四川省乐山市第一中学2026届高三上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解对数不等式求集合 ，解一元一次不等式求集合 ，再应用集合的并运算求集合.
【详解】由 ，所以 ，
由 ，所以 ，
所以 .
故选：D
2. 在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ，则复数 的虚部为（ ）
A. i B. -i C. 1 D. -1
【答案】D
【解析】
【分析】由复数的几何意义求得复数 的代数形式，进而求得 由复数除法的运算法则，求得复数 ，从
而得到其虚部.
【详解】因为复数 对应的点的坐标为 ，所以 ，所以 .
所以 .
所以复数 的虚部为 .
故选：D .
3. 若 ，则 （ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角公式和弦化切思想即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 .
所以 .
故选：B
4. 如图所示，三棱柱 中， 是 的中点，若 ， ， ，则 ＝（
）
A. ) B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量基本定理，用基底表示向量即可.
【详解】因为
.
故选：B
5. 甲、乙、丙、丁、戊共 5 名同学进行劳动技术比赛，决出第 1 名到第 5 名的名次，且没有出现并列的名
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次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你虽然不是最差的，但你的名次
没有甲的好.”从这两个回答分析，5 人的名次排列情况的种数为（ ）
A. 12 B. 18 C. 27 D. 36
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知共有乙得第 4 名和乙得第 3 名两种情况，分别求出各种情况 种类数，从而可求解.
【详解】由题意可知共有乙得第 4 名和乙得第 3 名两种情况：
当乙得第 4 名，有 种可能；
当乙得第 3 名，有 种可能，
故共有 种，故 B 正确.
故选：B.
6. 求 的展开式中 的系数为（ ）
A. 45 B. 90 C. 120 D. 210
【答案】C
【解析】
【分析】先求出 展开式的通项公式，再利用多项式乘法法则求解.
【详解】二项式 展开式的通项为 ，
所以 的展开式中 的系数等于 展开式中 的系数，即 .
故选：C
7. 已知函数 （其中 ， ， .）的部分图象如图所示，将函数 图
象上所有点向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用周期公式结合函数图象求出 和 的值，即 ，再找一点坐标代入函数解
析式即可求 值，再根据平移变换求出 即可.
【详解】由函数图象可知 ，即 ，解得 ，
函数 的最大值为 ，则 ，
所以函数解析式为 ，
将点 代入解析式得 ，则 ,
解得 ，
又因为 ，所以 时， ，
所以函数解析式为 ，
将函数 图象上所有点向左平移 个单位长度，
得到函数 .
故选：A
8. 已知函数 ， ，若 ，t>0，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先由 ， ，再结合函数函数 的图象可知， ，这样
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转化 ，利用导数求函数 的最大值.
【详解】由题意得， ， ，即 ， ，易得 f(x)在(-∞，-1)上单调
递减，在(-1，+∞)上单调递增，又当 x∈(-∞，0)时，f(x)0，作函数 的图
象如图所示.由图可知，当 t>0 时， 有唯一解，故 ，且 ，
∴ .设 ， 则 ，令 解得 t=e，易得 在(0，e)上
单调递增，在(e，+∞)上单调递减，∴ ，即 的最大值为 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求函数的最值，本题的关键是观察与变形， ，
并且由函数图象判断 ，只有一个零点，所以 ，这样后面的问题迎刃而解.
二、多选题
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 一组数据 的第 百分位数为 17
B. 若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
C. 若线性相关系数 越接近 ，则两个变量的线性相关性越强
D. 对具有线性相关关系的变量 ，其线性回归方程为 ，若样本点的中心为 ，则实
数 的值是
【答案】BCD
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【解析】
【分析】利用百分位数的定义可判断选项 A，利用正态分布的性质可判断选项 B，根据线性相关系数的性质
可判断选项 C，利用线性回归方程中的基本量可判断选项 D.
【详解】对于 A，因为 ，所以第 百分位数为 ，所以选项 A 错误；
对于 B，若随机变量 服从正态分布 ，且 ，
则 ，
则 ，所以选项 B 正确；
对于 C ,若线性相关系数 越接近 ，则两个变量的线性相关性越强，所以选项 C 正确；
对于 D，样本点的中心为 ，所以 ， ，
因为回归直线过样本点的中心，所以 ，解得 .所以选项 D 正确．
故选：BCD.
