江苏省泰州中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

这是一份江苏省泰州中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟；总分150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若直线经过两点，且倾斜角为，则的值为（ ）
A. 2B. C. 1D.
2. 曲线方程表示一个圆的充要条件为（ ）
A. B. C. D.
3. 方程的化简结果是（ ）
A. B.
C. D.
4. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点，，且．若，则椭圆离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知直线与圆相切，则满足条件的直线有（ ）条
A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，直线与交于点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知三个顶点分别是，且边上的高所在的直线方程为，则以下结论正确的是（ ）
A.
B. 边上的中线所在的直线方程为
C. 过点且平行于的直线方程为
D. 三边所在的直线中，直线的倾斜角最大
10. 设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B 离心率
C. 面积的最大值为
D. 以线段为直径圆与直线相切
11. 已知直线和曲线，点A是直线上的一个动点，点是曲线上的一个动点，过点A作曲线的两条切线，切点分别为､，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 曲线上存在个点到直线的距离等于
C. 若曲线上总存在点，使得，则A的横坐标的取值范围是
D 直线过定点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 从圆外一点P（2,3）向这个圆引切线，则切线的方程为_________.
13. 椭圆的左焦点为F，直线x=t与椭圆相交于点M，N，当 的周长最大时，的面积是___________.
14. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，圆、点和点为圆上的动点，则的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）已知点和点，求过直线的中点且与垂直的直线的方程；
（2）求过直线和的交点，且平行于直线的直线的方程．
16. 已知椭圆的焦点为，且该椭圆经过点.
（1）求的标准方程；
（2）若为上一点，且，求的面积.
17. 已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
18. 已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）若圆半径小于，点在该圆上运动，点，记为过、两点的弦的中点，求的轨迹方程；
（3）在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值．
19. 平面直角坐标系中，圆M经过点，，.
（1）求圆M的标准方程；
（2）设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上.
①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形的面积为S，求S的最大值；
②设直线OP，BQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程.
2025-2026学年秋学期高二年级第一次质量检测试卷
数学学科
（考试时间：120分钟；总分150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若直线经过两点，且倾斜角为，则的值为（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用两点的斜率公式即可求解.
【详解】解：由题意知，
，
解得：
故选：A.
2. 曲线方程表示一个圆的充要条件为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用计算即可.
【详解】表示圆的充要条件是，即.
故选：C．
【点睛】本题考查圆的一般方程，本题也可以采用配方来做，是一道容易题.
3. 方程的化简结果是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由方程的几何意义及椭圆定义得出结果即可.
【详解】方程的几何意义为动点到定点和的距离和为10，并且，
所以动点的轨迹为以两个定点为焦点，定值为的椭圆，所以， ，
根据 ，所以椭圆方程为.
故选：C.
4. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解.
【详解】记，则为直线的斜率，
故当直线与半圆相切时，斜率最小，
设，则，解得或（舍去），
即的最小值为.
故选：C
5. 若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先将方程根的情况转化为一个半圆与一条直线交点的情况,再用数形结合,先求出相切时的斜率,再得到有两个交点的情况.
【详解】将方程转化为:半圆与直线有两个不同交点.
当直线与半圆相切时,有，，
半圆与直线有两个不同交点时.
直线一定过,
由图象知直线过时直线的斜率k取最大值为1，
.
故选：C
【点睛】关键点睛：解题的关键是能够转化为特定的曲线，然后用数形结合求解.
6. 已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点，，且．若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设椭圆的右焦点为，连接，，设，根据余弦定理得到，计算得到离心率.
【详解】设椭圆的右焦点为，连接，，故四边形为平行四边形，
设，，则，，
，，
中，，
整理得到，即，故.
故选：A
7. 已知直线与圆相切，则满足条件的直线有（ ）条
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【详解】由于直线和圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即，（其中），故，或 ，正弦值为的只有在轴正半轴，正弦值为可以在第三或者第四象限，故有种可能，所以选.
