江苏省连云港高级中学2025~2026学年高三上册第二次学情检测（10月）数学试卷（含答案）

这是一份江苏省连云港高级中学2025~2026学年高三上册第二次学情检测（10月）数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了复数z＝﹣2i，已知角α的终边经过点P，已知函数f，已知实数a、b、c满足，设a∈R，函数f等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共8小题，每小题5分）
1．设全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合M＝{1，3，4}，N＝{0，3，5}，则M∪（∁UN）＝（ ）
A．{0，5}B．{1，2，3，4}C．{1，2，3，4，5}D．U
2．复数z＝﹣2i（﹣2+i）的虚部为（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
3．若x∈R，下列选项中，使“x2＜1”成立的一个必要不充分条件为（ ）
A．﹣2＜x＜1B．﹣1＜x＜1C．0＜x＜2D．﹣1＜x＜0
4．已知角α的终边经过点P（2，1），则sin（α+π2）的值为（ ）
A．−55B．−255C．55D．255
5．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x﹣2x，则f（﹣3）＝（ ）
A．−478B．﹣2C．0D．498
6．自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖．假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：N(t)=N0ert，其中N0为种群起始个体数量，r为增长系数，N（t）为t时刻的种群个体数量．当t＝3时，种群个体数量是起始个体数量的2倍．若N（4）＝150，则N（10）＝（ ）
A．300B．450C．600D．750
7．已知圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A．162πB．162π3C．322πD．322π3
8．已知实数a、b、c满足：2a=(13)b=lg2c，则下列关系不可能成立的是（ ）
A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．a＜c＜bD．b＜c＜a
二．多选题（共3小题，每小题6分）
9．已知正实数a，b满足a+b≥2，则（ ）
A．ab≥1B．a2+b2≥2C．1a+1b≥2D．2a+2b≥4
10．设a∈R，函数f（x）＝﹣x3+ax﹣2，则下列说法正确的有（ ）
A．当a＜0时，函数f（x）为增函数
B．点（0，﹣2）为函数y＝f（x）图象的对称中心
C．存在a，使得函数f（x）有且仅有一个极值点
D．函数f（x）至少有一个零点
11．已知定义在R上的函数f（x），且f(1)=12，若f（x﹣y）＝2f（x）f（y）﹣f（x+y），则（ ）
A．f（0）＝1B．f（x）是偶函数
C．f（x+3）是奇函数D．f(2024)=−12
三．填空题（共2小题，每小题5分）
12．计算：1.10+eln2﹣0.5﹣2+lg25+2lg2＝ ．
13．已知tanα＝3，则sinα•csα＝ ．
14．设a＞0，已知函数f（x）＝ex﹣aln（ax+b）﹣b，若f（x）≥0恒成立，则ab的最大值为 ．
四．解答题（共5小题）
15．(本题满分13分)某学校为了研究学生的数学成绩与物理成绩是否有关联，随机抽取了500名学生的成绩数据，得到如下2×2列联表：
单位：人
（1）记数学成绩优秀者中物理成绩不优秀的概率为P，求P的值；
（2）依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为学生的数学成绩与物理成绩有关系？
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．
临界值表：
16．(本题满分15分)已知{an}，{bn}均为等差数列，且an﹣bn＝2，a1＝b2＝3．
（1）求{an}，{bn}的通项公式； （2）求数列{1anbn}的前n项和Sn．
17．(本题满分15分)如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2AD，点E是棱CC1的中点．
（1）求证：AC1∥平面BDE；
（2）求直线BC1与平面BDE所成角的正弦值．
18．(本题满分17分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为22，短轴长为23．
（1）求C的方程；
（2）若直线l：y＝x+t与C交于M，N两点，O为坐标原点，△OMN的面积为43，求t的值．
19．(本题满分17分)已知函数f（x）＝alnx﹣（a+2）x+x2．
（1）当a＝1时，求函数f（x）在x＝1处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若对于任意a∈[4，10]，x1，x2∈[1，2]，恒有|f(x1)−f(x2)x1−x2|≤λx1x2成立，试求λ的取值范围．
2025-2026学年第一学期第二次学情检测
高三数学试题 答案
一．选择题（共8小题）
二．多选题（共3小题）
三．填空题（共3小题）
12．1 13． 310． 14．e2．
四．解答题（共5小题）
15．解：（1）数学成绩优秀者有250人，在这250人中物理成绩不优秀的有160人，
所以P=160250=1625；
（2）零假设为H0：学生的数学成绩与物理成绩无关联，
