2025-2026学年山东省菏泽市牡丹区文贤高级中学高二上学期数学期中模拟试卷（一）（含答案）

这是一份2025-2026学年山东省菏泽市牡丹区文贤高级中学高二上学期数学期中模拟试卷（一）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线x+ 3y-1=0的斜率为( )
A. 3B. - 3C. 33D. - 33
2.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为 22，则该椭圆的方程为( )
A. x24+y22=1B. x24+y2=1C. x216+y28=1D. x28+y216=1
3.圆(x-2)2+y2=4与直线x-y-2+ 2=0相交所得弦长为( )
A. 1B. 2C. 2 3D. 2 2
4.已知双曲线C:x24-y28=1的左、右焦点分别为F1、F2，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若F1A=2F1B，则|AB|=( )
A. 4 7B. 2 7C. 4 3D. 4
5.已知椭圆方程x24+y23=1，过左焦点F1 的直线与椭圆交于A，B两点，连接AF2,BF2，则三角形ABF2的周长为( )
A. 8B. 10C. 12D. 14
6.已知函数f(x)=- 4x-x2-3-2的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y=-1的对称点在y=kx-1的图象上，则k的取值范围是( )
A. 1,43B. 0,43C. 1,43D. 0,43
7.已知直线y=2x+m与椭圆C:x25+y2=1相交于A,B两点，则线段AB的中点M的轨迹必经过点( )
A. 1,-14B. -1,14C. 1,-110D. -3,310
8.已知点F1、F2是椭圆B:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点F1关于∠F1MF2的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若cs∠F1MF2=79，则椭圆B的离心率为( )
A. 36B. 33C. 1025D. 105
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的有( )
A. 已知直线l1：x+ay-a=0，l1始终过定点(0,1)
B. 直线y=kx-2在y轴上的截距是2
C. 直线y= 3x+1的倾斜角为30°
D. 过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线方程x-5=0
10.下列说法正确的是( )
A. 直线mx-y+1-m=0必过定点(1,1)
B. 直线y=3x-2在y轴上的截距是-2
C. 过点P(1,2)且在x,y轴截距相等的直线方程为x+y-3=0
D. 已知直线3x+4y-1=0与直线6x+my-12=0平行，则平行线间的距离是1
11.已知双曲线E:x2a2-y23=1(a>0)的渐近线与圆C:x2+(y-2)2=1相切，F1,F2分别为E的左、右焦点，动点P在E的左支上，则( )
A. a=1B. ▵CF1F2为等腰直角三角形
C. ▵CF2P周长的最小值为4 2D. |CP|的最小值为 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l1:ax+y+1=0与直线l2:(a-1)x-ay+2=0垂直，则实数a的值为 ．
13.双曲线C:x24-y2b2=1(b>0)的离心率为 2，若点F为双曲线C的左焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为 ．
14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1,F2，离心率为12.过F1且垂直于AF2的直线与椭圆C交于D,E两点，|DE|=9613，则▵ADE的周长是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆C的圆心在直线y=-2x上，并且经过点A(2,-1)，与直线x+y=1相切．
(1)求圆C的方程；
(2)若过点B(2,0)的直线l与圆C交于M，N两点，且|MN|=2，求直线l的方程．
16.(本小题15分)
已知三点O(0,0),A(2,0),B(-1,-1)，记▵AOB的外接圆为圆C．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l:x-y-1=0与圆C交于M,N两点，求▵CMN的面积．
17.(本小题15分)
已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与双曲线y26-x22=1的渐近线相同，且经过点(2,3)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若斜率为 155的直线l过双曲线的左焦点，分别交双曲线于P、Q两点，求证：OP⊥OQ．
18.(本小题17分)
已知三条直线：l1:2x-y+a=0(a>0)，l2:4x-2y-1=0，l3:x+y-1=0，且l1与l2间的距离是7 510，
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①点P在第一象限；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的12；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是 2: 5，若能，求点P的坐标；若不能，说明理由
19.(本小题17分)
已知椭圆C:x24+y23=1,A1,A2分别为椭圆C的左、右顶点，F1、F2分别为左、右焦点，直线l交椭圆C于M、N两点(l不过点A2).
(1)若Q为椭圆C上(除A1、A2外)任意一点，求直线QA1和QA2的斜率之积．
(2)若NF1=2F1M，求直线l的方程；
(3)若直线MA2与直线NA2的斜率分别是k1、k2，且k1k2=-94，求证：直线l过定点，并求出此定点．
参考答案
1.D
2.A
3.C
4.A
5.A
6.A
7.C
8.B
9.AD
10.ABD
11.ABD
12.2或0
13.2
14.16
15.解：(1)由题意，设圆心C(a,-2a)，圆C经过点A(2,-1)，与直线x+y=1相切，
所以 (a-2)2+(-2a+1)2=|a-2a-1| 2，化简得a2-2a+1=0，解得a=1，
则圆心C(1,-2)，半径r=|AC|= (1-2)2+(-2+1)2= 2，
所以圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=2．
(2)由题意，直线l与圆C的距离d= r2-MN22=1，
若斜率不存在，即x=2，显然满足要求；
若斜率存在，设直线l方程为y=k(x-2)，则d=|-k+2| 1+k2=1，解得k=34，则y=34(x-2)；
直线l的方程为x=2或3x-4y-6=0．

