2024-2025学年北京市通州区潞河中学九年级（下）开学数学试卷-自定义类型

这是一份2024-2025学年北京市通州区潞河中学九年级（下）开学数学试卷-自定义类型，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.北京大运河博物馆在2024年举办了“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览，为公众揭开了一个丰富多彩的古蜀世界，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力.下列纹饰图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.DeepSeek（深度求索）是一家专注实现AGI的中国科技公司，成立于2023年，总部位于杭州.核心领域覆盖大模型底层技术研发与多行业应用，DeepSeek官方公布其全球用户数量已达到3.2亿.若用科学记数法表示这一数量，以下哪一项是正确的？（ ）
A. 3.2×107B. 32×107C. 3.2×108D. 3.2×109
3.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. b＞-1B. a-b＜0C. a+b＞0D. ab＞0
4.不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ）
A. B. C. D.
5.若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A. -9B. C. D. 9
6.下列多边形中，内角和最大的是（ ）
A. B. C. D.
7.勾股容圆记载于《九章算术》，是关于直角三角形的三边与其内切圆的直径的数量关系的研究.刘徽用出入相补原理证明了勾股容圆公式，其方法是将4个如图1所示的全等的直角三角形（直角边分别为a,b,斜边为c）沿其内切圆圆心与顶点、切点的连线裁开，拼成如图2所示的矩形（无缝隙、不重叠），再根据面积的关系可求出直角三角形的内切圆的直径d（用含a,b,c的式子表示）为（ ）
A. B. C. D.
8.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，c＞0）的自变量x与函数y的部分对应值如表：
给出下面三个结论：
①a＞0；
②m＜0；
③关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别为x1=1，x2=-3.
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
10.分解因式：x2y-y3= ．
11.方程的解为 .
12.如图，直线AB∥EF∥CD，EF分别交AD，BC于点E，F.若AE=1，ED=2，则的值为 .
13.如图，AB为⊙O的直径，△BCD内接于⊙O，若∠D=40°，则∠ABC= °.
14.点A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y=-图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是 .
15.某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：
50.03 49.98 50.00 49.99 50.02
49.99 50.01 49.97 50.00 50.02
当一个工件的质量x（单位：g）满足49.98≤x≤50.02时，评定该工件为一等品.根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是 .
16.如图，在Rt△ABO中，∠AOB=90°，OA=4，OB=3，⊙O的半径为1，P为线段AB上一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接OP交⊙O于点D，连接CD.
（1）当点P与点A重合时，sin∠CPO的值为 ；
（2）当弦CD的长最小时，sin∠CPO的值为 .
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
17.解不等式组：．
四、解答题：本题共11小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题5分)
计算：.
19.(本小题5分)
已知a-b-3=0，求代数式的值.
20.(本小题6分)
如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE=CF．
​​​​​​​
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）若∠BAC=∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．
21.(本小题6分)
造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明.这些发明对人类文明发展产生了深远的影响.某校科技节活动中，计划在如图所示的长100cm,宽40cm的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为640cm2，若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为x cm的彩色纸带，求彩色纸带的宽度.
22.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，1）和B（1，2），与过点（0，4）且平行于x轴的直线交于点C.
（1）求该函数的解析式及点C的坐标；
（2）当x＜3时，对于x的每一个值，函数的值大于函数y=kx+b（k≠0）的值且小于5，直接写出n的取值范围.
23.(本小题5分)
某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.
（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）.对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a.教师评委打分：
86 88 90 91 91 91 91 92 92 98
b.学生评委打分的频数分布直方图如图（数据分6组：第1组82≤x＜85，第2组85≤x＜88，第3组88≤x＜91，第4组91≤x＜94，第5组94≤x＜97，第6组97≤x≤100）：
c.评委打分的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
①m的值为______，n的值位于学生评委打分数据分组的第______组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则 ______91（填“＞”“=”或“＜”）；
（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前.5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k（k为整数）的值为______.
24.(本小题6分)
如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB.
（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC=AD，BF=2，求此圆半径的长.
25.(本小题5分)
鸡蛋是优质蛋白质的来源，富含多种对人体有益的营养成分，某校科学小组连续28天监测了25℃恒温下A品类和B品类鸡蛋品质变化的情况，其中一项监测指标为蛋黄指数（蛋黄指数是反映蛋黄弹性大小和鸡蛋新鲜程度的指标，蛋黄指数越高，蛋黄弹性越大，鸡蛋越新鲜）.当储存时间为x（单位：天）时，A品类鸡蛋的蛋黄指数记为y1，B品类鸡蛋的蛋黄指数记为y2，部分数据如下：
通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画y1与x,y2与x之间的关系，如图所示，在给出的平面直角坐标系xOy中，画出了函数y1，y2的图象.
根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
（1）第______天（结果保留整数）之后，B品类鸡蛋的蛋黄指数大于A品类鸡蛋的蛋黄指数；
（2）当蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第______天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第______天（结果保留整数）起基本失去弹性；
（3）当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n,则n的最大值约为______（结果保留小数点后两位）.
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y=x2-2mx+2上的两点.
（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
（2）对于1≤x1≤3，x2=4m,都有y2＜y1，求m的取值范围.
27.(本小题7分)
在△ABC中，AD⊥BC于点D，，将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE.
（1）如图1，当AD=DC=1时，补全图形，并求DE的长；
（2）如图2，取AE的中点F，连接DF，用等式表示线段DF与AC的数量关系，并证明.
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.对于⊙O的弦AB和点C，给出如下定义：若在⊙O上或其内部存在一点C′使得四边形CAC′B是菱形且AB是该菱形的对角线，则称点C是弦AB的“伴随点”.
（1）如图，点A（0，1），B（1，0）.
①在点C1（2，0），C2（1，1），中，弦AB的“伴随点”是点______；
②若点D是弦AB的“伴随点”且∠ADB=120°，则OD长为______；
（2）已知P是直线y=x上一点，且存在⊙O的弦MN=，使得点P是弦MN的“伴随点”.记点P的横坐标为t,当t＞0时，直接写出t的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】x≠7
10.【答案】y(x+y)(x-y)
11.【答案】x=-1
12.【答案】
13.【答案】50
14.【答案】y1＜y2
15.【答案】160
16.【答案】