χ2=500×(90×190−60×160)2150×350×250×250=500×7500×7500150×350×250×250≈8.571＞6.635=x0.01
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为学生的数学成绩与物理成绩有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01．
16．解：（1）由{an}，{bn}均为等差数列，且an﹣bn＝2，a1＝b2＝3，
可得a2＝b2+2＝5，b1＝a1﹣2＝1，
则{an}是首项为3、公差为5﹣3＝2的等差数列，
{bn}是首项为1、公差为3﹣1＝2的等差数列，
故an＝3+2（n﹣1）＝2n+1，bn＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．
（2）1anbn=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
则Sn=12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=n2n+1．
17．解：（1）证明：连接AC与BD交于点O，连接OE，
则O为AC的中点，又点E是棱CC1的中点，所以OE∥AC1，
又AC1⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，
所以AC1∥平面BDE；
（2）以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设AA1＝2a，则AB＝AD＝a，
则点C1（0，a，2a），B（a，a，0），D（0，0，0），E（0，a，a），
则DB→=(a，a，0)，DE→=(0，a，a)，BC1→=(−a，0，2a)，
设平面BDE的法向量为m→=(x，y，z)，
则m→⋅DB→=(x，y，z)⋅(a，a，0)=ax+ay=0m→⋅DE→=(x，y，z)⋅(0，a，a)=ay+az=0，得x=−yz=−y，
令y＝1，得平面BDE的一个法向量为m→=(−1，1，−1)，
设直线BC1与平面BDE所成角的大小为θ，
则sinθ=|BC1→⋅m→|BC1→||m→||=|(−a，0，2a)⋅(−1，1，−1)5a×3|=1515，
故直线BC1与平面BDE所成角的正弦值是1515．
18．解：（1）设椭圆C的半焦距为c，
则a2=b2+c2e=ca=222b=23，解得a=6，b=3，c=3，
所以椭圆C的方程为x26+y23=1．
（2）联立y=x+tx26+y23=1，消去y得：3x2+4tx+2t2﹣6＝0，
其判别式Δ＝（4t）2﹣4×3×（2t2﹣6）＝﹣8t2+72，
由Δ＞0，得t2＜9，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=−4t3，x1•x2=2t2−63，
所以|MN|=1+12，(−4t3)2−4×2t2−63=223⋅18−2t2，
又原点O（0，0）到直线MN的距离d=|0−0+t|12+(−1)2=|t|2，
所以△OMN的面积S=12×|MN|×d=12×223⋅18−2t2×|t|2=43，
整理得t4﹣9t2+8＝0，即（t2﹣1）（t2﹣8）＝0，
解得t＝±1或t＝±22，均满足t2＜9，
故t的值为±1或±22．
19．解：（1）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣3x+x2，∴f'（x）=1x−3+2x，f（1）＝﹣2，
∴f（x）在x＝1处的切线斜率k＝f'（1）＝0，
∴f（x）在x＝1处的切线方程为y＝﹣2．
（2）函数的定义域为（0，+∞），
f'(x)=ax−(a+2)+2x=2x2−(a+2)x+ax=(2x−a)(x−1)x，
当a≤0时，函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
当0＜a＜2时，函数在(0，a2)，(1，+∞)上单调递增，在(a2，1)上单调递减；
当a＝2时，函数的（0，+∞）上单调递增；
当a＞2时，函数在(0，1)，(a2，+∞)上单调递增，在(1，a2)上单调递减．
（3）|f(x1)−f(x2)x1−x2|≤λx1x2恒成立，即|f(x1)−f(x2)|≤λ|1x1−1x2|恒成立，
不妨设x2＞x1，因为当a∈[4，10]时，f（x）在[1，2]上单调递减，
则f(x1)−f(x2)≤λ(1x1−1x2)，可得f(x1)−λx1≤f(x2)−λx2，
设g(x)=f(x)−λx=alnx−(a+2)x+x2−λx，
∴对于任意的μ∈[4，10]，x1，x2∈[1，2]，x2＞x1，g（x1）≤g（x2）恒成立，
∴g(x)=f(x)−λx在[1，2]上单调递增，
g'(x)=(2x−a)(x−1)x+λx2=2x3−(a+2)x2+ax+λx2≥0在x∈[1，2]上恒成立，
∴2x3﹣（a+2）x2+ax+λ≥0在x∈[1，2]上恒成立，
即a（﹣x2+x）+2x3﹣2x2+λ≥0在x∈[1，2]上恒成立，
∵当x∈[1，2]时，﹣x2+x≤0，
∴只需10（﹣x2+x）+2x3﹣2x2+λ≥0在x∈[1，2]上恒成立，
即2x3﹣12x2+10x+λ≥0在x∈[1，2]上恒成立，
设h（x）＝2x3﹣12x2+10x+λ，则h（2）＝﹣12+λ≥0，
∴λ≥12，故实数λ的取值范围为[12，+∞）．
物理成绩
数学成绩
合计
优秀
不优秀
优秀
90
60
150
不优秀
160
190
350
合计
250
250
500
α
0.05
0.01
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
A
D
B
C
B
D
题号
9
10
11
答案
BD
BD
ABD