第一章 直线与圆【单元能力测试含解析】-高二上学期北师大版数学选择性必修第一册

这是一份第一章 直线与圆【单元能力测试含解析】-高二上学期北师大版数学选择性必修第一册，共11页。
第一章 直线与圆单元能力测试限时120分钟 满分150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2025江西上饶鄱阳二中检测）已知直线l：y=(1+m2)x−1(m为常数，m∈R) ，则直线l 的倾斜角的取值范围为( )A.[π4,π2) B.[π4,π2] C.(π4,π) D.[π4,π) 2.（2025江西上高二中月考）已知a∈R，直线l1:ax+y−12=0 的方向向量与直线l2:(a+3)x+4y+16=0 的方向向量共线，则这两条直线之间的距离为( )A.4 B.8  2 C.4  2 D.2  2 3.（2025江西南昌二中月考）已知a>0,b>0，直线l1:(a−1)x+y−1=0 , l2:x+2by+1=0，且l1⊥l2，则2a+1b 的最小值为( )A.2 B.4 C.8 D.164.（2025江西省三新协同教研共同体联考）已知直线l:sin2α⋅x+y+cos2α=0(α∈R) 与圆C:x2+y2=8相交于A，B两点，则|AB| 的最小值为( )A.2  6 B.6 C.2  7 D.25.（2025安徽江南十校联考）已知圆C的方程为x2+y2−2y−1=0，P(a,b)为圆C 上任意一点，则2a+b−5a−2 的取值范围为( )A.[−1,2] B.(−∞,−1]∪[2,+∞) C.[1,3] D.(−∞,1]∪[3,+∞) 6.（2025江西赣南师大附中月考）若直线l:kx−y−2=0 与曲线C:1−(y−1)2=x−1至少有一个公共点，则实数k 的取值范围是( )A.[43,2] B.[43,4] C.[−2,−43]∪(43,2] D.[43,+∞) 7.（2025北京市丰台区期中）在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，动点B，C 满足|OB|=|OC|=2，OB⋅OC=0，A为线段BC的中点，P为圆(x−3)2+(y−4)2=4 上任意一点，则|AP| 的取值范围是( )A.[2,8] B.[3,8] C.[2,7] D.[3,7] 8.（2024吉林长春二中模拟）如图，边长为4的等边△ABC，动点P 在以BC为直径的半圆上.若AP=λAB+μAC，则λ+12μ 的取值范围是 ( )A.[1,52] B.[12,1] C.[13,65] D.[12,54] 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.（2025江西南昌八中月考）已知直线l1:ax−3y+1=0，l2:x−by+2=0 ，则( )A.若l1//l2，则ab=3 B.若l1⊥l2，则ab=−3 C.若l1与坐标轴围成的三角形面积为1，则a=±16 D.当b0，函数f(x)=&x+2,xa. 设P(x3,f(x3))，Q(x4,f(x4))，其中x30，圆E与x轴交于M,N两点，其中点M在圆C外，且d(M,N)=3，过点M 任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A,B两点，记直线AN为l1，直线BN为l2 ，证明：d(M,l1)=d(M,l2) .参考答案1.A【解析】 设直线倾斜角为θ ，则tan θ=1+m2≥1，又0≤θ0，所以2a+1b=(2a+1b)⋅(a+2b)=2+2+4ba+ab≥4+24ba⋅ab=8 ，当且仅当4ba=ab，即a=12，b=14 时等号成立，所以2a+1b 的最小值为8.4.C【解析】 可知直线l:sin2α⋅x+y+cos2α=0(α∈R)恒过定点P(1,−1) ，由于12+121+2,所以圆O 与圆M相离,所以|AP|的几何意义为圆O与圆M 这两圆上的点之间的距离,所以|AP|max=|OM|+|AO|+|MP|=5+1+2=8 ，如图1. |AP|​min=|OM|−|AO|−|MP|=5−1−2=2,如图2,所以|AP|的取值范围为[2,8] .8.D【解析】 由题意，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，结合已知得A(0,23)，B(−2,0)，C(2,0) ，半圆弧BC⌢的方程为x2+y2=4(y≤0) ，设P(m,n)，则AP=(m,n−23)，AB=(−2,−23) ，AC=(2,−23) ，由AP=λAB+μAC得，&m=−2λ+2μ,&n−23=−23λ−23μ, 解得&λ=−14m−312n+12,&μ=14m−312n+12, 所以λ+12μ=−18m−38n+34 (∗) ，因为P(m,n)在BC⌢上，所以m2+n2=4(n≤0) ，又(2cos θ)2+(2sin θ)2=4 ，则可设m=2cos θ ，n=2sin θ ，π≤θ≤2π（注意确定θ 的范围），将m=2cos θ ，n=2sin θ 代入(∗) 整理得，λ+12μ=−14cos θ−34sin θ+34=−12sin(θ+π6)+34 ，由π≤θ≤2π 得7π6≤θ+π6≤13π6 ，所以−1≤sin(θ+π6)≤12，12≤−12sin(θ+π6)+34≤54 ，故λ+12μ 的取值范围是[12,54] .9.ACD【解析】 由题知，直线l1:ax−3y+1=0,l2:x−by+2=0 ，A(√)当l1//l2时，−ab+3=0，解得ab=3 ；B(×)当l1⊥l2时，a+3b=0，解得ab=−3或a=b=0 ；C((√))在直线l1:ax−3y+1=0 中，当x=0时，y=13，当y=0时，x=−1a ，所以l1与坐标轴围成的三角形面积为S=12×13⋅|−1a|=1，解得a=±16 ；D((√))由题知当b1=r ，故直线3x+4y+7=0与圆相离，结合选项A可知，点P不可能在圆C 上；C((√))结合选项B可知，|PQ|min=d−r=2−1=1 ；D(×)由选项C可知圆C上只有1个点与点P 的距离为1.11.BCD【解析】 A(×)设M(x,y)，由|MO||MA|=12，即x2+y2(x−3)2+y2=12 ，整理得(x+1)2+y2=4 ；B((√))△OAM以OA为底，且M到OA 的最大距离为半径2（三角形底不变，高最大时面积最大），所以△OAM面积的最大值是12×3×2=3 ；C((√))当∠MAO最大时，此时，直线AM与圆(x+1)2+y2=4 相切，取点C(−1,0)，连接CM,则CM⊥AM，且|AC|=4 ，由勾股定理可得|AM|=|AC|2−|CM|2=42−22=23 ；D((√))由题意可得|MA|=2|MO|（阿氏圆上的任意点M满足|MA|=2|MO| ，由此转化，消掉系数，利用三点共线求最值），则|MP|+12|MA|=|MP|+|MO|≥|OP|=32+32=3  2 ，当且仅当M为线段OP与圆C 的交点时，等号成立，如图，所以|MP|+12|MA|的最小值为3  2 .12.(−4  33,0)∪(0,4  33) 【解析】 将方程化为圆的一般方程，利用D2+E2−4F>0 列式求解.若方程ax2+by2+bx−4y+a=0表示一个圆，则a=b≠0，（【关键】x2,y2 系数相等且不为0）方程可化为x2+y2+x−4by+1=0（【易错】利用D2+E2−4F>0 时一定要先将二次项系数化为1），所以1+(−4b)2−4>0，解得−4  33