10. 已知 分别为 内角 的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A. 若 ，则 为等腰三角形
B. 在锐角 中，不等式 恒成立
C. 若 ，且 有两解，则 的取值范围是
D. 若 ， 平分线交 于点 ， ，则 的最小值为 9
【答案】BD
【解析】
【分析】A 项，用余弦定理统一成边形式化简判断；B 项，由 为锐角三角形，与正弦函数的单调性
可得；C 项，结合图形，根据边角的关系与解的数量判断；D 项，根据三角形面积可得到 ，将
变为 ，展开后利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】选项 A，因为 ，即 ，
所以有
整理可得 ，所以 或 ，
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故 为等腰三角形或直角三角形，故 A 错误；
选项 B，若 为锐角三角形，所以 ，所以 ，
由正弦函数 在 单调递增，则 ，故 B 正确.
选项 C，如图，若 有两解，则 ，
所以 ，则 b 的取值范围是 ，故 C 错误．
选项 D， 的平分线交 于点 ， ，
由 ，由角平分线性质和三角形面积公式，
得 ，即 ，得 ，
得 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，故 D 正确.
故选：BD
11. 已知定义在 上的函数 ， 满足 ， ，且
．则（ ）
A. 的图象关于点 对称
B. 是周期函数
C. 在 上单调递增
D.
【答案】ABD
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【解析】
【分析】A 变式得 ，即可得出 ；B 利用对称中心 和对
称轴 即可得出周期；C 利用 的周期性和对称性计算 ，
再计算得 ；D 先计算 ，再利用周期性即可.
【详解】在 ①中，用 代替 ，得 ，
因 ，则 ②，
①②两式相加可得 ，
因此 的图象关于点 对称，故 A 正确；
由 A 选项可知 ，
又 为偶函数，则 ，所以 ，
可得 ，则 ，
所以 ，即 是以 8 为周期的周期函数，故 B 正确；
对于 C，易知 ，则 ，
又 ，所以 ，
则 ，故 C 错误；
对于 D，因 ，
则
，故 D 正确．
故选：ABD．
三、填空题
12. 已知正项等比数列 的前 项和为 ，公比为 ，则 ___________．
【答案】
【解析】
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【分析】根据已知有 ，结合等比数列的前 n 项和及通项公式得 求公比，再由
确定最终值.
【详解】由题设易知 ， ，
即 ，
所以 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ，所以 .
故答案为：2
13. 某种药物作用在农作物上的分解率为 ，与时间 （小时）满足函数关系式 （其中 为非零常
数），若经过 12 小时该药物的分解率为 ，经过 24 小时该药物的分解率为 ，那么这种药物完全分
解，至少需要经过_____________小时（参考数据： ）
【答案】52
【解析】
【分析】根据题意建立方程组，可求得 ， ，即得 ，再结合对数 运算性质化
简，代值估算即得.
【详解】 经过 12 小时该药物的分解率为 ，经过 24 小时该药物的分解率为 ，
，解得 ， ，则 ，
当这种药物完全分解，即 时，得 ，得 ，
即 ，两边取对数得
.
故答案为：52.
14. 已知函数 ，函数 ．若 有四个不同的零点
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，则 的取值范围为___.
【答案】
【解析】
【分析】利用函数与方程的思想，将 有四个不同的零点转化为函数 与 有四个不同
的交点 ，作出图象，求得 ，利用对称性得 ，根据函数 的图象特征
可得 ， ，借助于对勾函数的单调性即可求得 的取值范围.
【详解】
由函数 有四个不同的零点 ，可知函数 与 有四个不同的交
点 ，
设这四个交点的横坐标从小到大依次为 ，如图所示，则 ，可得 ，
因点 关于直线 对称，故 ；
由 可得 ，
则有 ，且 ，即得 ，
于是， ，
因函数 在 上单调递减，故可得 ，
则 的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题
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15. 已知函数 .
