湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题

这是一份湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题，共9页。试卷主要包含了直线y＝﹣x+3的倾斜角为，若复数z满足，设点A，过点A等内容，欢迎下载使用。
1．直线y＝﹣x+3的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．若复数z满足：（1﹣i）z﹣3+i＝0，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．设点A（3，﹣3），B（﹣2，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是（ ）
A．k≥1或k≤﹣4B．k≥1或k≤﹣2C．﹣4≤k≤1D．﹣2≤k≤1
4．在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝2，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．12πC．48πD．
5．过点A（1，4）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．x﹣y+3＝0B．x+y﹣5＝0
C．4x﹣y＝0或x+y﹣5＝0D．4x﹣y＝0或x﹣y+3＝0
6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsinB﹣asinA＝5csinC，，则＝（ ）
A．6B．5C．4D．3
7．如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为（ ）
A．3πB．C．D．
8．已知平面α与β所成锐二面角的平面角为70°，P为空间内一定点，过点P作与平面α，β所成的角都是35°的直线l，则这样的直线l有且仅有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
9．已知a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若a∥b，b∥α，则a∥αB．若a⊥α，α∥β，则a⊥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD．若α⊥β，β∥γ，则α⊥γ
10．已知a＞0，b＞0，且2a+b＝ab，则（ ）
A．ab≥8B．C．b＞2D．a＞1
11．若Ox，Oy是平面内两条相交成60°角的数轴，和是x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量，则规定有序数对（x，y）为向量在坐标系xOy中的坐标，记作，设，，则（ ）
A．B．C．D．
12．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，且其体积小于正四面体外接球体积．如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，则下列结论正确的是（ ）
A．勒洛四面体最大的截面是正三角形
B．若P、Q是勒洛四面体ABCD表面上的任意两点，则PQ的最大值可能大于4
C．勒洛四面体ABCD的体积是
D．勒洛四面体ABCD内切球的半径是
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．sin160°cs40°﹣sin250°cs50°＝ ．
14．直线mx+（m+2）y﹣1＝0与直线（m﹣1）x+my＝0互相垂直，则m＝ ．
15．正四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AB＝4，E，F为棱PB，PD的中点，则异面直线AE，BF所成角的余弦值为 ．
16．命题p：“∃x∈[2，8]，mlg2x+1≥0”是真命题，则实数m的取值范围为 ．
四．解答题（共6小题，70分）
17．已知△ABC的三个顶点是A（1，2），B（﹣2，﹣1），C（3，﹣2）．求：（10分）
（1）边AC上的中线BD所在直线方程；
（2）边AC上的高BE所在直线方程．
18．如图，在△ABC中，，D为BC的中点，AD与EF交于G点．设，．（12分）
（1）试用表示；
（2）求．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形．（12分）
（1）若点E是PD的中点，证明：PB∥平面ACE；
（2）若PA＝PD＝AD，∠BAD＝120°，且平面PAD⊥平面ABCD，求二面角P﹣AC﹣D的正弦值．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，，E为AD的中点，点F在棱PB上．（12分）
（1）若，求三棱锥P﹣FAC的体积；
（2）在线段PB上是否存在点F，使得EF∥平面PCD？若存在，求PF：PB的值，若不存在，请说明理由．
21．甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军．已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．（12分）
（1）求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；
（2）求甲获得冠军的概率；
（3）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率．
