浙江省杭州第四中学（吴山校区）2020届高三上学期期中考试数学试题 Word版含解析

这是一份浙江省杭州第四中学（吴山校区）2020届高三上学期期中考试数学试题 Word版含解析，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


杭州第四中学吴山校区高三上学期数学期中试卷
一、选择题（本大题共10小题）
1. 设集合M={4，6，8}，集合N={3，7，8}，那么M∪N等于（　　）
A. 4,6,7, B. C. 7, D. 6,
2. 下列曲线中实轴长为的是（　　）
A. B. C. D.
3. 设a∈R，则“a=0”是“直线l1：ax+4y-5=0与直线l2：2x+ay-a=0垂直”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知复数z满足，则|z|等于（　　）
A. B. 1 C. 2 D. 4
5. 函数y=sin2x+2cosx，x∈[-π，π]的图象大致是（　　）
A. B.
C. D.
6. 已知向量，则与的夹角θ为钝角时，λ的取值范围为（　　）
A. B.
C. 且 D. 无法确定
7. 已知函数，若对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1-x2|的最小值为（　　）
A. 4 B. 1 C. D. 2
8. 设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P



那么，当P在（0，1）内增大时，D（ξ）的变化是（　　）
A. 减小 B. 增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小
9. 若（x-1）（x-a）•ln（x2-3x+a+1）≥0在R上始终成立，则a的值为（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10. 已知，+，若a，b∈[-1，5]，且当x1，x2∈[a，b]时，恒成立，则b-a的最大值为（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题（本大题共7小题）
11. 已知2a=3，9b=8，则a=______，ab=______．
12. 已知α终边落在l：y=2019x（x＞0）上，则tanα=______，=______．
13. 若双曲线mx2-y2=1的渐近线为y=±2x，则m=______；焦点F到渐近线的距离为______．
14. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______，最长棱长为______．


15. 实数x，y满足不等式组，则Z=|4-x-2y|的最大值为______．
16. 在△ABC中，AB=4，BC=2，B=，动点P在以点B为圆心，半径为1的圆上，则的最大值为______．
17. 若a＞b＞0，a+b=4，则的最小值为______．
三、解答题（本大题共5小题）
18. 已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当时，求函数f（x）的单调递减区间．







19. 已知函数（a，b为常数）且方程f（x）-x+12=0有两个实根为x1=3，x2=4．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设k＞1，解关于x的不等式；．







20. 如图，D是△ABC边．BC上一点，2AB=3AC，BD=3，sin∠CAD=2sin∠BAD．
（Ⅰ）求DC的长；
（Ⅱ）若AD=2，求△ABC的面积．








21. 已知数列{an}满足，数列{bn}满足．
（1）求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）设，数列{cn}的前n项和为Tn，求满足的n的最大值．







22. 已知函数f（x）=a2lnx+x2-3ax（a∈R）．
（1）若a=1，求f（x）的单调区间；
（2）若对于任意的x≥e2（e为自然对数的底数），f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．







答案和解析
1.【答案】A

【解析】解：∵M={4，6，8}，N={3，7，8}，
∴M∪N={3，4，6，7，8}．
故选：A．
进行并集的运算即可．
考查列举法的定义，以及并集的运算．
2.【答案】D

【解析】解：对于A：双曲线的实轴长为：4．
对于B：实轴长为：4，
对于C：双曲线实轴长：4．
对于D：双曲线的实轴长为：2．
故选：D．
利用双曲线方程求解实轴长即可判断结果．
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
3.【答案】C

【解析】解：直线l1：ax+4y-5=0与直线l2：2x+ay-a=0垂直⇔2a+4a=0，解得a=0．
∴“a=0”是“直线l1：ax+4y-5=0与直线l2：2x+ay-a=0垂直”的充要条件．
故选：C．
由直线的一般式方程与直线垂直的关系列式求得a值，再由充分必要条件的判定得答案．
本题考查直线的一般式方程与垂直的关系，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．
4.【答案】B

