服的售价为每件元时，每天可售出件；售价每降低元，日销售量增加件．为尽快减少库存，商家决定降价销售，设每件汉服降价元．
(1)请写出日销售量（单位：件）与之间的函数关系式．（不要求写出的取值范围）
(2)每件汉服降价多少元时，该商家平均每天可盈利元？
(3)该商家希望平均每天能盈利元，这个愿望能实现吗？请说明理由．
19．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计）
已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和．
(1)求喷头喷出的水流的最大高度；
(2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？
20．在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，的长度等于？
(2)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
(3)是否存在t的值，使△BPQ的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．
21．如图，P（m，n）是抛物线y=﹣+1上任意一点，l是过点（0，2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H，PH交x轴于Q．
（1）【探究】填空：当m=0时，OP= ，PH= ；当m=4时，OP= ，PH= ．
（2）【证明】对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．
（3）【应用】当OP=OH，且m≠0时，求P点的坐标．
22．如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点．
(1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴；
(2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2025—2026学年度第一学期第一次月考 九年级数学试卷答案
7．
8．
9．
10．
11．
12．
，
，
∴，
即，．
13．（1）解：根据题意得，
解得：；
（2）解：是方程的一个实数根，
，即，
代入中，得：
，
整理得，，
解得或，
∵；
∴．
14．(1)完全平方公式
(2)二
，
解：移项，得：，
二次项系数化为，得：，
配方，得：，
变形，得：，
开方，得∶，
解得∶，．
15．（1）解：设该公司2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率为，
由题意得：，
解得：或（舍），
答：该公司2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率为；
（2）解：（万元），
答：2023年该公司快递业务收入为万元．
16．（1）解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：鸡场的长为30米，宽为25米；
（2）解：不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场，理由如下：
设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为米，
依题意得：，
整理得：，
∵，
∴该方程没有实数根，
即不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场．
17．（1）解：设抛物线解析式为，
即，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：当时，，
∴，
设直线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为；
∵，
∴，
∴设直线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
解方程组得或，
∴P点坐标为．
18.（1）解：由题意得，，
即；
（2）解：由题意得，，
解得，，
∵要尽快减少库存，
∴，
答：每件汉服降价元时，该商家平均每天可盈利元；
（3）解：不能，理由如下：
由题意得，，
整理得，，
∵，
∴原方程无解，
∴不能平均每天盈利元．
19.（1）解：∵，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和．
∴，
令，易得，
令，得，
可求得，
因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和；
函数的对称轴为直线，
把代入，得
因此A喷头喷出的水流的最大高度是；
（2）解：依题意，函数，
令，得，
因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处．
20．（1）解：由题意，得：，
∴，
∵矩形，
∴，
∴当时，，
解得：或；
（2）存在，理由如下：
∵五边形的面积，
∴当五边形的面积等于时，，
解得：或，
∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，
∴当点到达点时，，
∴，
∴当时，五边形的面积等于；
（3）存在，
∵，
∵，
∴当时，△BPQ的面积最大为．
21．解：（1）当m=0时，P（0，1），OP=1，PH=2﹣1=1；
当m=4时，y=﹣3，P（4，﹣3），OP==5，PH=2﹣（﹣3）=5，
故答案为1，1，5，5；
（2）猜想：OP=PH，
证明：PH交x轴与点Q，
∵P在y=﹣x2+1上，
∴设P（m，﹣m2+1），PQ=|﹣x2+1|，OQ=|m|，
∵△OPQ是直角三角形，
∴OP====m2+1，
PH=2﹣yp=2+m2﹣1=m2+1
OP=PH．
（3）∵OP=PH，
∴当OP=OH，三角形OPH是等边三角形，
∵OQ⊥PH，
∴∠HOQ=30°，
∴OQ=HQ=2，
∴P点的横坐标为±2，
∴P（2，﹣2）或（﹣2，﹣2）．
22.（1）解：∵点A的坐标是，
∴，
∵以原点为中心，把点A顺时针旋转，
∴，
此时点在轴正半轴上，
∴；
∵，
∴对称轴为直线；
（2）∵，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，
∵，
∴当，有最大值为，
∴，
∴；
（3）存在；
∵，
∴当时，，
∴，
设，，
由（1）知：；
当以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况：
①当为对角线时，则为以为顶点的直角三角形，，即轴，，
∴轴，
∴轴，
∴，；
②当以为对角线时，则：，解得，
∴，，
∵，
∴，解得；
∴；
③当以为对角线时，要满足，P，M，N为顶点的四边形是矩形，则需要满足是以为直角的直角三角形，即轴，与题意不符；故此种情况不存在；
综上：或．
题号
1
2
3
4
5
6




答案
A
B
B
D
B
D