22．如图，在△ABC中，AB＝2AC，∠BAC的角平分线交BC于D，AD＝kAC．（12分）
（1）求k的取值范围；
（2）已知△ABC面积为1，当线段BC最短时，求实数k．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1-5：CABBD 6-10:ACC
二．多选题（共4小题）
9：BD．10：ACD．11：BCD．12：BD．
三．填空题（共4小题）
13．．14：0或﹣．15：．16：[﹣1，+∞）．
四．解答题（共6小题）
17．解：（1）由题知AC的中点D（2，0），所以直线BD的斜率，
则边AC上的中线BD所在直线的方程为，化简得x﹣4y﹣2＝0．
（2）由题意得直线AC的斜率，且kBE•kAC＝﹣1，所以．
则边AC上的高BE所在直线的方程为，化简得x﹣2y＝0．
18．解：（1）由题意，，，
由于E，G，F三点共线，
所以，，
所以．
（2），
，
，
所以．
19解：（1）证明：连接BD交AC于M，连接EM，
因为底面ABCD是菱形，
所以M为BD的中点，
又点E是PD的中点，
故ME为△DPB的中位线，
故EM∥PB，
而ME⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，
故PB∥平面ACE；
（2）设O为AD的中点，连接PO，因为PA＝PD＝AD，
故PO⊥AD，
因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，
而AC⊂平面ABCD，
故PO⊥AC，
又底面ABCD是菱形，
故AC⊥BD，
作ON∥BD交AM于N，
则ON⊥AC，且N为AM的中点，
连接PN，因为PO∩ON＝O，PO，ON⊂平面PON，
故AC⊥平面PON，
则∠PNO即为二面角P﹣AC﹣D的平面角，
设PA＝PD＝AD＝2，则，
∠BAD＝120°，则∠DAC＝60°，
则，
由于O为AD的中点，N为AM的中点，
故，
而PO⊥平面ABCD，ON⊂平面ABCD，
故PO⊥ON，
所以，
则，
即二面角P﹣AC﹣D的正弦值为．
20解：（1）因为 ，S△ABC＝＝＝3，
所以，
又因为面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，AD⊥CD，AD⊂面ABCD，
所以CD⊥面PAD，
即CD⊥PD，
由于，
故PE＝＝1，PD＝＝，
又因为为AD的中点，所以PE⊥AD，PE＝1，
又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD，
即故dP﹣ABC＝PE＝1，所以三棱锥P﹣FAC的体积为．
（2）存在，PF：PB＝1：2，即F为PB的中点．
证明：当F为PB的中点时，取BC的中点M，连接FM，EM，
因为E为AD的中点，
所以EF∥DC，FM∥PC，
又因为FM，EM⊄面PCD，PC，DC⊂面PCD，故FM∥面PCD，EM∥面PCD，
又因为FM∩EM＝E，所以面EFM∥面PCD，故EF∥面PCD，
综上，当PF：PB＝1：2时，EF∥平面PCD．
21解：（1）甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，
其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，
第6场为决赛，获胜的人是冠军．已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．
乙获连负两场，所以1、4均负，
所以乙获连负两场的概率为．
（2）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：
1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜，
所以甲获得冠军的概率为：P＝（）3+2×（）3×＝．
（3）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：
甲1胜3胜，乙1负4胜5胜；甲1负4胜5胜，乙1胜3胜，
所以甲与乙在决赛相遇的概率为：，
若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种：
乙1胜3胜，丙2胜3负5胜；乙1胜3负5胜，丙2胜3胜，
若考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为：
p＝×××（×+×）+×××（×+×）＝，丁与丙相同，
所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为：．
22．解：（1）设∠BAD＝∠CAD＝α，AC＝b，则AB＝2b，AD＝kb，
由角平分线定理，知，
在△ABD中，由余弦定理得，BD2＝AB2+AD2﹣2AB•ADcsα＝4b2+k2b2﹣4kb2csα，
在△ACD中，由余弦定理得，CD2＝AC2+AD2﹣2AC•ADcsα＝b2+k2b2﹣2kb2csα，
所以4b2+k2b2﹣4kb2csα＝4（b2+k2b2﹣2kb2csα），
化简得3k﹣4csα＝0，即k＝csα，
因为，所以．
（2）因为△ABC面积为1，
所以AB•ACsin2α＝b2sin2α＝1，即b2＝，
在△ABC中，由余弦定理得，BC2＝AB2+AC2﹣2AB•ACcs2α＝5b2﹣4b2cs2α，
所以BC2＝＝＝＝+≥2＝3，
当且仅当，即时，BC取得最小值3，
此时csα＝，
由（1）知，．