8. 已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，直线与交于点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，由表示出点坐标，代入直线方程得出点的轨迹，根据点到圆上一点距离最小值求法计算即可．
【详解】设，由题可知，则，即，
所以，所以点，
将点的坐标代入，化简得（不同时为0），
故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
又，点在该圆外，
所以的最小值为，
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知的三个顶点分别是，且边上的高所在的直线方程为，则以下结论正确的是（ ）
A.
B. 边上的中线所在的直线方程为
C. 过点且平行于的直线方程为
D. 三边所在的直线中，直线的倾斜角最大
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，利用高线所在直线方程，代入点的坐标，建立方程，可得答案；对于B，利用中点坐标公式，根据斜率公式以及点斜式方程，可得答案；对于C，根据斜率公式以及点斜式方程，可得答案；对于D，根据斜率与倾斜角的关系，可得答案.
【详解】对于A，在直线上，，故A不正确；
对于B，的中点为，，∴斜率为，
则直线方程为，即，故B正确；
对于C，直线方程为，
整理可得，故C正确；
对于D，，，
直线的倾斜角大于直线的倾斜角，故D不正确，
故选：BC．
10. 设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 离心率
C. 面积的最大值为
D. 以线段为直径的圆与直线相切
【答案】AD
【解析】
【分析】根据椭圆方程求得，根据椭圆的性质及点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由题意，椭圆，可得，可得，
所以焦点为,
根据椭圆的定义，所以A正确；
椭圆的离心率为，所以B错误；
其中面积的最大值为，所以C错误；
由原点到直线的距离，
所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D正确.
故选：AD
11. 已知直线和曲线，点A是直线上的一个动点，点是曲线上的一个动点，过点A作曲线的两条切线，切点分别为､，则下列说法正确的是（ ）
A. 最小值为
B. 曲线上存在个点到直线的距离等于
C. 若曲线上总存在点，使得，则A的横坐标的取值范围是
D. 直线过定点
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据圆的切线长的计算公式结合圆心到直线的距离即可求得的最小值，判断A;结合A的分析可判断B;由曲线上总存在点，使得，可得，从而，设，可得不等式，求得x范围，判断C;由题意可知､两点在以为直径的圆上，求出以为直径的圆的方程，联立求得直线的方程，可推得直线所过的定点，判断D.
【详解】对于A:因为，所以最小时，最小.
因为当是点到直线的距离时，最小，最小值为，
因此最小为，故A正确；
对于B：由选项A知：点到直线的距离为，而圆的半径为，
因此曲线上存在个点到直线的距离等于，故B错误；
对于C：因为点A是直线上的一个动点，所以设，
因为曲线上总存在点，使得，所以，
因此，
又因为在中，，
所以，即，解得，
因此点A的横坐标的取值范围是，故C正确；
对于D:由题意过点A作曲线的两条切线，切点分别为､，
可知､两点在以为直径的圆上，
设，则为直径的圆的方程为，
和相减可得直线的方程，即，
即，由于，故由，得，
所以直线恒过定点，故D正确.
故选： .
【点睛】难点点睛：本题判断正误的难点在于C,D选项的判断，对于C选项，要能够根据曲线上总存在点，使得，明确，然后结合三角函数求解；对于D选项，要能够明确即为以为直径的圆和的公共弦，由此可求得直线的方程.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 从圆外一点P（2,3）向这个圆引切线，则切线的方程为_________.
【答案】或
【解析】
分析】
当切线方程斜率不存在时，直线满足题意；当切线方程斜率存在时，设出切线方程，根据圆心到切线的距离列出关于的方程，求出方程的解得到的值，进而得到满足题意的切线方程.
【详解】解：分两种情况考虑：
若切线方程斜率不存在时，直线满足题意；
若切线方程斜率存在时，设为，此时切线方程为，即，
∵直线与圆相切，∴圆心到切线的距离，
即，
解得：，
此时切线方程为，即，
综上，切线方程为或.
故答案为：或.
【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，利用了分类讨论的思想，分类讨论时注意考虑问题要全面，做到不重不漏.
13. 椭圆的左焦点为F，直线x=t与椭圆相交于点M，N，当 的周长最大时，的面积是___________.