（1）求 的对称轴；
（2）将 的图象向右平移 个单位得到 的图象，求函数 的单调增区间．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）应用二倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，根据正弦函数的性质求对称轴；
（2）由图象平移写出 ，再由正弦函数的单调性求单调增区间.
【小问 1 详解】
因为 =
当 时，即对称轴为 .
【小问 2 详解】
由（1）得 ，
将 的图象向右平移 个单位得 ，
由 ，得 ，
即函数 的单调增区间为 .
16. 已知数列 ， 为 的前 n 项和， ， ， .
（1）证明： 是等比数列；
（2）设 ，求数列 的前 n 项和为 .
【答案】（1）证明见解析
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（2）
【解析】
【分析】（1）根据等比数列的定义得数列 为第二项起为等比数列，由等比数列的通项公式可得答
案；
（2）由（1）得 运用错位相减法可得.
【小问 1 详解】
当 时， ，
当 时， 由 ， 可得 ，
两式相减可得， ，
即有 ，
即为数列 为第二项起为等比数列,
又
数列 为以 为首项，等比数列为 的等比数列.
【小问 2 详解】
由（1）得 ， ， 可得 ，
则 ,,
即有前 项和为 ，
，,
两式相减可得， ，
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化简可得 .
17. 如图甲所示，四边形 为正方形， ，S 为 的中点.将 沿直线 翻折使
得 平面 ，如图乙所示.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成二面角 余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直得到 ，又 ，从而 平面 ，得到面面垂直；
（2）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，进而建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法
向量，从而得到二面角的余弦值.
【小问 1 详解】
证明：因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
【小问 2 详解】
取 PQ 的中点为 O，MN 的中点为 E， 为等边三角形，则 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，如图建立空间直角坐标系，
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设 ，则 ， ， ，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，所以 ，显然平面 的法向量为 ，
设平面 与平面 所成二面角为 ，从图中可以看出 为锐角，
则 .
18. 某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满 元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：
一个袋子装有 只形状和大小均相同的玻璃球，其中两只是红色，三只是绿色，顾客从袋子中一次摸出两只
球，若两只球都是红色，则奖励 元；共两只球都是绿色，则奖励 元；若两只球颜色不同，则不奖励．
（1）求一名顾客在一次摸奖活动中获得 元的概率；
（2）记 为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额，求随机变量 的分布列和数学期望．
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据古典概型概率计算公式可求得结果；（2）分别求出一名顾客摸球中奖 元和不中奖的概
率；确定 所有可能的取值为： ， ， ， ， ，分别计算每个取值对应的概率，从而得到分布
列；利用数学期望计算公式求解期望即可.
【详解】（1）记一名顾客摸球中奖 元为事件
从袋中摸出两只球共有： 种取法；摸出的两只球均是红球共有： 种取法
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（2）记一名顾客摸球中奖 元为事件 ，不中奖为事件
则： ，
由题意可知， 所有可能的取值为： ， ， ， ，
则 ； ；
； ；
随机变量 的分布列为：
【点睛】本题考查古典概型概率问题求解、离散型随机变量的分布列和数学期望的求解，关键是能够根据
通过积事件的概率公式求解出每个随机变量的取值所对应的概率，从而可得分布列.
19. 已知函数 .
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 时， ，求 的取值范围；
（3）若 ，证明： .
【答案】（1） 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）当 时， ，利用导数求其单调区间；
（2）依题意，当 时， 成立，利用导数结合单调性进行证明；
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（3）令 ， ，则 ，用此不等式对待证不等式左边各项放缩，并利用不等式的
基本性质即可证得.
【小问 1 详解】
当 时， .
所以， .
所以，当 时， ， 单调递增.
当 时， ， 单调递减.
综上， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
【小问 2 详解】
当 ， 成立，等价于当 时， 成立.
因为 ，设 ，则 .
所以， 单调递减，即 单调递减.
当 时， .所以 ， 单调递减， ，符合题意.
当 时， ，所以存在 ，使得当 时， .
此时 单调递增， ，不符合题意.
综上 .
【小问 3 详解】
由（2）知，当 时，对任意 ，都有 ，
即 成立，令 ， ，
则 .
当 时， .
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所以， .
当 时， .
综上， .
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