四川省绵阳市安州中学2026届高三上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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第 I 卷（58 分）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知全集 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D. 1
3. 设向量 ，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 设 ， 是两条不同 直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ， ，则
5. 已知直线 ， ，则“ ”是“直线 与 相交”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 式子 可表示为（ ）
A B. C. D.
7. 已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
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8. 点 A 是曲线 上任意一点，则点 A 到直线 的最小距离为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知函数 ，则下列说法中正确的是（ ）
A. 的最大值为 2 B. 的最小正周期为
C. 的图象关于直线 对称 D. 的图象关于点 对称
10. 若方程 所表示的曲线为 ，则下面四个说法中错误的是（ ）
A. 若 ，则 为椭圆
B. 若 为椭圆，且焦点在 轴上，则
C. 曲线 可能是圆
D. 若 双曲线，则
11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数
分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点
个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列 ，正方形数构成数列 ，则下列说法
正确的是（ ）
A.
B. 1225 既 三角形数，又是正方形数
C. 若 ，则数列 的前 100 项和为
D.
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第Ⅱ卷（92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 记 为等差数列 的前 n 项和．若 ，则 __________．
13. 已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足 f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则 f(e)＝__________.
14. 游乐场某游戏设备是一个圆盘，圆盘被分成红色和绿色两个区域，圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针，
且指针受电子程序控制，前后两次停在相同区域的概率为 ，停在不同区域的概率为 ，某游客连续转动
指针三次，记指针停在绿色区域的次数为 ，若开始时指针停在红色区域，则 ______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列{ }中， =1，前 n 项和 ．
（Ⅰ）求
(Ⅱ)求{ }的通项公式．
16. 如图所示的几何体是一个半圆柱，点 P 是半圆弧 上一动点（点 P 与点 B，C 不重合），E 为弧 的
中点， .
（1）证明： ；
（2）若平面 与平面 所成的锐二面角的平面角为 ，求此时点 D 到平面 的距离.
17. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其
尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
.
（1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 之外的零件数，求
及 X 的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的
生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
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（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9 98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得 ， ，其中 xi 为抽取的第
i 个零件的尺寸， .
用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差 s 作为σ的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生
产过程进行检查？剔除 之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到 0.01）.
附：若随机变量 Z 服从正态分布 ，则 ， ，
.
18. 已知 是抛物线 上一点， 是抛物线的焦点，已知 ，
（1）求抛物线的方程及 的值；
（2）当 在第一象限时， 为坐标原点， 是抛物线上一点，且 的面积为 1，求点 的坐标；
（3）满足第（2）问的条件下的点中，设平行于 的两个点分别记为 ，问抛物线的准线上是否存在
一点 使得， .
19. 已知函数 ， ．
（1）设 ，请判断 是否存在极值?若存在，求出极值；若不存在，说明理由；
（2）当 时，若对于任意 ，不等式 恒成立，求 k 的取值范围．
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