【数学】湖北省楚天协作体2026届高三上学期10月月考试题（学生版+解析版）

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一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】命题“”的否定是“”．
故选：C．
2. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，则，
解得，所以，
且，
所以.
故选：D.
3. 已知复数（为虚数单位），则的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，
则，虚部为.故选：C.
4. 已知函数，若，则实数a的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】由，
则，
而，则，即.
故选：B.
5. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】由题意可得，
则.
故选：A.
6. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,
所以，所以
故选：A
7. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，则，
而函数在上单调递减，
则函数在上单调递减，
又，
所以在时恒成立，
故在上单调递减，
所以，则，
即，则，即.
故选：D.
8. 已知定义在上的函数满足，且对，当时都有，若，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为函数满足，所以，
因为对，当时都有，
所以在上单调递增，
所以等价于，
即，，
即，，即，
令，则，
则当时，，仅当时取等号，即在上单调递增，
故，即，
则实数的取值范围为.
故选：A.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 定义域为的函数，且，则
B. 函数的最小值为1
C. 定义域为的函数满足，当时，，则
D. 定义域为的函数，，则
【答案】ABD
【解析】A：由，则，则，即，
有，
即，则对于任意恒成立，故，
故，故A正确；
B：，
当且仅当时等号成立，故B正确；
C：，故C错误.
D：令，则，则，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知将函数的图象向左平移得函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B.
C. 的对称轴为
D. 若函数，则在上有6个零点
【答案】ACD
【解析】；
对A：依题意，，故A正确；
对B：，故B错误；
对C：由，令，，
解得，，故的对称轴为，故C正确；
对D：
，
令，则，
在直角坐标系中分别作出的图象如图所示，
观察可知，它们在上有6个交点，
即在上有6个零点，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，必有两个极值点
B. 过点可以作曲线的3条不同切线，则
C. 若有三个不同的零点，且，则
D. 若有三个不同的零点，则
【答案】ABD
【解析】对于A，由题意得，要使有两个极值点，
故有两个不等实根，所以，即，
所以当时，必有两个极值点，故A正确；
对于B，，设切点为，
在点处的切线方程为，
又切线过点，则，
整理得，即，令，
过点可以作曲线切线条数可转化为与图象的交点个数，
而，令，得或，令，得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
又，，
要使与图象有3个交点，则，故B正确；
对于C，由题意可得
，
则，
又，则，
则，即，故C错误；
对于D，由题意可得，
则，，
同理，
，故D正确.
故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则的定义域为__________.
【答案】
【解析】由，解得且，
则的定义域为，
由，解得且，
则的定义域为.
故答案为：.
13. 已知可导函数的导函数为若对于任意的，都有且，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】构造函数，则，
且，
因为对于任意的，都有，
所以，故函数在R上单调递减，
所以解不等式即，即解，所以，
故不等式的解集为.
故答案为：
14. 外接圆半径为2，三个角的对边分别为若且则__________；的最大值为__________.
【答案】①. ； ②.
【解析】由，
又，
所以，，且.
所以是钝角，且.
再由，得，，且.
所以
（其中）.
所以，当且仅当，时，，取得最大值.
故答案为：；.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数（）的最小正周期为.
（1）求的解析式并求其单调递减区间；
（2）若方程在上恰有3个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【答案】解：（1）由，
则最小正周期，即.
令，
解得，
则单调减区间.
（2）因为，则，
当时，，
若恰有3个不相等的实数根，
则，解得，
则实数的取值范围为.
16. 已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在其定义域一个子集内存在两个极值点，求实数的取值范围并求的极值.
【答案】解：（1）
当时，在上恒大于0，在上恒小于0，
在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上恒大于0，在上单调递增；
当时，在上恒大于0，在上恒小于0，
在上单调递增，在上单调递减.
（2）解法一：函数在其定义域一个子集内存在两个极值点，
则，
解得，则的取值范围.
的极大值，的极小值.
解法二：因为，
①当时，则解得；
②当时，在内不存在两个极值点，所以不符合；
③当时，，则无解.
则函数在其定义域一个子集内存在两个极值点，的取值范围.
的极大值的极小值.
17. 已知正项数列的前n项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求的前项和
【答案】解：（1）当时，，解得.
当时，，.
两式相减得:.
整理得到:
.
.
数列是首项为1，公差为2的等差数列.
.
（2）由（1）得.
则
.
18. 设，是双曲线与x轴的左右两个交点，是双曲线上垂直于x轴的弦的端点，直线与交点为点.
（1）求点轨迹方程.
（2）过点的直线l交曲线Γ于两点，其中点在轴上方.设直线的斜率为，直线的斜率为，探究是否为定值，若为定值，求出定值；若不是定值，说明理由.
【答案】解：（1）设，，由题意可得，
共线，故，①
又共线，故，②
由①②两式相乘，得，（*）
因在双曲线上，则，即，
将其代入（*）式，得，即，
即的轨迹方程为.
（2）由题意可设直线的方程为，
联立，得.
设，则，
即，
则
，为定值.
19. 已知函数（为自然对数的底数）
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）若对记，若，有，求的取值范围；
（3）设，且，证明：.
【答案】（1）解：由，则，
而，则，
所以函数在点处的切线方程为，即.
（2）解：若对，有，
即为：对时恒成立，
当时，不等式恒成立；
当时，不等式等价于，
即为恒成立，
设，则，
设，，则，
因为，所以，
所以在为减函数，则，
所以在为减函数，即，
所以，则的取值范围为.
（3）证明：由（2）知，当且时，，即，
令，得，
因为，所以，
当时，，当时，，
，
以上不等式相加得
，证毕.