【解析】解：由，得z=，
∴|z|=．
故选：B．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
5.【答案】C

【解析】解：当x=0时，y=sin0+2cos0=0+2=2，排除，A，B，D，
故选：C．
利用特殊值法，令x=0得y=2，进行排除即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用特殊值法是解决本题的关键．
6.【答案】C

【解析】解：∵与的夹角为钝角，
∴，且不平行，
∴，解得且λ≠2．
故选：C．
根据与的夹角为钝角即可得出，且与不平行，从而得出，解出λ的范围即可．
考查向量夹角的定义，向量数量积的计算公式和向量数量积的坐标运算，以及平行向量的坐标关系．
7.【答案】D

【解析】解：函数，所以函数的周期T=．
对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，-3≤f（x）≤3．
则|x1-x2|的最小值为．
故选：D．
直接利用正弦型函数的性质求出函数的周期和函数的最值，进一步求出结果．
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
8.【答案】B

【解析】解：依题意，E（ξ）=1-+p=1+p，
E（ξ2）=1-+4×=1+，
所以D（ξ）=E（ξ2）-E2（ξ）=1+-=-+，
是关于p的开口向下的抛物线，对称轴为p=6，
所以当p∈（0，1）时，D（ξ）单调递增，
即当P在（0，1）内增大时，D（ξ）增大，
故选：B．
计算出E（ξ）、E（ξ2），根据D（ξ）=E（ξ2）-E2（ξ）将D（ξ）表示成关于p的函数，研究函数的单调性即可．
本题考查了离散型随机变量的期望与方差，考查了二次函数的单调性，属中档题．
9.【答案】C

【解析】解：由x2-3x+a+1＞0在R上成立，
可得：△=9-4（a+1）＜0，解得：a＞．
经过验证只有a=2时成立．
下面给出证明：（x-1）（x-2）•ln（x2-3x+3）≥0在R上始终成立，
y=x2-3x+3=+，
x≥2或x≤1时，（x-1）（x-2）≥0，ln（x2-3x+3）≥0，此时成立．
1＜x＜2时，（x-1）（x-2）＜0，ln（x2-3x+3）＜0，此时成立．
因此只有a=2时成立．
故选：C．
由x2-3x+a+1＞0在R上成立，可得：△＜0，解得：a＞．经过验证只有a=2时成立．下面给出证明：（x-1）（x-2）•ln（x2-3x+3）≥0在R上始终成立，只要证明：（x-1）（x-2）≥0与ln（x2-3x+3）≥0同号即可．
本题考查了对数函数的单调性、二次函数的单调性、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10.【答案】D

【解析】解：根据题意，，+，
则当f1（x）≥f2（x）时，g（x）=f1（x），当f1（x）＜f2（x）时，g（x）=f2（x），
故g（x）=，则g（x）在（-∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数；
且当x1，x2∈[a，b]时，恒成立，则g（x）在区间[a，b]是增函数，且a，b∈[-1，5]，
则b-a的最大值在a=0，b=5时取到，其最大值为5；
故选：D．
根据题意，求出g（x）的解析式，分析可得g（x）的单调性以及单调区间，结合单调性的定义分析可得g（x）在区间[a，b]是增函数，据此分析可得答案．
本题考查函数的最值以及函数单调性的性质以及应用，关键是求出g（x）的解析式，属于基础题．
11.【答案】log23  

【解析】解：∵2a=3，∴a=log23．
∵9b=8，∴b=log98，
∴ab=log23×log98==．
故答案为：log23，．
利用指数式、对数式互化公式和对数换底公式直接求解．
本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】2019   -

【解析】解：已知α终边落在l：y=2019x（x＞0）上，则tanα=2019，
tan（）===-．
故答案为：2019，-
直接利用直线的斜率公式和三角函数的和角公式的运用求出结果．
本题考查的知识要点：直线的斜率和三角函数的正切值的关系，三角函数的和角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
13.【答案】4   1