【答案】
【解析】
【分析】设椭圆的右焦点为，根据题意可得到，并且当且仅当三点共线时等号成立，，由此可求出的长，进而可求的面积.
【详解】设椭圆的右焦点为，则，当且仅当三点共线时等号成立，
所以的周长，
此时，
所以此时的面积为.
故答案为：.
14. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，圆、点和点为圆上的动点，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】令，则，由阿氏圆的定义可知：，由数形结合可知的最大值.
【详解】设，令，则，
由题知圆是关于点A、C的阿波罗尼斯圆，且，
设点，则，
整理得：，
比较两个方程可得，，，即，，点，
当点M位于图中的位置时，的值最大，最大为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）已知点和点，求过直线的中点且与垂直的直线的方程；
（2）求过直线和的交点，且平行于直线的直线的方程．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用中点坐标公式求出的中点，利用斜率公式求出斜率，结合直线垂直斜率之间的关系与点斜式进行求解即可；（2）求出直线的交点坐标，结合直线平行的条件求出直线斜率，利用点斜式进行求解即可．
【详解】（1）的斜率为，的中点坐标为，即，
与垂直的直线斜率，
则直线的方程为，即．
（2）由得，即交点坐标为，
设平行于直线的直线的方程为，
直线过，则，
得，即直线的方程为．
【点睛】本题主要考查直线方程的求解，以及直线垂直和平行的关性质，属于中档题． 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）（）；（2）（），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.
16. 已知椭圆的焦点为，且该椭圆经过点.
（1）求的标准方程；
（2）若为上一点，且，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程.
（2）根据椭圆的定义求得，从而求得的面积.
【小问1详解】
依题意，设椭圆方程为，
所以，解得.
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
由于，，根据抛物线的定义有：
，整理得，
所以的面积为.
17. 已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
【答案】（1）；（2）2．
【解析】
【详解】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，
设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．
由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．
故由，解得：．
故当，过点A（0，1）的直线与圆C：相交于M，N两点．
（2）设M；N，
由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程，
可得，
∴，
∴，
由，解得 k=1，
故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2
考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算
18. 已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）若圆半径小于，点在该圆上运动，点，记为过、两点的弦的中点，求的轨迹方程；
（3）在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值．
【答案】（1）或
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设圆心为，设圆的半径为，根据圆的几何性质可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出圆的方程；
（2）利用圆的几何性质得，利用数量积的坐标运算求得动点的轨迹方程；
（3）设直线与直线交于点，通过斜率关系得，利用几何关系得，从而，利用点到直线距离公式及两点距离公式求解即可.
【小问1详解】
解：设圆心为，设圆的半径为，
圆心到轴的距离为，且圆轴弦长为，则，①
且有②，
联立①②可得或，
所以，圆的方程为或.
【小问2详解】
解：因为半径小于，则圆的方程为，
由圆的几何性质得即，所以，
设，则，
所以，即的轨迹方程是.
【小问3详解】
解：设直线与直线交于点，由、可知直线斜率是，

因为直线的斜率为，则，则，，
所以，，因此，，
又E到的距离，，
所以，，故恒为定值.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
19. 平面直角坐标系中，圆M经过点，，.
（1）求圆M的标准方程；
（2）设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上.
①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形的面积为S，求S的最大值；
②设直线OP，BQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程.
【答案】（1）
（2）①S的最大值为7；②证明见解析，点N在定直线上.
【解析】
【分析】（1）设圆M的方程为，利用待定系数法求出，即可得解；
（2）①设直线的方程为，分和两种情况讨论，利用圆的弦长公式分别求出，再根据即可得出答案；
②设，联立，利用韦达定理求得，求出直线OP，BQ的方程，联立求出交点坐标即可得出结论.
【小问1详解】
解：设圆M的方程为，
则，解得，
所以圆M的标准方程为；
【小问2详解】
设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
①若，则直线斜率不存在，
则，，则，
若，则直线得方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
则
，
当且仅当，即时，取等号，
综上所述，因为，所以S的最大值为7；
②设，
联立，消得，
则，
直线的方程为，
直线的方程为，
联立，解得，
则，
所以，
所以点N在定直线上.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.