16.解：(1)设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
将A,B,O三点代入上式可得，F=0,4+2D+F=0,1+1-D-E+F=0.,
解得D=-2,E=4,F=0，
所以圆C的一般方程为x2+y2-2x+4y=0
将其化为标准方程为(x-1)2+(y+2)2=5；
(2)由(1)可知，圆心C(1,-2)，半径r= 5．
则圆心C到直线l的距离为d=|1+2-1| 2= 2，
所以|MN|=2 r2-d2=2 ( 5)2-( 2)2=2 3，
故▵CMN的面积为S▵CMN=12|MN|⋅d=12×2 3× 2= 6．

17.解：(1)因为双曲线C与双曲线y26-x22=1的渐近线相同，
所以可设C：y26-x22=λ，又双曲线C过(2,3)，
所以96-42=-12=λ，则y26-x22=-12，即x2-y23=1，
所以双曲线C的方程为x2-y23=1．
(2)证明：设Px1,y1,Qx2,y2，
又C:x2-y23=1，所以左焦点F(-2,0)，则l:y= 155(x+2)，
x2-y23=1y= 155(x+2) ⇒4x2-4x-9=0,
x1+x2=1,x1x2=-94，
y1y2=35x1+2x2+2=35x1x2+2x1+x2+4=94，
则OP⋅OQ=x1x2+y1y2=-94+94=0，
所以OP⊥OQ．

18.解：(1)∵l2:2x-y-12=0，
l1与l2间的距离为d=a--12 22+(-1)2=|a+12| 5=7 510，
即a+12=72，
∵a>0，
∴a=3；
(2)假设存在，设点Px0,y0，
由条件②知，点P在与l1,l2平行的直线l'2x-y+c=0上，
且|c-3| 5=12c+12 5，
∴c=132或c=116，
∴4x0-2y0+13=0或12x0-6y0+11=0，
由条件③知，|2x0-y0+3| 5= 2 5|x0+y0-1| 2，
∴|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|，即x0-2y0+4=0或3x0+2=0，
因为点P在第一象限，∴x0>0，3x0+2=0(舍)，
∴x0-2y0+4=04x0-2y0+13=0或x0-2y0+4=012x0-6y0+11=0 ,
解得x0=-3y0=12(舍)，x0=19y0=3718,
所以存在点P19,3718同时满足①②③．

19.解：(1)在椭圆C:x24+y23=1中，左、右顶点分别为A1(-2,0)、A2(2,0)，
设点Qx0,y0(x0≠±2)，则kQA1⋅kQA2=y0x0+2⋅y0x0-2=y02x02-4=31-x024x02-4=-34．
(2)设Mx1,y1,Nx2,y2，由已知可得F1(-1,0)，NF1=(-1-x2,-y2),F1M=(x1+1,y1)，
由NF1=2F1M得(-1-x2,-y2)=2(x1+1,y1)，化简得x2=-3-2x1y2=-2y1,
代入x224+y223=1可得(-3-2x1)24+(-2y1)23=1，
联立x124+y123=1解得x1=-74y1=±3 58,
由NF1=2F1M得直线l过点F1(-1,0)，M(-74,±38 5)，
所以，所求直线方程为y=± 52(x+1)．
(3)设Mx3,y3,Nx4,y4，易知直线l的斜率不为0，设其方程为x=my+t(t≠2)，
联立x=my+tx24+y23=1，可得3m2+4y2+6mty+3t2-12=0，
由Δ=36m2t2-4(3m2+4)(3t2-12)>0，得t2