专题02 等式与不等式性质、基本不等式（期中复习讲义）（原卷版+解析版）高一数学上学期人教A版

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\l "_Tc25045" 知识点01 等式的性质
性质1 如果，那么 ；
性质2 如果，，那么____；
性质3 如果，那么 ；
性质4 如果，那么 ；
性质5 如果，，那么____；
\l "_Tc25045" 知识点02 比较两个实数大小
两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有：
；
；

另外，若，则有；；.
\l "_Tc25045" 知识点03 不等式的性质
\l "_Tc25045" 知识点04 基本不等式
如果a≥0,b≥0，那么a+b2≥ab（当且仅当 时取“=”）.
说明：
①对于非负数a,b，我们把a+b2称为a,b的 ，ab称为a,b的 .
②我们把不等式ab≤a+b2(a≥0,b≥0)称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数.
③“当且仅当a=b时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当 时，有ab=a+b2；另一方面当 时，有a=b.
④ 结构特点：和式与积式的关系.
\l "_Tc25045" 知识点05 利用基本不等式求最值
①已知x，y是正数，如果积xy等于定值P，那么当且仅当x=y时，和x+y有最小值 ；
②已知x，y是正数，如果和x+y等于定值S，那么当且仅当x=y时，积xy有最大值．
\l "_Tc25045" 知识点06 几个重要不等式
（1）a2+b2≥2ab（a，b∈R）（当且仅当a=b时取等号）.
变形式： （a，b∈R）（当且仅当a=b时取等号）.
（2）基本不等式： （a>0，b>0）（当且仅当a=b时取等号）.
变形式：a+b≥2ab（a>0，b>0），ab≤a+b22（a，b∈R）（当且仅当a=b时等号成立）.
（3）a2+b2+c2≥ab+bc+ca（a，b，c∈R）（当且仅当a=b=c时取等号）.
（4）若ab>0，则ba+ab≥2，a+b1a+1b≥4（当且仅当a=b时取等号）.
知识点07 基本不等式链
拓展. m>n时，
知识点08 权方和不等式的二维形式
若 则 当且仅当 时取等.
(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)
知识点09 糖水不等式定理
若 , 则一定有
通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜;
知识点10 糖水不等式的倒数形式:
设 , 则有:
题型一 由已知条件判断所给不等式是否正确
【典例1】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（24-25高一上·山东潍坊·期中）（多选）已知实数，，，则（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
【变式1】（24-25高一上·湖北黄冈·期中）下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
【变式2】（24-25高一上·河北唐山·期中）（多选）已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
题型二 由不等式关系，求解不等式范围
【典例1】（24-25高一上·河南商丘·期中）若，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，则下列结论错误的是（ ）
A．的取值范围为B．的取值范围为
C．的取值范围为D．取值范围为
【变式2】（24-25高一上·浙江台州·期中）（多选）设x，y为实数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
题型三 作差法比较式子大小关系
【典例1】（24-25高一上·广西北海·期中）已知，则 （填“”或“”）
【变式1】（24-25高一上·福建莆田·期中），，，则有 .（请填“”、“”、“”、“”、“”）
【变式2】（24-25高一上·湖南郴州·期中）若a，b为正数，且，则 （用符号>、0，则2x+3y+1x−y的最小值为
【变式2】已知，，，则的最大值为 ．
题型九 两次应用基本不等式求最值
【典例1】对任意的正实数a,b,c，满足b+c=1，则8ab2+abc+16a+1的最小值为 .
【变式1】已知实数m，n满足m>2n>0，则m2+2nm−2n的最小值为 .
题型十 条件等式变形求最值
【典例1】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，，，则的最小值为（ ）
A．11B．10C．9D．8
【典例2】（24-25高一上·重庆·期中）若满足，则的最大值是 ，的最小值是 .
【变式1】（24-25高一上·福建福州·期中）已知，且，的最小值为 .
【变式2】（24-25高一上·重庆·期中）若正实数，满足，则的最小值是 .
题型十一 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围
【典例1】（23-24高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】已知，若恒成立，则实数m的取值范围是 ．
【变式2】已知且恒成立，则实数的最大值是 ．
题型十二 基本不等式的应用
【典例1】（24-25高一上·四川绵阳·期中）某公园有如图所示一块直角三角形空地，直角边．现欲建一个如图的内接矩形花园，点在斜边上（不包括端点），则花园的面积的最大值为（ ）

A．B．C．D．
【典例2】（24-25高一上·浙江温州·期中）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，则矩形广告的总面积最小值为 ．
【变式1】（24-25高一上·四川眉山·期中）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，则能围成的菜园面积的最大值为 .
【变式2】（24-25高一上·北京·期中）如图是一份纸制作的矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为P，两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为的空白.若，，则当 时，才能使纸的用量最少，最少的纸的用量是 .

