【数学】吉林省延边朝鲜族自治州延边州2026届高三上学期9月期初考试试题（学生版+解析版）

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试卷18小题，满分145分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.考查范围：选择性必修第三册、必修第一册和必修第二册第四章.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题：，的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】由题意可得命题：，的否定是，.
故选：C.
2. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，，
所以.
故选：A.
3. 若，则（ ）
A. 6B. 12C. 20D. 30
【答案】D
【解析】设，则，
所以，则，
所以，
所以.故选：D.
4. 若为等差数列的前项和，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，得，
又，则，
所以公差，
故当时，，当时，，
所以当时，最小.
故选：A.
5. 已知集合，，若，则集合的非空子集个数为（ ）
A. 2B. 3C. 7D. 8
【答案】B
【解析】由题意可得，当时，，此时；
当时，或，此时；
所以集合，
所以非空子集的个数为3个.
故选：B.
6. 19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特提出本·福特定律——在大量10进制随机数据中，以数开头的数出现的概率满足，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若，则的最大值为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】C
【解析】由可得，
又，
，
由对数函数的单调性可得，即，所以的最大值为4.
故选：C.
7. 已知，，则的最小值为（ ）
A. 4B. 6C. 12D. 24
【答案】D
【解析】因为，，
则，
当且仅当时取等号，即时.
故选：D.
8. 若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
令，则，
易得，
设，则，分离参数可得
令，
，
易得函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则方程有实根
C. 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是平行四边形
D. 若为无理数，则m，n均为无理数
【答案】AB
【解析】对于A，若，则，所以A符合题意；
对于B，若方程有实根，则需满足，即，可推出，故B符合题意；
对于C，若四边形是平行四边形，则四边形对角线不一定互相垂直，故C不符合题意；
对于D，若，则为有理数，故D不符合题意.
故选：AB.
10. 已知函数，则（ ）
A. 的定义域为B. 在上单调递减
C. 为奇函数D. 无最值
【答案】ACD
【解析】，所以，故A正确；
因在处没有意义，故B 错误；
，则，
所以为奇函数，故C 正确；
，且，
则，
因，则，则，即，
则在上单调递减，
因为奇函数，则在上也单调递减，
当时，；当时，，故函数无最值，
故D选项正确.
故选：ACD.
11. 已知函数的零点为，函数的零点为，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BD
【解析】设，，.
因为是的零点，所以是函数和的图象的交点的横坐标.
因为是的零点，所以是函数和的图象的交点的横坐标.
函数，故将函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，
可得的函数图象，且由于图像的特点可知，的两条渐近线为和，
且关于直线对称，而与的图象也关于直线对称.
因此与图象的交点和与图象的交点关于对称.
画出，，的草图，如图：
由图知，故选项A错误.
交点与关于直线对称，
所以，故选项B正确.
，所以，化简得，故选项C错误.
交点与同样关于直线对称，同理.
因此，故选项D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分.
12. 已知正项等比数列的前项和为，公比为，，则_____.
【答案】1
【解析】因为，所以，即，
因，则得，解得或，
因为，所以，所以不满足条件，
所以.
故答案为：1.
13. 已知函数，则_____.
【答案】
【解析】，.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
14. 已知正项数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和.
【答案】解：（1）当时，，
，
…..
，
累加可得，
即，
易得当也符合上式，所以.
（2）数列的通项为，
所以.
15. 已知二次函数.
（1）若在区间上不单调，求的取值范围；
（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.
【答案】解：（1）为二次函数，对称轴为，
由题意，即，整理得，
解得或，所以的取值范围或；
（2）函数在上是增函数，
若函数在区间上单调递增，
则在上单调递增，且，
于是①或②，
由①，解得，由②可得，
故实数的取值范围是.
16. 已知函数.
（1）证明：函数的图象关于点对称；
（2）若存在正数，使得不等式能成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明：，
，
所以函数的对称中心为.
（2）解：由（1）可知，
所以即，
由复合函数的单调性可得函数在上单调递增，
又，所以原不等式能成立等价于在上能成立，
所以，，
由复合函数的单调性可得在时的值域为，
所以.
17. 记为数列的前项和，为数列的前项和，已知.
（1）证明：为等比数列；
（2）求；
（3）求.
【答案】解：（1）由可得，当，两式相减，可得，又
则
整理可得
当时，
当时，，，解得，
所以，数列是以1为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）可知，,则，
因为，则=－+，化简整理，.
（3）由（2）可知，，
则
设
则
则－，
整理可得：=，则；
设
则，
则，
整理可得：=，
则；
.
18. 已知函数.
（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）当时，证明：；
（3）当时，若，，求的最大值.
【答案】（1）解：时，，
，，，
所以切线方程为.
（2）证明：，
令，
，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
，又，
所以，
故时，.
（3）解：，，
因为，，所以，
令，，
由（2）知在单调递增，在单调递减，
，，，
所以，使得，
则的解即的解为，此时的最大值为1，
当时，，
，
又，
所以时，，单调递减，时，，单调递增，
则，所以时，，
综上，的最大值为1.