【解析】解：由双曲线的方程知m＞0，
由mx2-y2=0得y=±x，
∵双曲线的渐进线方程为y=±2x，
∴=2，得m=4，
双曲线的焦点F的坐标为（±，0），
焦点F到渐近线的距离为：=1．
故答案为：4；1．
根据双曲线的方程求出双曲线的渐近线方程，建立方程关系进行求解即可．求出焦点坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．
本题主要考查双曲线渐近线的求解，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．比较基础．
14.【答案】8  

【解析】解：几何体的直观图如图：
PA=4，AC=5，AB=3，BC=4，
几何体的体积为：=8．PC==，PB==5．
最长棱长为：；
故答案为：8；．
画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解最长棱长与体积即可．
本题考查几何体的三视图求解最长棱长以及三视图求解几何体的体积，考查计算能力．
15.【答案】21

【解析】解：实数x，y满足不等式组，对应的平面区域如图：
三角形ABC的三边及其内部部分：


联立⇒得：C（3，1）．
联立，得：A（7，9）．
Z=|4-x-2y|=|x+2y-4|，
令a=x+2y-4得：y=-x+2+，
显然直线过A（7，9）时，a最大，此时a=21，
直线过C（3，1）时，a最小，此时a=1，
故z=|a|，故z的最大值是21，
故答案为：21．
先画出满足条件的平面区域，求出A，C的坐标，令a=x+2y-4得：y=-x+2+，通过图象求出|a|的最大值即z的最大值即可．
本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．
16.【答案】

【解析】解：如图，建立直角坐标系，AB=4，BC=2，B=，

根据余弦定理：AC2=16+8-2•4•=8，故AC=2，
所以Rt三角形ABC，
设AC的中点D（，由极化恒等式：=，
BD==，所以，
所以最大值为，
故答案为：．
根据余弦定理：AC2=16+8-2•4•=8，故AC=2，所以Rt三角形ABC，设AC的中点D（，由极化恒等式：=，
BD==，所以，代入即可．
考查了向量的综合运算，用了余弦定理，极化恒等式等，难度适中．
17.【答案】

【解析】解：a＞b＞0，a+b=4，
所以（a+4b）+（2a-b）=3（a+b）=12，
所以==（5+4）=．
当且仅当a=2b=时，取得最小值．
故答案为：
直接利用关系式的恒等变换和基本不等式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：函数关系式的恒等变换的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
18.【答案】解：（1）函数
===，
所以函数的最小正周期为．
（2）令（k∈Z），
整理得（k∈Z），
由于，所以函数的单调递减区间为[]．

【解析】（1）首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．
（2）利用整体思想的应用求出函数的单调递减区间．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
19.【答案】解：（1）将x1=3，x2=4分别代入方程，得，解得，所以f（x）=．
（2）不等式即为，可化为
即（x-2）（x-1）（x-k）＞0．
①当1＜k＜2，解集为x∈（1，k）∪（2，+∞）．
②当k=2时，不等式为（x-2）2（x-1）＞0解集为x∈（1，2）∪（2，+∞）；
③当k＞2时，解集为x∈（1，2）∪（k，+∞）．