17.【答案】解：由2+x＞7-4x，得：x＞1，
由x＜，得：x＜4，
则不等式组的解集为1＜x＜4．
18.【答案】3+4．
19.【答案】1．
20.【答案】证明：（1）在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF．
∴OE=OF，
∴四边形EBFD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠BAC=∠DCA，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴DA=DC，
∵OA=OC，
∴DB⊥EF，
∴平行四边形EBFD是菱形．
21.【答案】解：由题意可得，
（100-5x）（40-2x）=640×4，
解得x1=4，x2=36（不符合题意，舍去），
答：彩色纸袋的宽度为4cm.
22.【答案】解：（1）把点A（0，1），B（1，2）代入y=kx+b（k≠0）得：b=1，k+b=2，
解得：k=1，b=1，
∴该函数的解析式为y=x+1，
由题意知点C的纵坐标为4，
当y=x+1=4时，
解得：x=3，
∴C（3，4）；
（2）由（1）知：当x=3时，y=x+1=4，
因为当x＜3时，函数y=x+n的值大于函数y=x+1的值且小于5，
所以当y=x+n过点（3，4）时满足题意，
代入（3，4）得：4=×3+n,
解得：n=2．
23.【答案】91 4 ＜ 甲 92
24.【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠ADB，∠BAC=∠CDB，
∴∠ADB=∠CDB，
∴BD平分∠ADC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180°，
∴2（∠ABD+∠ADB）=180°，
∴∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°-90°=90°；
（2）解：∵∠BAE+∠DAE=90°，∠BAE=∠ADE，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠AED=90°，
∵∠BAD=90°，
∴BD是圆的直径，
∴BD垂直平分AC，
∴AD=CD，
∵AC=AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=60°
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=∠ADC=30°，
∵CF∥AD，
∴∠F+∠BAD=90°，
∴∠F=90°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠FBC+∠ABC=180°，
∴∠FBC=∠ADC=60°，
∴BC=2BF=4，
∵∠BCD=90°，∠BDC=30°，
∴BC=BD，
∵BD是圆的直径，
∴圆的半径长是4．
25.【答案】11 21 27 0.09
26.【答案】解：（1）∵y=x2-2mx+2
=（x-m）2-m2+2，
∴抛物线的对称轴为直线x=m；
（2）抛物线的对称轴为直线x=m.
∴点（4m,y2）关于对称轴的对称点坐标为（-2m,y2）．
又∴y2＜y1，且抛物线开口向上，
∴当m≥0时，Q（4m,y2）在对称轴的右侧，
∴4m＜1，
∴m，
∴0；
当m＜0时，Q（4m,y2）在对称轴的左侧，P（x1，y1）在对称轴的右侧，
∴-2m＜1，
∴m，
∴-；
综上，m的取值范围是-．
27.【答案】解：（1）如图所示，

取BC的中点M，连接AM、CE、BE，
∵，AD=DC=1，
∴BC=2，
∴，
∴DM=CM-CD=2-1=1，
∴AD=DM，
∵AD⊥BC，AD=DC=1，
∴∠AMC=∠ACM=∠CAD=45°，
∴AM=AC，∠MAC=90°，∠EAC+∠DAE=45°，∠ABM+∠BAM=45°，
∴∠EAC+∠MAE=90°，
由旋转得：∠BAE=90°，AB=AE，
∴∠BAM+∠MAE=90°，
∴∠BAM=∠EAC，
∴∠ABM=∠DAE，
在△BAM和△EAC中，
，
∴△BAM≌△EAC（SAS），
∴BM=EC=2，∠ABM=∠AEC，
∴∠AEC=∠DAE，
∴AD∥CE，
∴CE⊥BC，
∴；
（2），理由如下：
取BC的中点M，连接AM、BE，延长DC至N，使DN=DM，连接EN，延长DF交EN于P，

∴，
∵AD+CD=BC，
∴AD=DM，
∴AD=DN，BM=AD+CD，
∵AD⊥BC，
∴∠AMN=∠ANM=45°，AM=AN，
∴∠MAN=90°，
∵EN⊥BC，
∴∠DNP=∠ADC=90°，AD∥EN，
∴∠DAF=∠PEF，
由（1）同理可证：BM=EN，
∴BM=EP+PN，
∴AD+CD=EP+PN，
∵F是AE的中点，
∴AF=EF，
在△ADF 和△EPF中，
，
∴△ADF≌△EPF（ASA），
∴AD=EP，DF=PF，
∴CD=PN，DF=DP，
在△ADC和△DNP中，
，
∴△ADC≌△DNP（SAS），
∴AC=DP，
∴．
28.【答案】C3 x
…
-2
1
2
…
y
…
c
0
m
…
平均数
中位数
众数
教师评委
91
91
m
学生评委
90.8
n
93
评委1
评委2
评委3
评委4
评委5
甲
93
90
92
93
92
乙
91
92
92
92
92
丙
90
94
90
94
k
x/天
0
7
14
21
28
y1
0.45
0.35
0.26
0.18
0.13
y2
0.45
0.33
0.28
0.26
0.15