湖南汨罗第一中学2023~2024学年高一下册7月期末数学试卷[附解析]

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1. 复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 在复平面内，非零复数 z 满足 （i 为虚数单位），则复数 z 对应的点在（ ）
A. 一、三象限 B. 二、四象限
C. 实轴上（除原点外） D. 坐标轴上（除原点外）
3. 已知 是空间的一个基底，若 ， ，则下列与 ， 构成一组空间基底的是（
）
A. B.
C. D.
4. 已知 的顶点坐标分别是 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 12 名跳高运动员参加一项校际比赛，成绩分别为 1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.59，1.60，1.67，1.74，
1.78，1.55，1.75（单位：m），则比赛成绩 75%分位数是（ ）
A. 1.72 B. 1.73 C. 1.74 D. 1.75
6. 在 中， ， ，平面内一点 O 满足 ，则向量 在向量 上
的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，半球内有一内接正四棱锥 ，该四棱锥的体积为 ，则该半球的体积为（ ）
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A. B. C. D.
8. 甲、乙两人各有一枚质地均匀的硬币，甲抛掷 2 次，乙抛掷 3 次，事件 “甲抛掷的两次中第一次正
面朝上”，事件 “甲抛掷的两次硬币朝上的面相同”，事件 “甲得到的正面数比乙得到的正面数
少”，则下列说法正确的是（ ）
A B.
C. D.
二．多选题（共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
9. （多选）下列命题中，正确的是（ ）
A. 在 中， ，则
B. 在锐角 中，不等式 恒成立
C. 在 中，若 acsA＝bcsB，则 必是等腰直角三角形
D. 在 中，若 ， ，则 必是等边三角形
10. 已知复数 z，w 均不为 0，则下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知平面向量 ， ，则下列说法正确 是（ ）
A. B.
C. 向量 与 的夹角为 60° D. 向量 在 上的投影向量为 2
12. 在 中，内角 所对 边分别为 ，已知 ， 为线段 上
一点，则下列判断正确的是（ ）
A. 为钝角三角形
B. 的最大内角是最小内角的 2 倍
C. 若 为 中点，则
D. 若 ，则
三．填空题（共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
13. 某学校有男生 400 人，女生 600 人.为了调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样
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本，计算得男生每天睡眠时间均值为 7.5 小时，方差为 1，女生每天睡眠时间为 7 小时，方差为 0.5.若男、
女样本量按比例分配，则可估计总体方差为__________.
14. 在如图所示的圆锥中，AB 为底面圆 O 的直径，C 为 的中点， ，则异面直线 AP 与
BC 所成角的余弦值为______．
15. 如图，已知正三棱柱 的底面边长为 ，高为 ，一质点自 点出发，沿着三棱柱
的侧面绕行一周到达 点的最短路线的长为______________ .
16. 已知 ， 是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量 ，有且只有一对实数 x，y 使
，且当 P，A，B 共线时，有 ．同样，在空间中若三个向量 ， ， 不
共面，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的一组实数组 ，使得 ，
且当 P，A，B，C 共面时，有 ．如图，在四棱锥 中， ， ，点
E 是 棱 PD 的 中 点 、 PC 与 平 面 ABE 交 于 F 点 ， 设 ， 则 ______；
______．
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四．解答题（共 5 小题，共 70 分）
17. 已知 是平面内两个不共线的非零向量， ，且
三点共线．
（1）求实数 的值；
（2）已知 ，点 ，若 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点 A
的坐标．
18. 如图，在直三棱柱 中， ，D 为 BC 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若三棱柱 的体积为 ，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
19. 某地统计局就该地居民的月收入调查了 10000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分
组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在 .
（1）求居民月收入在 的频率；
（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；
（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这 10000 人中用分层抽样方法抽
出 100 人作进一步分析，则月收入在 的这段应抽多少人？
20. 龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出 10 和 K 共 8 张牌（每
个数字四个花色：红桃（红色）、方块（红色）、黑桃（黑色）、梅花（黑色））．现从 8 张牌中依次取出 2 张，
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抽到一张红 10 和一张红 K 即为成功．现有三种抽取方式，如下表：
方式① 方式② 方式③
按数字等比例分层 抽取规则 有放回依次抽取 不放回依次抽取
抽取
成功概率
（1）分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率；
（2）若三种抽取方式小明各进行一次，
（i）求这三次抽取中至少有一次成功的概率；
（ii）设在三种方式中仅连续两次成功 概率为 p，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，
什么样的顺序使概率 p 最大？如果无关，请给出简要说明．
21. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601－1665）于 1643 年提出的平面几何极值问题：“已知
一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已
知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC 的三个内角均小于 120°时，则使得
的点 P 即为费马点．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 ，且
．若 是 的“费马点”， ．
（1）求角 ；
（2）若 ，求 的周长；
（3）在（2）的条件下，设 ，若当 时，不等式 恒
成立，求实数 的取值范围．
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