期中基础通关练（测试时间：10分钟）
一、单选题
1．（24-25高一上·广东汕头·期中）若，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高一上·重庆·期中）已知：，；：，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
3．（24-25高一上·福建福州·期中）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（ ）
A．36B．144C．60D．72
4．（24-25高一上·福建南平·期中）已知、，且满足，那么的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高一上·河北邯郸·期中）若正数满足：，则当取最大值时的值为（ ）
A．B．C．1D．
二、多选题
6．（24-25高一上·贵州·期中）下列命题中，不正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
7．（24-25高一上·重庆·期中）已知，，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、解答题
8．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知，．
(1)求的取值范围；
(2)若，求的最小值．
期中重难突破练（测试时间：20分钟）
一、单选题
9．（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）设，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．（24-25高一上·安徽·期中）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
11．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．64B．25C．13D．12
12．（24-25高一上·河北·期中）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
13．（24-25高一上·湖南·期中）若，且，则（ ）
A．B．
C．D．
14．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）若实数满足，则（ ）
A．有最大值为B．有最小值为
C．有最大值为D．有最小值为
三、填空题
15．（24-25高一上·广东江门·期中）已知，（1）若，都是正数，且，则的最小值为 ；（2）若，则的最大值为 .
四、解答题
16．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知正实数x，y满足.
(1)求的值；
(2)求的最小值；
(3)若，求的最小值.
核心考点
复习目标
考情规律
2.1 不等式的基本性质（对称性、传递性、可加/乘性）
能依据性质进行简单的数值比较和不等式推导。
基础题，乘负变号是必考点。
2.2 基本不等式的形式与推导
能准确写出基本不等式，理解其几何意义。
理解性考点，是应用的基础。
2.3 “一正二定三相等”的运用条件
能准确判断给定问题是否满足基本不等式的使用条件。
高频易错点，是解题的第一步，常被忽略。
2.4 直接利用基本不等式求最值
能对符合“积定”或“和定”条件的表达式直接应用公式求最值。
最基础的考查方式。
2.5 “配凑法”应用基本不等式
能通过拆项、添项、凑系数等技巧，将表达式转化为可用基本不等式的形式。
期中解答题核心考法，是能力的区分点。
2.6 换元法（化繁为简）
当表达式复杂时，能通过代换简化问题，转化为基本不等式模型。
重要技巧，常用于含根式条件最值问题。
2.7 “1”的代换法（条件等式）
当已知条件能巧妙地运用或变形“1”，可将目标式乘以“1”进行计算。
高频题型，技巧性强，是高分的关键。
2.8 分式型最值问题
能处理形如(二次式) / (一次式)”或 (一次式) / (二次式)”的函数，通过分离常数、换元或基本不等式求最值。
常见中档题，分离常数是常用技巧。
2.9 二次使用基本不等式（连续放缩）
能判断在什么情况下需要两次或多次使用基本不等式，并保证每次放缩的等号能同时成立。
难度最高的题型之一，常用于证明或求复杂式子的最值，对逻辑严谨性要求高。
2.10 恒成立问题中求参数范围（综合应用）
对于恒成立的问题，能将其转化为求目标式的最小值或最大值，从而确定参数a的范围。
期中压轴题常见模式，综合性强，易错点在于混淆“≥最大值”与“≤最小值”的逻辑关系。
2.11 基本不等式在实际问题（如面积、成本最优化）中的应用
能根据实际问题建立函数模型，并利用基本不等式求解最值。
命题趋势偏向应用，考查数学建模能力
性质
别名
性质内容
1
对称性
a>b⇔b a
2
传递性
a>b,b>c⇒a c
3
可加性
a>b⇔a+c b+c推论1：a+b>c⇔a>c−b；
推论2：a>b,c>d⇒a+c>b+d
4
可乘性
a>b,c>0⇒ac bc a>b,c0,c>d>0⇒ac>bd；
推论4：a>b>0⇒an bn（n∈N，n≥2）；
推论5：a>b>0⇒a>b
5
取倒数
a>b,ab>0⇒1a 1b a>b,ab1b
解｜题｜技｜巧
直接法：依据不等式基本性质（对称性、传递性、可加性、可乘性等 ），结合已知条件直接推导判断。
（2）特殊值法：选取满足已知条件的特殊数值代入不等式，验证是否成立。
（3）作差（商）法：对不等式两边作差（商），结合已知条件判断差（商）的正负，进而确定不等式是否成立（作商法需注意正负），部分复杂式子判断可用此思路延伸。
解｜题｜技｜巧
（1）直接运算：依据不等式基本性质，对已知不等式变形求解即可．
（2）线性组合：若求多个式子线性组合的范围，先将目标式表示为已知范围式子的线性组合，再利用不等式性质，分别求各组合部分范围后“同向可加”即可.
解｜题｜技｜巧
（1）定条件：确认“一正（各项为正）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能取到，即存在实数使等号成立）” .
（2）选公式：和定求积最大，用；积定求和最小，用.
（3）代计算：代入定值，结合等号成立条件（验证是否满足“三相等” ），算出最值.
解｜题｜技｜巧
（1）找“1”或常数：观察条件，将已知等式变形出“1”或常数，用于构造可基本不等式形式。
（2）乘“1”拼凑：用变形出的“1”或常数，将目标式与含“1”或常数的式子相乘展开，凑出能用基本不等式求解的式子。
（3）验证等号：展开后用基本不等式求最值，同时验证等号成立条件，确保最值有效。