【解析】（1）将x1=3，x2=4分别代入方程得出关于a，b的方程组，解之即得a，b，从而得出函数f（x）的解析式．
（2）不等式即为：即（x-2）（x-1）（x-k）＞0．下面对k进行分类讨论：①当1＜k＜2，②当k=2时，③当k＞2时，分别求出此不等式的解集即可．
本题主要是应用分类讨论思想解决不等式问题，关键是正确地进行分类，而分类一般有以下几个原则：
1．要有明确的分类标准；
2．对讨论对象分类时要不重复、不遗漏，即分成若干类，其并集为全集，两两的交集为空集；
3．当讨论的对象不止一种时，应分层次进行，以避免混乱．根据绝对值的意义判断出f（x）的奇偶性，再利用偶函数的图象关于y轴对称，求出函数在（0，+∞）上的单调区间，并且只要求出当x＞0时，函数f（x）=x2-2ax（a＞0）最小值进而利用f（x）min≤-1解答此题．
20.【答案】解：（Ⅰ）在△ABD中，由正弦定理，可得：=，
在△ADC中，由正弦定理可得：=，
因为2AB=3AC，sin∠ADB=sin∠ADC，BD=3，sin∠CAD=2sin∠BAD，
所以DC=BD=4．
（Ⅱ）在△ABD中，由余弦定理，可得：AB2=AD2+BD2-2AD•BD•cos∠ADB，
在△ADC中，由余弦定理，可得：AC2=AD2+DC2-2AD•DC•cos∠ADC，
因为2AB=3AC，AD=2，BD=3，DC=4，cos∠ADB=-cos∠ADC，
所以4（4+9+2×2×3×cos∠ADC）=9（4+16-2×2×4×cos∠ADC），
解得cos∠ADC=，所以sin∠ADC=，
所以S△ABC=（BD+DC）×AD×sin∠ADC=×7×2×=．

【解析】（Ⅰ）由已知利用正弦定理，可得=，=，结合已知可求DC=3BD=3．
（Ⅱ）由已知利用余弦定理，解得cos∠ADC，可求sin∠ADC，利用三角形的面积公式即可计算得解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
21.【答案】解：（1）证明：数列{an}满足，所以，
整理得（常数），
由于数列{bn}满足．
所以数列{bn}是等差数列．
则数列{2nan}是以为首项，1为公差的等差数列．
所以2nan=1+n-1=n，整理得．
（2）由于，所以==2（），
所以=，
所以，
整理得2n+1-1＜63，
当n=5时，等号成立．
故n的最大值为4．

【解析】（1）直接利用关系式的恒等变换的应用和定义的应用求出结果，进一步求出数列的通项公式．
（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列的求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
22.【答案】解：（1）a=1时，f（x）=lnx+x2-3x，（x＞0），
f′（x）=+2x-3=，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或0＜x＜，
令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，
故f（x）在（0，）递增，在（，1）递减，在（1，+∞）递增；
（2）f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=2x-3a+=，
①当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；
∴f（x）≥f（e2）=e4-3ae2+2a2≥0恒成立，符合题意．
②当a＞0时，由f′（x）＞0，解得x∈（0，）∪（a，+∞），由f′（x）＜0解得x∈（，a）．
∴f（x）的单调递增区间为（0，）和（a，+∞），单调递减区间是（，a）；
（ⅰ）若0＜e2≤，即a≥2e2时，f（x）在[e2，）上单调递增，在[，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．
∴对任意的实数x≥e2，f（x）≥0恒成立，只需 f（e2）≥0，且f（a）≥0．
而当a≥2e2时，f（e2）=2a2-3ae2+e4=（2a-e2）（a-e2）≥0且f（a）=a2-3a2+a2lna=a2（lna-2）≥0成立．
∴a≥2e2符合题意．
（ⅱ）若＜e2≤a时，f（x）在[e2，a）上单调递减，在[a，+∞）上单调递增．
∴对任意的实数x≥e2，f（x）≥0恒成立，只需f（a）≥0即可，
此时f（a）=a2-3a2+a2lna=a2（lna-2）≥0成立，
∴e2≤a＜2e2符合题意．
（ⅲ）若a＜e2，f（x）在[e2，+∞）上单调递增．
∴对任意的实数x≥e2，f（x）≥0恒成立，
只需 f（e2）=e4-3ae2+2a2≥0，
即f（e2）=e4-3ae2+2a2=（2a-e2）（a-e2）≥0，
∴0＜a≤符合题意．
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，]∪[e2，+∞）．

【解析】（1）代入a的值，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间即可；
（2）当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）≥f（e2）≥0恒成立，符合题意．
当a＞0时，f（x）在 （0，）和（a，+∞）上单调递增，在（，a）上单调递减．然后分0＜e2≤，＜e2≤a和a＜e2三类求解实数a的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法与分类讨论的数学思想方法，属难题．